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2012徐汇中考二模数学试卷(含答案)


2012 徐 汇 中 考 二 模 数 学 试 卷 ( 含 答 案 )
2012. 2012.4 12 (时间 100 分钟 满分 150 分) 考生注意∶ 考生注意∶ 1.本试卷含三个大题,共 25 题;答题时,考生务必按答题要求在答题纸规 定的位置上作 答题时, .本试卷含三个大题, 稿纸、本试卷上答题一律无效; 答,在草 稿纸、本试卷上答题一律无效; 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 .除第一、二大题外,其余各题如无特别说明, 计算的主要步骤. 计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题 共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中, 有且只有一个选项是正确的, 选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1.下列实数中,无理数是 (A) 9 ; (B) 3 8 ;

π
(C) ;

2

(D) 3.3030030003 .

2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形是 (A)正六边形; (B)正五边形; (C)等腰梯形; (D)等边三角形. 3.如果 a ? 2b = 3 ,那么 6 ? 2a + 4b 的值是 (A) 3 ; (B) 2; (C) 1; (D) 0.

4.下列成语或词语所反映的事件中,可能性大小最小的是 (A)瓮中捉鳖; (B)守株待兔; (C)旭日东升; (D)夕阳西下.

5.某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸(单位:码)整理后的数据如下:36,38,38, 39,40,40,41,41,41,41,42,43,44.那么这组数据的中位数和众数分别为 (A)40,40; (B)41,40; (C)40,41; (D)41,41.

6.下列关于四边形是矩形的判断中,正确的是 (A)对角线互相平分; (C)对角线互相平分且垂直; (B)对角线互相垂直; (D)对角线互相平分且相等.

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算: 3a ? 2a =
2
[来源:学§科§网]



. ▲ ▲ . . ▲ .

8.求值: sin 30° ? tan 60° = 9.函数 y =

3 x + 6 的定义域是
2 2

10.如果方程 x ? 3 x + m = 0 有两个相等的实数根,那么 m 的值是

11.如果将抛物线 y = x ? 3 向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,那么平移后的抛物 线表达式是 ▲ .
n

12.纳米是一 个长度单位,1 纳米=0.000 000 001 米,如果把水分子看成是球形,它的直径 约为 0. 4 纳米,用科学记数法表示为 4 × 10 米,那么 n 的值是 ▲ . 13.如图 1,一斜坡 AB 的坡比 i = 1 : 4 ,如果坡高 AC = 2 米,那么它的水平宽度 BC 的长
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是 ▲ 米. 14.一次函数 y = kx + b( k ≠ 0) 中两个变量 x、y 的部分对应值如下表所示: x y … … -2 8 -1 5 0 2 ▲ 1 -1 2 -4 . … …

那么关于 x 的不等式 kx + b ≥ ?1 的解集是

15.点 G 是△ABC 的重心,如果 AB = a , AC = b ,那么向量 BG 用向量 a 和 b 表示 为 ▲ . 16.为了了解全区近 6000 名初三学生数学学习状况,随机抽取 600 名学生的测试成绩作为 样本,将他们的成绩整理后分组情况如下: (每组数据含最低值,不含最高值)
分组(分) 频数 频率 40~50 12 50~60 18 60~70 180 0.16 0.04
[来源:Zxxk.Com]

70~80

80~90

90~100

根据上表信息,由此样本请你估计全区此次测试成绩在 70~80 分的人数大约是 点 C 在第一象限,如果 ∠OAB = 30° ,那么点 C 的坐标是 ▲

▲ .

