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数学实验与数学建模作业


数学实验与数学建模 实验报告

学 院: 专业班级: 姓 名: 学 号: 完成时间: 2011 年 5 月 6 日

1

承 诺 书

本人承诺所呈交的数学实验与数学建模作业都是本人 通过学习自行进行编程独立完成,所有结果都通过上机验 证,无转载或抄袭他人,也未经他人转载或抄袭。若承诺不 实,本人愿意承担一切责任。

承诺人:

2011 年 5 月 6 日 注意事项如下: 注意事项如下: 1、2011 年 5 月 6 日(第十一周星期五)之前,将电子文档 发送到邮箱:xuanyunqin@163.com(word 文档命名:姓名 +学号+数学实验作业) 2、 2011 年 5 月 6 日(第十一周星期五), 将实验报告电子 打印稿(内容含有:封面、承 诺 书、数学实验学习体会、实 验一到九答案)交到物理楼数学实验室办公室,过时不再受 理。 谢谢同学们合作!!!

2

数学实验学习体会
字以上, (每个人必须要写字数 1500 字以上,占总成绩的 20%) %

3

实验一
【实验目的】 实验目的】
1.了解曲线的几种表示方法。 2.学习掌握 MATLAB 软件有关的命令。 1、 立方曲线 y = x >> x=-10:0.5:10; >> y=x.^3; >> plot(x,y)
3

曲线绘图

2、 立方抛物线 y = 3 x >> x=1:1:100; >> y=x.^(1/3); >> plot(x,y)

4

3、高斯曲线 y = e >> x=-1:0.1:1; >> y=exp(-x.^2); >> plot(x,y,'b-p')

? x2

3、 奈尔抛物线 x = t , y = t ( y = x ) >> t=-1:0.1:1; >> x=t.^2; >> y=t.^3; >> plot(x,y,'g-+');
3 2

2 3

5

4、 半立方抛物线 x = t 2 , y = t 3 ( y 2 = x 3 ) >> plot(y,x,'r-o')

3at 3at 2 5、 迪卡尔曲线 x = ,y = ( x 3 + y 3 ? 3axy = 0) 2 2 1+ t 1+ t
>> t=-1:0.1:1; >> x=3*t./(1+t.*t); >> y=3*t.*t/(1+t..*t);
6

>> plot(x,y)

6、 蔓叶线 x =

at 2 at 3 x3 ,y = (y2 = ) a?x 1+ t2 1+ t2

>> x=3*t.*t./(1+t.*t); >> plot(x,y) >> a=t.^2./(1+t.*t); >> b=t.^3./(1+t.*t); >> plot(a,

7

7、 摆线 x = a (t ? sin t ), y = b(1 ? cos t ) >> t=-2*pi:pi/10:2*pi; >> x=t-sin(t); >> y=1-cos(t); >> plot(x,y)

2

2

2

3 3 9、内摆线(星形线) x = a cos t , y = a sin t ( x 3 + y 3 = a 3 ) >> a=(cos(t)).^3; >> b=(sin(t)).^3;

8

>> figure(2) >> plot(a,b,'c')

10、圆的渐伸线(渐开线) x = a (cos t + t sin t ), y = a (sin t ? t cos t ) >> c=cos(t)+t.*sin(t); >> d=sin(t)-t.*cos(t); >> figure(3) >> plot(c,d)

11、空间螺线 x = a cos t , y = b sin t , z = ct
9

>> x1=cos(t); >> y1=sin(t); >> plot3(x1,y1,z);

12、阿基米德线 r = a? , r ≥ 0 >> r=@(x)x; >> ezpolar(r)

13、对数螺线 r = e >> y=@(x)exp(x);

a?

