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【高三总复习】3-5 简单的三角恒等变换(人教B版) 含解析


3-5 简单的三角恒等变换 基础巩固强化 1.(文)(2011· 陕西宝鸡质检)设 α、 均为锐角, cos(α+β)=sin(α β 且 -β),则 tanα 的值为( A.2 [答案] C [解析] 由已知得 cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ, 所以 cosα(cosβ+sinβ)=sinα(cosβ+sinβ),因为 β 为锐角,所以 sinβ+ cosβ≠0,所以 sinα=cosα,即 tanα=1,故选 C. (理)(2012· 东北三省四市联考)若点 P(cosα,sinα)在直线 y=-2x 上,则 sin2α+2cos2α=( 14 A.- 5 [答案] C [解析] ∵点 P 在直线 y=-2x 上,∴sinα=-2cosα, ∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2(2cos2α-1) =-4cos2α+4cos2α-2=-2. π 1 θ 2.设2<θ<π,且|cosθ|=5,那么 sin2的值为( 10 A. 5 15 C.- 5 [答案] D π 1 [解析] ∵2<θ<π,∴cosθ<0,∴cosθ=-5. 10 B.- 5 15 D. 5 ) 7 B.-5 ) C.-2 4 D.5 B. 3 ) C.1 3 D. 3

π θ π θ ∵4<2<2,∴sin2>0, θ θ 1-cosθ 3 又 cosθ=1-2sin22,∴sin22= 2 =5, θ 15 ∴sin2= 5 . A C A C 3. 在△ABC 中, B、 成等差数列, tan 2 +tan 2 + 3tan 2 · 2 A、 C 则 tan 的值是( ) 3 D. 3

A.± 3 B.- 3 C. 3 [答案] C

[解析] ∵A、B、C 成等差数列,∴2B=A+C, π 2π 又 A+B+C=π,∴B=3,A+C= 3 , A C A C ∴tan 2 +tan 2 + 3tan 2 · 2 tan A C? ?A C?? A C tan =tan? 2 + 2 ??1-tan 2 · 2 ?+ 3tan 2 tan 2 ? ?? ? = 3,故选 C. C 4.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.既非等腰又非直角的三角形 [答案] B C [解析] ∵sinAsinB=cos2 2 , )

1 1 ∴2[cos(A-B)-cos(A+B)]=2(1+cosC), ∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC, ∴cos(A-B)=1, ∵-π<A-B<π,∴A-B=0, ∴△ABC 为等腰三角形. 1 5.若 cos(x+y)cos(x-y)=3,则 cos2x-sin2y 等于( 1 1 2 2 A.-3 B.3 C.-3 D.3 [答案] B [解析] ∵cos(x+y)cos(x-y)=(cosxcosy-sinxsiny)· (cosxcosy+ )

sinxsiny)=cos2xcos2y-sin2xsin2y=cos2x(1-sin2y)-(1-cos2x)· 2y= sin cos2x-cos2xsin2y-sin2y+cos2xsin2y=cos2x-sin2y,∴选 B. π β 3 α 6.(2011· 石家庄模拟)若 α、β∈(0,2),cos(α-2)= 2 ,sin(2-β) 1 =-2,则 cos(α+β)的值等于( )

3 1 1 3 A.- 2 B.-2 C.2 D. 2 [答案] B π [解析] 由 α、β∈(0,2)得, β π π α π π α-2∈(-4,2),2-β∈(-2,4). β 3 α 1 又 cos(α-2)= 2 ,sin(2-β)=-2, β π α π ∴α-2=± ,2-β=-6, 6

π π ∵α,β∈(0,2),∴α=β=3, 1 ∴cos(α+β)=-2. 3 3 π 7. 已知 sinα=5, cosβ=5, 其中 α、 β∈(0, ), α+β=________. 2 则 π [答案] 2 π 3 3 [解析] ∵α,β∈(0,2),sinα=5,cosβ=5, 4 4 ∴cosα=5,sinβ=5, 4 3 3 4 ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=5×5-5×5=0, π ∵α+β∈(0,π),∴α+β=2. π 4 π 8. α 为锐角, cos(α+6)=5, sin(2α+12)的值为________. 设 若 则 [答案] [解析] 17 2 50 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知