17.如图 2,矩形 ABCD 中, AB = 2, BC = 4 ,点 A、B 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上, . 18. 如图 3, 在菱形 ABCD 中,AB = 3 ,∠A = 60° , 点 E 在射线 CB 上,BE = 1 , 如果 AE 与射线 DB 相交于点 O ,那么 DO = ▲ . y A C 图1 B O B 图2 x A 图3 B A D C

D

C

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 化简:

m2 ? m ? 6 m + 2 m ÷ ? . 2 m ? m ? 2 m +1 m ? 2

20. (本题满分 10 分)

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第 2 页 共 8 页

如图 4,在 ?AOB 中,点 A(?1,0) ,点 B 在 y 轴正半轴上,且 OB = 2OA . (1)求点 B 的坐标; (3 分) (2)将 ?AOB 绕原点 O 顺时针旋转 90° ,点 B 落在 x 轴正半轴的点 B ′ 处,抛物线

y = ax 2 + bx + 2 经过点 A、B ′ 两点,求此抛物线的解析式及对称轴. 分) (7

y B

[来源:学科网 ZXXK]

A

O

x

图4 21. (本题满分 10 分) 如图 5, AC 和 BD 相交于点 O , ∠D = ∠B , AB = 2CD . (1)如果 ?COD 的周长是 9,求 ?AOB 的周长; (4 分) (2)联结 AD ,如果 ?AOB 的面积是 16,求 ?ACD 的面积. (6 分) D O C

[来源:学*科*网]

A 图5

B

22. (本题满分 10 分) 为迎接“五一”国际劳动节,某公司机床车间举行“车工技能竞赛”活动,竞赛规则: 先车好 240 个零件的选手获胜.小李为了这次比赛刻苦训练、积极准备,在比赛中,小 李每小时比原来多车 10 个零件,结果比原来提前 2 小时完成任务,荣获第一名.问小 李比赛中每小时车多少个零件? 23. (本题满分 12 分) 如图 6,在四边形 ABCD 中, AD = CD , AC 平分 ∠DAB , AC ⊥ BC ,∠B = 60° . (1)求证:四边形 ABCD 是等腰梯形; (6 分) (2)取边 AB 的中点 E ,联结 DE .求证:四边形 DEBC 是菱形. (6 分) D C

A 24. (本题满分 12 分)

图6

B

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第 3 页 共 8 页

函数 y =

k k k 和 y=? ( k ≠ 0) 的 图 像 关 于 y 轴 对 称 , 我 们 把 函 数 y = 和 x x x

y=?

k (k ≠ 0) 叫做互为“镜子”函数. x

类似地,如果函数 y = f ( x ) 和 y = h( x ) 的图像关于 y 轴对称,那么我们就把函数

y = f ( x) 和 y = h( x) 叫做互为“镜子”函数.
(1)请写出函数 y = 3 x ? 4 的“镜子”函数:
2

, 分) (3

(2)函数

的“镜子”函数是 y = x ? 2 x + 3 ; (3 分)

(3)如图 7,一条直线与一对“镜子”函数 y =

2 2 ( x > 0 )和 y = ? ( x < 0 )的图像 x x 2 分别交于点 A、B、C ,如果 CB : AB = 1 : 2 ,点 C 在函数 y = ? ( x < 0 )的“镜 x 1 子”函数上的对应点的横坐标是 ,求点 B 的坐标. (6 分) y 2
C B A O

x

25. (本题满分 14 分)

图7

3 在 Rt?ABC 中,∠C = 90° ,AC = 6 ,sin B = , B 的半径长为 1, B 交边 CB ⊙ ⊙ 5 于点 P ,点 O 是边 AB 上的动点. (1) 如图 8, 将⊙ B 绕点 P 旋转 180° 得到⊙ M , 请判断⊙ M 与直线 AB 的位置关系;
(4 分) (2)如图 9,在(1)的条件下,当 ?OMP 是等腰三角形时,求 OA 的长; (5 分) (3)如图 10,点 N 是边 BC 上的动点,如果以 NB 为半径的⊙ N 和以 OA 为半径的 ⊙ O 外切,设 NB = y , OA = x ,求 y 关于 x 的函数关系式及定义域. 分) (5 .

C P A O 图8 B A

C C N P O B 图9 图 10 A O B

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第 4 页 共 8 页

2011 学 年 第 二 学 期 徐 汇 区 初 三 年 级 数 学 学 科 学习能力诊断卷参考答案和评分标准
(本大题共 一、选择题: 本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 选择题: ( 1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.D; 6.D.