10

>> ezpolar(y)

14、双纽线 r 2 = a 2 cos 2? (( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 ? y 2 )) >> r=@(x)(cos(2*x)).^(1/2); >> ezpolar(r)

15、双纽线 r 2 = a 2 sin 2? (( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 xy ) >> r=@(x)(sin(2*x)).^(1/2); >> ezpolar(r)

11

16、四叶玫瑰线 r = a sin 2? , r ≥ 0 >> r=@(x)sin(2*x); >> ezpolar(r)

17、三叶玫瑰线 r = a sin 3? , r ≥ 0 >> r=@(x)sin(3*x); >> ezpolar(r)

12

18、作出摆线的图形。当圆轮在平面上滚动时,其圆面上任意一点所画出的轨迹称为摆线。如果这一点不 在圆周上而在圆内,则生成内摆线;如果该点在圆外,离圆心距离大于半径,则生成外摆线。后一种情况, 可想象成火车轮,其接触轨道的部分并不是其直径最大处,而内侧的直径还要大一些,以防止车轮左右出 轨,在这部分边缘的点就画出外摆线。概括几种情况,设 r 为圆轮半径,R 为点半径,其普遍方程可表示 为

xA = rt ? R sin t , y A = R cos t
可由这组以 t 为参数的方程分析其轨迹。 19、作出以参数方程表示的空间曲线

x = e ?0.2t cos
>> t=0:1:20; >> x=exp(-0.2*t).*cos((pi/2)*t); >> y=pi/2*exp(-0.2*t).*sin(t); >> z=t; >> plot3(x,y,z,'y-x')

π
2

t, y =

π
2

e ?0.2t sin t , z = t , t ∈ [0, 20]

13

20、 以绘制极坐标系下曲线 ρ = a cos(b + nθ ) ,并讨论参数 a, b, n 的影响。 >> y1=@(x)sin(1+x); >> y2=@(x)2*sin(1+x); >> y3=@(x)sin(2+x); >> y4=@(x)sin(1+2*x); >> subplot(2,2,1); >> ezpolar(y1); >> subplot(2,2,2); >> ezpolar(y2); >> subplot(2,2,3); >> ezpolar(y3); >> subplot(2,2,4); >> ezpolar(y4)

14

21、 (曲线族绘制) 三次抛物线的方程为 y = ax3 + cx ,试探讨参数 a 和 c 对其图形的影响。 >> x=-1:0.1:1; >> y1=x.^3+x; >> y2=x.^3-x; >> y3=-x.^3+x; >> y4=-x.^3-x; >> subplot(2,2,1); >> plot(x,y1); >> subplot(2,2,2); >> plot(x,y2); >> subplot(2,2,3); >> plot(x,y3); >> subplot(2,2,4); >> plot(x,y4

15

22、 做出下列函数的图像: (1) y ( x) = x 2 sin( x 2 ? x ? 2) , ? 2 ≤ x ≤ 2 (分别用 plot、fplot) >> x=-2:0.1:2; >> y=x.^2.*sin(x.^2-x-2); >> plot(x,y) >> plot(x,y)

16

>> y=@(x)x.^2.*sin(x.^2-x-2); >> fplot(y,[-2,2])

(2) x 2 / 4 + y 2 / 16 = 1 (用参数方程) >> t=-2*pi:pi/20:2*pi; >> x=2*cos(t); >> y=4*sin(t); >> plot(x,y)

17

(3) 在同一图形窗口中,画出四幅不同图形(用 subplot 命令) :

y1 = cos( x) , y 2 = sin( x ? pi / 2) , y3 = x 2 cos( x ? pi ) , y 4 = esin( x ) ( x ∈ [0,2π ] )
>> x=-2*pi:pi/20:2*pi; >> y1=cos(x); >> y2=sin(x-pi/2); >> y3=x.^2.*cos(x-pi); >> y4=exp(sin(x)); >> subplot(2,2,1); >> plot(x,y1); >> subplot(2,2,2); >> plot(x,y2); >> subplot(2,2,3); >> plot(x,y3); >> subplot(2,2,4); >> plot(x,y4)

实验二 实验二
【实验目的】 实验目的】
1. 了解二元函数图形的制作。 2. 空间曲面等高线的制作。 3. 了解多元函数插值的方法。 4. 学习掌握 MATLAB 软件有关的命令。