识,考查学生运算能力, π π π 2π ∵0<α<2,∴6<α+6< 3 , π 4 又 cos(α+6)=5, π ∴sin(α+6)= π 3 1-cos2?α+6?=5,

π π π ∴sin2(α+6)=2sin(α+6)cos(α+6) 3 4 24 =2×5×5=25,

π π cos2(α+6)=2cos2(α+6)-1 4 7 =2×(5)2-1=25, π π π ∴sin(2α+12)=sin[2(α+6)-4] π π π π =sin2(α+6)cos4-cos2(α+6)sin4 24 2 7 2 17 2 =25× 2 -25× 2 = 50 . [点评] 已知三角函数值求值问题,解题策略是用已知条件中的 角表示未知角,即用角的变换转化,然后用倍角公式或两角和与差公 式求值. 9.(2011· 海南五校联考)设函数 f(x)=sinx+cosx,f ′(x)是 f(x)的 sin2x-sin2x 导数,若 f(x)=2f ′(x),则 cos2x =________. 5 [答案] -9 [解析] ∵f(x)=sinx+cosx,∴f ′(x)=cosx-sinx, 由 f(x)=2f ′(x)得 sinx+cosx=2(cosx-sinx), 1 ∴tanx=3, sin2x-sin2x sin2x-2sinxcosx ∴ cos2x = cos2x 1 1 5 =tan2x-2tanx=(3)2-2×3=-9. 10.(文)(2012· 乌鲁木齐地区二诊)已知函数 f(x)=sinx(1+sinx)+ cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期;

π 2π (2)求 f(x)在[-6, 3 ]上的最大值和最小值. [解析] (1)f(x)=sinx+sin2x+cos2x=sinx+1, ∴f(x)的最小正周期为 2π. π π π 2π (2)f(x)在[- 6 , 2 ]上为增函数,在[ 2 , 3 ]上为减函数,又 f(- π 2π )<f( 3 ), 6 π π π 1 ∴x=-6时,f(x)有最小值 f(-6)=sin(-6)+1=2; π π π x=2时,f(x)有最大值 f(2)=sin2+1=2. π (理)(2011· 天津理,15)已知函数 f(x)=tan(2x+4), (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π α (2)设 α∈(0,4),若 f(2)=2cos2α,求 α 的大小. π π π kπ [解析] (1)由 2x+4≠2+kπ,k∈Z,得 x≠8+ 2 ,k∈Z,所以
? ? π kπ ? f(x)的定义域为?x∈R?x≠8+ 2 ,k∈Z?. ? ? ?

π f(x)的最小正周期为2.
?α? (2)由 f?2?=2cos2α 得, ? ?

π? ? tan?α+4?=2cos2α,
? ?

? ? 2 2 π?=2(cos α-sin α), ? cos?α+4? ? ?

π? ? sin?α+4?

sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα

π? ? 因为 α∈?0,4?,所以 sinα+cosα≠0.
? ?

1 1 因此(cosα-sinα)2=2,即 sin2α=2. π? π? ? ? 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?.
? ? ? ?

π π 所以 2α=6,即 α=12. 能力拓展提升 11.(2012· 北京海淀期中练习)已知关于 x 的方程 x2-xcosA· cosB+ C 2sin2 2 =0 的两根之和等于两根之积的一半,则△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C 1 C [解析] 由题意得,cosAcosB=2· 2 2 ? 2sin cosA· cosB= 1-cosC cosB=1+cos(A+B) 2 ?2cosA· B.等边三角形 D.钝角三角形 )

?2cosA· cosB=1+cosA· cosB-sinA· sinB ?cosA· cosB+sinA· sinB=1?cos(A-B)=1?A-B=0?A=B, 所 以△ABC 一定是等腰三角形,故选 C. π 1 π 12.(2011· 浙江杭州质检)已知 tan(α+ 4 )= 2 ,且- 2 <α<0,则 2sin2α+sin2α π 等于( cos?α-4? 2 5 A.- 5 )