(本大题共 二.填空题: 本大题共 12 题,满分 48 分) 填空题: (
3

7. 6a ; 8.

3 9 ; 9.x ≥ ?2 ; 10. ; 11.y = ( x + 2) 2( y = x 2 + 4 x + 4 ) 12. 10 ; ; ? 2 4

13.8 ; 14. x ≤ 1 ; 15. b ?

1v 3

2v a ; 16. 2700 ; 3

17. (1 + 2 3 ,2) ; 18.

9 9 或 . 4 2

(本大题共 19、20、21、 23、 三、 本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 ( 14 分,满分 78 分) 19. 解:原式=

(m ? 3)(m + 2) m + 1 m ? ? (m ? 2)(m + 1) m + 2 m ? 2

……………………………(6 分)



m?3 m ………………………………………………(2 分) ? m?2 m?2 3 =? ………………………………………………………(2 分) m?2

20.解: (1)∵ A( ?1,0) ,∴ OA = 1 ……………………………………………(1 分) ∵ OB = 2OA ,∴ OB = 2 ………………………………………(1 分) ∴ B (0,2) .…………………………………………………………(1 分) (2)由题意,得 B ′( 2,0) ,………………………………………………(1 分)

∴ ?

?a ? b + 2 = 0 ? a = ?1 ,解得, ? …………………………(3 分) ?4a + 2b + 2 = 0 ?b = 1

∴ y = ? x 2 + x + 2 .………………………………………………(1 分) 对称轴为直线 x =

1 .………………………………………………(2 分) 2

21.解: (1) ∵ ∠D = ∠B , ∠DOC = ∠BOA ; ∴ ?COD ∽ ?AOB ,……………………………………………(1 分)



C ?COD CD CD 1 = = = C ?AOB AB 2CD 2

…………………………………(2 分)

∵ C ?COD = 9 ,∴ C ?AOB = 18 .…………………………………(1 分)
徐汇 第 5 页 共 8 页

(2)

∵ ?COD ∽ ?AOB ,



S AO AB CD 2 1 = = 2 , ?COD = ( ) = .………………………(2 分) CO CD S ?AOB AB 4

∵ S ?AOB = 16 ,∴ S ?COD = 4 ………………………………………(1 分) 设 ?ADC 中边 AC 上的高为 h .

1 AO ? h S ?ADO 2 AO ∴ = = = 2 ,∴ S ?AOD = 8 . ………………(2 分) S ?COD 1 CO CO ? h 2
∴ S ?ADC = S ?COD + S ?AOD = 12 .……………………………………(1 分) 22.解: 设小李比赛中每小时车 x 个零件,则小李原来每小时车 ( x ? 10) 个零件. 分) (1

由题意,得 化简,得 解得,

240 240 ? = 2 ;………………………………………(4 分) x ? 10 x x 2 ? 10 x ? 1200 = 0 ; ……………………………………(2 分) x1 = 40 , x 2 = ?30 ; ……………………………………(2 分)

但 舍去 (1 分) 经检验 x1 = 40 ,x 2 = ?30 都是原方程的根, x 2 = ?30 不合题意, 答: 小李比赛中每小时车 40 个零件. 23.证明: (1)∵ AD = CD ,∴ ∠DCA = ∠DAC ∵ AC 平分 ∠DAB ,∴ ∠DAC = ∠CAB ∴ ∠DCA = ∠CAB ,∴ DC ∥ AB …………………………………(2 分) 在 Rt?ACB 中, ∠ACB = 90° , ∠B = 60° ∴ ∠CAB = 30° ,∴ ∠DAC = 30° …………………………………(1 分) ∴ ∠DAB = 30° + 30° = 60° = ∠B ,∴ AD = BC ………………(1 分) ∵ ∠B + ∠DAB = 60° + 60° = 120° ≠ 180° ∴ AD 与 BC 不平行, ………………………………………………(1 分) ∴四边形 ABCD 是等腰梯形. ………………………………………(1 分) (2)∵ AD = CD , BC = AD ,∴ BC = CD …………………………(1 分) 在 Rt?ACB 中, ∠ACB = 90° , ∠CAB = 30°