二元函数的图形

18

1.画出空间曲线 z =

10 sin x 2 + y 2 1+ x2 + y2

在 ? 30 < x, y < 30 范围内的图形,并画出相应的等高线。

2.根据给定的参数方程,绘制下列曲面的图形。 >> x=-30:1:30; >> y=-30:1:30; >> z=10*sin((x.^2+y.^2).^(1/2))./((1+x.^2+y.^2).^(1/2)); >> plot3(x,y,z)

a) 椭球面 x = 3cos u sin v, y = 2 cos u cos v, z = sin u >> v=0:0.1:2*pi; >> u=v'; >> x=3*cos(u)*sin(v); >> y=2*cos(u)*cos(v); >> z=sin(u)*ones(size(v)); >> surf(x,y,z)

19

b) 椭圆抛物面 x = 3u sin v, y = 2u cos v, z = 4u 2 >> x=-1.5:0.1:1.5; >> y=x'; >> a=3*y*sin(x); >> b=2*y*cos(v); >> c=4*y.^2*ones(size(x)); >> surf(a,b,c)

c)

单叶双曲面 x = 3 sec u sin v, y = 2 sec u cos v, z = 4 tan u
20

>> u=-pi/2:0.1:pi/2; >> v=u'; >> x=3*sec(v)*sin(u); >> y=2*sec(v)*cos(u); >> z=4*tan(v)*ones(size(u)); >> surf(x,y,z)

d)

双曲抛物面 x = u , y = v, z =

u2 ? v2 3

>> u=-1:0.1:1; >> v=-1:0.1:1; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> Z=(U.^2-V.^2)/3; >> surf(U,V,Z)

21

e) 旋转面 x = ln u sin v, y = ln u cos v, z = u >> v=0:0.1:2*pi; >> u=0:0.1:2*pi; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=log(U).*sin(V); Warning: Log of zero. >> y=log(U).*cos(V); Warning: Log of zero. >> Z=U; >> surf(x,y,Z)

22

f) 圆锥面 x = u sin v, y = u cos v, z = u >> v=0:0.1:2*pi; >> u=0:0.1:2*pi; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=ln(U).*sin(V); >> X=U.*cos(V) >> Y=U.*sin(V); >> Z=U; >> surf(X,Y,Z)

g) 环面 x = (3 + 0.4 cos u ) cos v, y = (3 + 0.4 cos u ) sin v, z = 0.4 sin v >> clear >> v=0:0.1:2*pi; >> u=0:0.1:2*pi; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> x=(3+0.4*cos(U)).*sin(V); >> y=(3+0.4*cos(U)).*cos(V); >> z=0.4*sin(V); >> surf(x,y,z)

23

h) 正螺面 x = u sin v, y = u cos v, z = 4v >> v=0:0.1:2*pi; >> u=0:0.1:2*pi; >> [U,V]=meshgrid(u,v); >> a=U.*sin(V); >> b=U.*cos(V) >> c=4*V; >> surf(a,b,c)

3.在一丘陵地带测量高程,x 和 y 方向每隔 100 米测一个点,,得高程见表 1,试拟合一曲面,确定合适的模
24

型,并由此找出最高点和该点的高程.
表1 高程数据

y 100 200 300 400

x

100 636 698 680 662

200 697 712 674 626

300 624 630 598 552

400 478 478 412 334

实验三 极限与连续(基础实验) 实验三 极限与连续(基础实验) 实验目的
:

通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Matlab 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质. 1 分别画出坐标为 (i, i 2 ), (i 2 ,4i 2 + i 3 ), (i = 1,2,L,10) 的散点图, 并画出折线图. 2 画出前 25 个素数的散点图. 数列极限的概念 3 观察 Fibonacci 数列的变化趋势.
2n 3 + 1 . 3 4 研究极限 n→∞ 5n + 1 { xn } { y n } lim

5

设数列



由下式确定:
x1 = 1, y1 = 2

,

xn+1 = xn y n

,

y n+1 =

xn + y n 2

( n = 1,2,L )

观察 {xn } 与 { yn } 的极限是否存在. 6 讨论极限 lim cos x
n→∞ n

7. 在 MATLAB 中求下列极限(写出 MATLAB 命令和运行结果)
25

(1)

n →∞

lim( n + n ? n )