3 5 B.- 10

3 10 C.- 10 [答案] A

2 5 D. 5

tanα+1 1 1 [解析] 由已知得 =2,解得 tanα=-3, 1-tanα sinα 1 π 即cosα=-3,cosα=-3sinα,代入 sin2α+cos2α=1 中,结合-2 10 <α<0,可得 sinα=- 10 , 2sin2α+sin2α 2 2sinα?sinα+cosα? 所以 =2 2sinα π = sinα+cosα cos?α-4? 10 2 5 =2 2×(- 10 )=- 5 ,故选 A. 3 13.(2012· 河北保定模拟)设 α 为△ABC 的内角,且 tanα=-4, 则 sin2α 的值为________. 24 [答案] -25 3 [解析] ∵tanα=-4, 2sinαcosα ∴sin2α= 2 sin α+cos2α 3 2×?-4? 2tanα 24 = 2 = 3 =-25. tan α+1 ?-4?2+1 14.

(文)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB 于点 θ D,且 AD=3DB,设∠COD=θ,则 tan22=________. 1 [答案] 3 [解析] 设 OC=r,∵AD=3DB,且 AD+DB=2r, 3r r 3 CD ∴AD= 2 ,∴OD=2,∴CD= 2 r,∴tanθ=OD= 3, θ 3 ,∴tan2= 3 (负值舍去), θ 1-tan22 θ 2tan2

∵tanθ=

θ 1 ∴tan22=3. (理) 3tan12° -3 =________. ?4cos 12° -2?sin12°
2

[答案] -4 3 [解析] = 3tan12° -3 3?sin12° 3cos12° - ? = 2cos24° sin12° cos12° ?4cos 12° -2?sin12°
2

2 3sin?12° -60° ? =-4 3. 1 2sin48°

15.(文)已知 A、B、C 是三角形 ABC 的三个内角,向量 m=(- 1 3 1 , 2 ),n=(cosA,sinA),且 m· 2. n= 2

(1)求角 A; (2)若 sin2B+3cos2B=-1,求 tanC. [解析] 1 3 1 3 (1)m· n=(- 2, 2 )· (cosA,sinA)=- 2cosA+ 2 sinA=

π 1 sin(A-6)=2, π π 5π 又在△ABC 中,-6<A-6< 6 , π π π ∴A-6=6,∴A=3. (2)∵sin2B+3cos2B=-1, ∴2sinBcosB+3(cos2B-sin2B)=-(sin2B+cos2B), ∴sin2B-sinBcosB-2cos2B=0, ∵cosB≠0, ∴方程两边同除以 cos2B 得 tan2B-tanB-2=0.∴tanB =-1 或 tanB=2, 3π 3π π 1° tanB=-1,则 B= 4 ,这时 A+B= 4 +3>π,这与 A+B<π 若 矛盾. 2° tanB=2,这时 tanC=-tan(A+B) 若 tanA+tanB 3+2 8+5 3 =- =- = 11 . 1-tanA· tanB 1-2 3 (理)已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),设 f(x)= a· b. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π? ? (2)当 x∈?0,2?时,求函数 f(x)的最大值及最小值.
? ?

[解析] (1)f(x)=a· b=(cosx+sinx)· (cosx-sinx)+sinx· 2cosx =cos2x-sin2x+2sinxcosx

=cos2x+sin2x= 2? π? ? = 2sin?2x+4?.
? ?

? 2 ? 2 cos2x+ 2 sin2x? ? 2 ?

∴f(x)的最小正周期 T=π. π π π 5π (2)∵0≤x≤2,∴4≤2x+4≤ 4 , π π π π 5π ∴当 2x+4=2,即 x=8时,f(x)有最大值 2;当 2x+4= 4 ,即 π x=2时,f(x)有最小值-1. π? ? 16.(文)设函数 f(x)=cos?2x+3?+sin2x.
? ?

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A、B、C 为△ABC 的三个内角,若 cosB=3,f( 2 )=-4, 且 C 为锐角,求 sinA 的值. [解析] π? ? π π (1)f(x) = cos ?2x+3? + sin2x = cos2xcos 3 - sin2xsin 3 +
? ?