1 AB = BE , …………………………………………………(1 分) 2 ∴ CD = BE ,∵ DC ∥ AB ……………………………………………(2 分) ∴四边形 DEBC 是平行四边形…………………………………………(1 分) ∵ BC = CD ∴四边形 DEBC 是菱形.………………………………………………(1 分)
∴ BC = 24.解: (1) y = ?3 x ? 4 ;………………………………………………………………(3 分)
2 (2) y = x + 2 x + 3 ;…………………………………………………………(3 分)

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(3)分别过点 C、B、A 作 CC ′、BB ′、AA′ 垂直于 x 轴,垂足分别为 C ′、B ′、A′ .

2 2 ) 、 A(n, ) ,其中 m > 0 , n > 0 . ………………………(1 分) m n 1 由题意, 点 C (? ,4) . 得 ……………………………………………………(1 分) 2 2 2 1 , AA′ = , A′B ′ = n ? m , B ′C ′ = m + . ∴ C C ′ = 4 , BB ′ = m n 2 易知 CC ′ ∥ BB ′ ∥ AA′ , 又 CB : AB = 1 : 2
设点 B ( m,

1 ? ? n ? m = 2( m + 2 ) ? 所以,可得 ? ,…………………………………………(2 分) ? 2 ? 2 = 2 (4 ? 2 ) ?m n 3 n ?
?n ? 3m = 1 1 ± 10 ? 化简,得 ? 1 (负值舍去)……………(1 分) 1 4 ,解得 m = 6 ? m ? 3n = 3 ?
2 4 10 ? 4 = , m 3
∴ B(



1 + 10 4 10 ? 4 , ) …………………………(1 分) 6 3 AC 3 = , AC = 6 AB 5

25.解: (1)在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90° ,∵ sin B = ∴ AB = 10 ,

BC =

AB 2 ? AC 2 = 10 2 ? 6 2 = 8 ………………(1 分)
MD 3 = , MB 5

过点 M 作 MD ⊥ AB ,垂足为 D .……………………………………(1 分) 在 Rt?MDB 中, ∠MDB = 90° ,∴ sin B = ∵ MB = 2 ,∴ MD =

3 6 × 2 = > 1 ……………………………………(1 分) 5 5

∴⊙ M 与直线 AB 相离.…………………………………………………(1 分) (2)分三种情况:

6 > 1 = MP , OM > MP ; ∴ …………………………… (1 分) 5 2° 当 OP = MP 时,易得 ∠MOB = 90° , OB BC 8 8 42 ∴ cos B = = = ,∴ OB = ,∴ OA = ;………(2 分) BM AB 10 5 5 1° ∵ MD = 3° 当 OM = OP 时,过点 O 作 OE ⊥ BC ,垂足为 E .
∴ cos B =
[来源:学科网]

EB BC 8 15 65 = = ,∴ OB = ,∴ OA = .………(2 分) OB AB 10 8 8 42 65 综合 1°、°、° ,当 ?OMP 是等腰三角形时, OA 的长为 2 3 或 . 5 8

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(3)联结 ON ,过点 N 作 NF ⊥ AB ,垂足为 F .

3 , NB = y ; 5 3 4 4 ∴ NF = y , BF = y ;∴ OF = 10 ? x ? y ,…………………(1 分) 5 5 5
在 Rt?NFB 中, ∠NFB = 90° , sin B = ∵⊙ N 和⊙ O 外切,∴ ON = x + y ;…………………………………(1 分) 在 Rt?NFB 中, ∠NFB = 90° ,∴ ON = OF + NF ;
2 2 2

即 ( x + y ) = (10 ? x ?
2

∴y=

250 ? 50 x ;…………………………………………………………(2 分) x + 40

4 2 3 y) + ( y) 2 ; 5 5

定义域为: 0 < x < 5 .……………:………………………………………(1 分)

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