2 lim(1 ? ) 3 x x (2) x→∞

8 计算极限
2n 3 + 1 . 3 (1) n→∞ 5n + 1 lim

(?1) n + 4 n n +1 n +1 (2) n → +∞ 3 + 4 lim

sin x ? x cos x x 2 sin x (3) x → 0 lim

ln cot x (4) x → +0 ln x lim

(5) x → +0

lim x 2 ln x

9 讨论下列函数在指定点的连续性:
? x 2 ? 5x ? 6 ? f ( x ) = ? x + 1 , x ≠ ?1 ? ?7 x = ?1 x = ?1 ? (1)函数 在 处的连续性;

?1 ? x 2 ? 5 x, x ≥ 0 ? g ( x) = ? sin x x<0 ? x ? (2)函数 在 x = 0 处的连续性;

实验四 导数(基础实验) 实验四 导数(基础实验) 实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用 Matlab 求导数与高 阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.
3 2 1 用定义求 g ( x) = x ? 3x + x + 1 的导数.

2 求函数 y = sin 2 x 与 y = sin ax cos bx 的微分. 3 函数 f ( x ) = 1 / x 4 在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在 ξ ∈ (1, 2) 使

f ′(ξ ) = ( f (2) ? f (1)) / (2 ? 1). 可以验证这个结论的正确性.
3 2 4 验证拉格朗日定理对函数 y = 4 x ? 5 x + x ? 2 在区间[0,1]上的正确性.

5 证明:对函数 y = px 2 + qx + r 应用拉格朗日中值定理时, 所求得的点 ξ 总是位于区间 [ a, b] 的正中间. 6 求下列函数的导数:
y= 1 cot 2 x + ln sin x 2 ; y= 1 2 arctan 2 x

(1)

(2)

.

7 求下列函数的一、二阶导数: (1) y = ln[ f ( x)];
x f ( x) (2) y = f (e ) + e .

8.根据要求在 MATLAB 中求下列函数的导数(写出 MATLAB 命令和运行结果)

dy =? y = x + 10 + log x 10 ,求 dx (1)
10 x

f (t ) =
(2)
26

1? t 1 + t ,求 f ′ ( 4 ) = ?

9 求下列函数的导数:

1 ? x2 f ( x) = arcsin( ) 2 2 1 + x 2 ,求 f ′(1) = ? (2)设 y = ln( x + a + x ) ,求 dy (1)
d2y 2 2 (3) y = x ln(1 + x ) ,求 dx
x =1 = ?

? x = a (t ? sin t ) dy ? y = a (1 ? cos t ) ,求 dx (4)设 ?

10 在 MATLAB 中计算下列不定积分(写出 MATLAB 命令和运行结果)

(1)

∫ cos 2 x cos 3xdx

(2)

∫ x(

dx ln x + a + ln x + b )

( a ≠ b)

11.计算下列定积分(写出 MATLAB 命令和运行结果)

(1)



π
0

sin x ? sin x dx
3 5

(2)



1 0

e

?

x2 2

dx

11.解下列微分方程

d 2 y dy (1 + x) 2 + =0 dx dx (1)
12.求下列函数在指定点的泰勒展开式 (1)

(2)计算初值问题:

? dy ? = y+x ? dx ? y ( 0) = 1 ?

f ( x) = x5 ? x3 + 2 x + 1 , 在 x0 = ?1处6阶式
实验五 导数的应用(基础实验) 实验五 导数的应用(基础实验)

x (2) f ( x ) = x ? e 在 x = 0 处的 n 阶式

1

已知多项式 f ( x ) = 3 x 5 ? x 4 + 2 x 3 + x 2 + 3 , g ( x ) =

1 3 x + x 2 ? 3 x ? 1 ,求: 3
f ( x) ; g ( x)

(1) f ( x ) 的根; (2) g ( x ) 在闭区间[-1,2]上的最小值; (3) f ( x ) + g ( x) , f ( x ) ? g ( x) 和 (4) f ( x ) 的导数。 2 已知函数

f ( x) =

1 6 25 x ? 2 x 5 ? x 4 + 60 x3 ? 150 x 2 ? 180 x ? 25 , 2 2

在区间 [ ?6, 6] 上画出函数 f ( x ), f ′( x ), f ′′( x ) 的图形, 并找出所有的驻点和拐点.求极值的近似值 求函数 y = 2sin 2 (2 x) +

3

5 ? x? x cos 2 ? ? 的位于区间 (0, π ) 内的极值的近似值. 2 ?2?