1-cos2x 1 3 =2- 2 sin2x, 2 1+ 3 所以函数 f(x)的最大值为 2 ,最小正周期为 π. C 1 3 1 3 (2)f( 2 )=2- 2 sinC=-4,所以 sinC= 2 , π 因为 C 为锐角,所以 C=3, 1 2 2 在△ABC 中,cosB=3,所以 sinB= 3 , 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

2 2 1 1 3 2 2+ 3 = 3 ×2+3× 2 = . 6 ( 理 )(2012· 南 文 , 18) 已 知 函 数 f(x) = Asin(ωx + φ)(x ∈ R , 湖 π ω>0,0<φ<2)的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; π π (2)求函数 g(x)=f(x-12)-f(x+12)的单调递增区间. 11π 5π 2π [解析] (1)由题设图象知,周期 T=2( 12 -12)=π,所以 ω= T =2. 5π 因为点(12,0)在函数图象上, 5π 5π 所以 Asin(2×12+φ)=0,即 sin( 6 +φ)=0. π 5π 5π 4π 又因为 0<φ<2,所以 6 < 6 +φ< 3 . 5π π 从而 6 +φ=π,即 φ=6. π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin6=1,得 A=2.

π 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+6). π π π π (2)g(x)=2sin[2(x-12)+6]-2sin[2(x+12)+6] π =2sin2x-2sin(2x+3) 1 3 =2sin2x-2(2sin2x+ 2 cos2x) π =sin2x- 3cos2x=2sin(2x-3). π π π π 5π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π 所以函数 g(x)的单调递增区间是[kπ-12,kπ+12],k∈Z. [点评] 本题考查了正弦型函数解析式求法,周期、单调区间求 法、两角和与差的正弦公式等基础知识.由图象求解析式的一般步骤

是:确定周期 A―→确定解析式.

代入特殊点 求 ω 结合φ的范围 求 φ 代入特殊点 求 ――→ ――→

π 1.(2012· 湖南理,6)函数 f(x)=sinx-cos(x+6)的值域为( A.[-2,2] C.[-1,1] [答案] B [解析] B.[- 3, 3] 3 3 D.[- 2 , 2 ]

)

π π 3 3 由题意知,f(x)=sinx-cosxcos 6 +sinxsin 6 =2sinx- 2

3 1 π cosx= 3( 2 sinx-2cosx)= 3sin(x-6),∴f(x)∈[- 3, 3]. x+φ 2.(2012· 大纲全国文)若函数 f(x)=sin 3 (φ∈[0,2π])是偶函数, 则 φ=( )

π 2π 3π 5π A.2 B. 3 C. 2 D. 3 [答案] C x+φ [解析] 本题考查了三角函数奇偶性, 诱导公式. y=sin 3 是 由 φ π 3π 偶函数知3=2+kπ,即 φ= 2 +3kπ, 3π 又∵φ∈[0,2π],∴φ= 2 适合.本题也可用偶函数定义求解. α 3.已知 tan2=3,则 cosα=( 4 4 4 3 A.5 B.-5 C.15 D.-5 [答案] B α α cos22-sin22 α α [解析] cosα=cos22-sin22= α α cos22+sin22 α 1-tan22 1-9 4 = = =-5,故选 B. α 1+9 1+tan22 4. (2012· 河北 保定 模拟 )设 函数 f(x) =sin(ωx+ φ) + cos(ωx + π φ)(ω>0,|φ|<2)的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( π A.f(x)在(0,2)上单调递增 ) )

π B.f(x)在(0,2)上单调递减 π 3π C.f(x)在(4, 4 )上单调递减 π 3π D.f(x)在(4, 4 )上单调递增 [答案] B [解析] π ∵f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sin(ωx+φ+4)的最

2π π 小正周期为 π,∴ ω =π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ+4),∵f(-x) =f(x),∴f(x)为偶函数, π π π 又∵|φ|<2,∴φ=4,∴f(x)=sin(2x+2)=cos2x,故选 B. 5.已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. π (1)求 f(3)的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值. π 2π π π 3 9 [解析] (1)f(3)=2cos 3 +sin23-4cos3=-1+4-2=-4. (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx 2 7 =3cos2x-4cosx-1=3(cosx-3)2-3,x∈R 因为 cosx∈[-1,1], 所以当 cosx=-1 时, f(x)取最大值 6; cosx 当 2 7 =3时,f(x)取最小值-3.


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