即得到函数 ? y 的两个极小值和极小值点. 再转化成函数 y 的极大值和极大值点. 两种方法的结果是完 全相同的. 泰勒公式与函数逼近

27

x2 xn 4 利用泰勒公式 e = 1 + x + + L + + Rn ( x) 近似计算 e x . 若 | x |< 1 ,要求截断误差 | Rn |< 0.005 2! n!
x

问 n 应取多大? 5 观察函数 f ( x ) = sin x 各阶泰勒展开的图形.

(1) 固定 x0 = 0 ,观察阶数 n 的影响; (2) 扩大显示区间范围, 以观察在偏离展开点 x0 时泰勒多项式对函数的逼近情况; (3)固定 n = 10 ,观察 x0 的影响. 项目六 项目六 多元函数微积分 1、多元函数微分学. 多元函数微分学 求多元函数的偏导数与全微分 1.1 求函数的导数: (i)

? ? ? ? 2 x2 ?2 2 ? y ?2 ( x e ) ;(ii) ( y 2e ? x ) x = 0, y = 2 ;(iii) ? 2 e sin y ? 2 ?x ?x?y ?y ? ?x ?
?u ?u ?v ?v , , , . ?x ?y ?x ?y

1.2 设 x = eu + u sin v, y = eu ? u cos v ,求

1.3 根据要求下列函数的偏导数:

(1)设 sin( xy ) + cos( yz ) + tan( xz ) = 0 ,求

?y ?z , ; ?x ?y

(2)设 ln x + e

?

y x

= e ,求

dy dx

(3)设 z = x 6 ? 3 y 4 + 2 x 2 y 2 ,求

?2 z ?2 z ?2 z , , ; ?x 2 ?y 2 ?x?y

2 ? ? ?2 2 ?2 2? ? 2 ?y (4)计算 ( x 2e? y ) ? 2 y sin x ? , 2 ( x e ), ?y ? ?x ?x?y ? ?x

x =1, y = 2

(5)设 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 确定函数 z = f ( x, y ) ,求

?z ?z , 。 ?x ?y

微分学的几何应用 1.3 求出曲面 z = x 2 + y 2 + 2xy 2 在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形. 1.4 求曲面 z = sin( xy ) + xy 在点 (1, π , π ) 处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里. 多元函数的极值
28

1.5 求 f ( x, y ) = xy 3 ? x 3 + y 2 + 3xy ? 9 x 的极值. 1.6 求函数 z = x 2 + y 2 + 2 xy ? 2 在条件 x 2 + 2 y 2 + 3x + 4 y ? 1 = 0 下的极值. 2、多元函数积分学 计算重积分 2.1 求下列函数的积分:

?1 y2 ? ≤x≤2 ∫∫ x2 dxdy, D : ? 2 D ?1 ≤ y ≤ 2 ? x (2) dxdy ∫∫ 1 + xy D D = [0,1] × [0,1]
(3)

(1)

∫∫∫ zdxdydz , V 由曲面 z = x
V

2

+ y 2 , z = 1 , z = 2 所围成。

(4)
2

∫∫
x +y
2

(x + y)dxdy
≤4

(5)
2

∫∫ ( x + y )dxdy
x + y ≤x
2

2

2

2 2 2.2 求由曲面 z = x + y 与 g ( x, y ) = 2 ? x ? y 所围成的空间区域 ? 的体积.

重积分的应用 求

2

2

∫∫∫ dxdydz 其中 ? 由 z = x
?

2

+ y 2 和 g ( x, y ) = 2 ? x 2 ? y 2 围成

2.3 在 Oxz 平面内有一个半径为 2 的圆, 它与 z 轴在原点 O 相切, 求它绕 z 轴旋转一周所得旋转体体 积. 计算曲线积分 2.4 求



L

f ( x, y, z )ds , 其中 f ( x, y, z ) = xy + x 2 + y 2 积分路径为
L : x = 1 + t , y = 2t , z = 3t 2 , 0 ≤ t ≤ 2.

(注意到,弧长微元 ds = 计算曲面积分 2.5 计算曲面积分 限部分.

xt2 + yt2 + zt2 dt , 将曲线积分化为定积分)

∫∫ ( xy + yz + zx)dS , 其中 Σ 为锥面 z =
Σ

x 2 + y 2 被柱面 x 2 + y 2 = 2 x 所截得的有

2 2 (注意到,面积微元 dS = 1 + z x + z y dxdy , 投影曲线 x 2 + y 2 = 2 x 的极坐标方程为

r = 2 cos t , ?
将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.)

π
2

≤t ≤

π
2

2.6 计算曲面积分 分析:

∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy,
3 3 3 Σ
3 3 3 Σ

其中 Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 的外侧.
3 3 3

∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = 2∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy 其中 ∑

+

+

表示球面得

29

上半部分;则 z =

a2 ? x2 ? y2

3 最小二乘拟合 目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择 恰当的曲线拟合该数表. 最小二乘拟合原理 给定平面上的一组点

( xk , yk ), k = 1, 2,L , n,
寻求一条曲线 y = f (x), 使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方 法. 最小二乘拟合的原理是, 求 f (x), 使

δ = ∑ [ f ( xk ) ? yk ]2
k =1

n

达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式

f ( x) = c0φ0 ( x) + c1φ1 ( x) + L + cmφm ( x),
其中 φ0 ( x ), φ1 ( x ),L , φm ( x ) 称为拟合函数的基底函数 基底函数.为使 δ 取到极小值, 将 f (x) 的表达式 基底函数 代入, 对变量 c i 求函数 δ 的偏导数, 令其等于零, 就得到由 m + 1 个方程组成的方程组, 从中可解出

ci (i = 0,1, 2,L , m).
曲线拟合 3.1 为研究某一化学反应过程中温度 x( o C ) 对产品得率 y (%) 的影响, 测得数据如下: x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 试求其拟合曲线. 3.2 给定平面上点的坐标如下表:
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 y 5.1234 5.3057 5.5687 5.9378 6.4337 7.0978 7.9493 9.0253 10.3627

试求其拟合曲线. 3.3 已知 lg(x)的[1,101]区间 11 个整数采样点的函数值如下表

x lg(x)

1 0

11 1.0414

21 1.3222

31 1.4914

41 1.6128

51 1.7076

试求 lg(x)的 5 次拟合多相式 p(x),并分别绘制出 lg(x)和 p(x)在[1,101]区间的函数曲线 项目七 项目七 无穷级数与微分方程 1 无穷级数 目的 观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近. 掌握用 Matlab 求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法. 数项级数 数项级数 1.1(1) 观察级数



n

2n ? 1 的部分和序列的变化趋势. 2n n =1


(2) 观察级数

∑ n?2
n =1

n +1

的部分和序列的变化趋势.

30

1.2 设 an =

∞ 3n , 求 ∑ an . n! n =1

1.3 求下列级数的和: I 1 =


n =1



2n ? 1 2
n



I2 =


n =1



1 , 2(2n + 1)

I3 =



(?1) n +1 n n =1



I4 =

∑n
n =1

100

2

函数的幂级数展开 1.5 将函数 sin x 展开为 x 的幂级数,分别展开至 5 次和 20 次。 1.6 将函数 (1 + x ) m 展开为 x 的幂级数, m 为任意常数。展开至 4 次幂。 1.7 将函数 f ( x ) =

1 展开为 ( x ? 2) 的幂级数。 x + 5x ? 3
2

1.8 将函数 cos x 展开成 ( x ?

) 的幂级数,取前 10 项。 3 1.9 求函数 f ( x ) = x 2 在 [ ?π , π ] 上的傅立叶级数。 1.10 求出函数 f ( x) = x 3 + x 2 在区间 [ ?π , π ] 上的前 11 个傅立叶系数,即 n =5。
2 微分方程

π

目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab 求微分方程及方程组解的常用命令和方法. 求解微分方程 2.1 求微分方程 y ′ + 2 xy = xe
x

? x2

的通解.
x =1

2.2 求微分方程 xy ′ + y ? e = 0 在初始条件 y
x

= 2e 下的特解.

2.3 求解微分方程 y′′ = 2 x + e , 并作出其积分曲线.

? dx t ? dt + x + 2 y = e ? 在初始条件 x 2.4 求微分方程组 ? dy ? ?x? y =0 ? dt ?
2.5 求出初值问题

t =0

= 1, y

t =0

= 0 下的特解.

? y′′ + y′ sin 2 x + y = cos 2 x ? ? y (0) = 1, y′(0) = 0
的数值解, 并作出数值解的图形. 项目八 项目八 矩阵运算与方程组求解 1 行列式与矩阵 掌握矩阵的输入方法. 掌握利用 Matlab 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 目的 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式. 矩阵 A 的转置函数 Transpose[A]

?1 ? 3 1.1 求矩阵 ? ?5 ? ?1

7 2? ? 4 2? 的转置. 6 3? ? 1 4?
31

矩阵线性运算 1.2 设 A = ?

? 3 4 5? ?4 2 7? ?, B = ? ? , 求 A + B, 4 B ? 2 A. ? 4 2 6? ?1 9 2?

矩阵的乘法运算

?4 2 7? ?1? ? ? ? ? 3 T 1.3 设 A = ? 1 9 2 ? , B = ? 0 ? , 求 AB 与 B A, 并求 A . ?0 3 5? ? ? ? ? ?1? ? ?1 1 1 ? ?3 2 1? ? ? ? ? T 1.4 设 A = ? 1 ?1 1 ? , B = ? 0 4 1 ? , 求 3 AB ? 2 A 及 A B. ? 1 2 3? ? ?1 2 ?4 ? ? ? ? ?
求方阵的逆

?2 ? 5 1.5 设 A = ? ?0 ? ?3

1 3 2? ? 2 3 3? , 求 A?1. 1 4 6? ? 2 1 5?

?3x + 2 y + z = 7, ? 1.6 解方程组 ? x ? y + 3 z = 6, ?2 x + 4 y ? 4 z = ?2. ?
求方阵的行列式

1 x1
1.7 计算范德蒙行列式 x1
2

1 x2
2 x2 3 x2 4 x2

1 x3
2 x3 3 x3 4 x3

1 x4
2 x4 3 x4 4 x4

1 x5
2 x5 . 3 x5 4 x5

x13 x14
?3 ? ?7 1.8 设矩阵 A = ?11 ? ?2 ?5 ?
7 9 5 7 7

6 ?4 ? ? 4 2 0? ?6 9 3 ? , 求 | A |, tr ( A), A3 . ? ?8 3 7 ? ? 9 0 ?6 ? 2

向量的内积 1.9 求向量 u = {1, 2, 3} 与 v = {1, ?1, 0} 的内积.(dot()函数命令) 2 矩阵的秩与向量组的极大无关组 目的 学习利用 Matlab 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 求矩阵的秩
32

? 3 2 ?1 ?3 ?2 ? ? ? 1 ?3 ? , 求矩阵 M 的秩.(rank()命令) 2.1 设 M = ? 2 ?1 3 ? 7 0 5 ?1 ?8 ? ? ? ? 3 2 ?1 ?3 ? ? ? 1 ? 的秩等于 2, 求常数 t 的值. 2.2 已知矩阵 M = ? 2 ?1 3 ? 7 0 t ?1 ? ? ?
矩阵的初等行变换

? 2 ?3 8 2 ? ? ? 2.4 设 A = ? 2 12 ?2 12 ? , 求矩阵 A 的秩. ?1 3 1 4 ? ? ?
向量组的秩 2.5 求向量组 α1 = (1, 2, ?1,1), α 3 = (0, ?4, 5, ?2), α 2 = (2, 0,3, 0) 的秩. 向量组的极大无关组 2.6 求向量组

α1 = (1, ?1, 2, 4), α 2 = (0,3,1, 2), α 3 = (3, 0, 7,14), α 4 = (1, ?1, 2, 0), α 5 = (2,1, 5, 0)
的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示. 向量组的等价 2.7 设向量

α1 = (2,1, ?1,3), α 2 = (3, ?2,1, ?2), β1 = (?5,8, ?5,12), β 2 = (4, ?5,3, ?7),
求证:向量组 α1 , α 2 与 β1 , β 2 等价. 3 线性方程组 目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用 Mathematica 命令各类求线性方程 组的解. 理解计算机求解的实用意义.

? x1 + x2 ? 2 x3 ? x4 = 0, ? 3 x ? x ? x + 2 x = 0, ? 1 2 3 4 3.1 求解线性方程组 ? ? 5 x2 + 7 x3 + 3 x4 = 0, ?2 x1 ? 3x2 ? 5 x3 ? x4 = 0. ?
3.2 向量组 α1 = (1,1, 2, 3), α 2 = (1, ?1,1,1), α 3 = (1, 3, 4,5), α 4 = (3,1,5, 7) 是否线性相关?

33

? x1 + x2 ? 2 x3 ? x4 = 4 ?3 x ? 2 x ? x + 2 x = 2 ? 1 2 3 4 3.3 求线性方程组 ? 5 x2 + 7 x3 + 3 x4 = ?2 ? ? 2 x1 ? 3x2 ? 5 x3 ? x4 = 4 ?

的特解.

3.4 3.4 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式 ax + bx + c, 并画出其图形.
2

3.5 3.5 求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足 f ′( ?1) = 20, f ′(1) = 9 的 4 次多项式 f ( x ). 非齐次线性方程组的通解

? x1 ? x2 + 2 x3 + x4 = 1 ?2 x ? x + x + 2 x = 3 ? 1 2 3 4 3.6 3.6 解方程组 ? x1 ? x3 + x4 = 2 ? ? 3 x1 ? x2 + 3 x4 = 5 ?

?ax1 + x2 + x3 = 1 ? 3.7 3.7 当 a 为何值时,方程组 ? x1 + ax2 + x3 = 1 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有 ? x + x + ax = 1 3 ? 1 2
解时,求通解. 项目九 项目九 矩阵的特征值与特征向量 1 求矩阵的特征值与特征向量 学习利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 目的 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形. 求方阵的特征值与特征向量. 求方阵的特征值与特征向量. 1.1 求矩阵 A = ? 1
? ?1 0 2 ? ? ? 2 ? 1?. 的特征值与特值向量. ?1 3 0? ? ? ? 1 2 3? ? ? ? 3 3 6? ? ?

1.2 求方阵 M = ? 2 1 3 ? 的特征值和特征向量.

?3 0 0? ? ? 1.3 已知 2 是方阵 A = ? 1 t 3 ? 的特征值,求 t . ?1 2 3? ? ? ? 2 ?1 2 ? ? ? a 3 ? 的一个特征向量,求参数 a, b 及特征向量 x 所属的特征 1.4 已知 x = (1,1, ?1) 是方阵 A = ? 5 ? ?1 b ?2 ? ? ?
值. 矩阵的相似变换

34

?4 1 1? ? ? ?1 1.7 设矩阵 A = ? 2 2 2 ? ,求一可逆矩阵 P ,使 P AP 为对角矩阵. ? 2 2 2? ? ? ? ?2 0 0 ? ? ?1 0 0 ? ? ? ? ? 1.8 已知方阵 A = ? 2 x 2 ? 与 B = ? 0 2 0 ? 相似, 求 x, y . ? 3 1 1? ? 0 0 y? ? ? ? ?
?0 ? 1 1.9 对实对称矩阵 A = ? ?1 ? ?0 1 1 0? ? 0 1 0? ; ,求一个正交阵 P ,使 P ?1 AP 为对角阵. 1 0 0? ? 0 0 2?
2

1.10 求一个正交变换,化二次型 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 + 2 x4 ; 为标准型. 1.11 已知二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 ? 2 x2 + x3 + 2 x1 x2 ? 4 x1 x3 + 2 x2 x3

(1)求标准形;

(2)求正惯性指数;

(3)判断二次型是否正定.

35


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