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江苏省南通市2017届高三第三次调研考试数学试卷


南通市 2017 届高三第三次调研测试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 设复数 z ? a ? bi ( a ,b ? R , i 为虚数单位) .若 z ? (4 ? 3i)i ,则 ab 的值是 ▲ . 2. 已知集合 U ? {x | x ? 0} , A={x | x ≥ 2} ,则 ?U A = ▲ . 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首,则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放 的概率是 ▲ . 4. 右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 开始
S ? 1, k ? 1

5. 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样 的方法抽取一个容量为 500 的样本.其中大一年级抽取 200 人,大二年级 抽取 100 人.若其他年级共有学生 3000 人,则该校学生总人数是 ▲ . 6. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若公差 d ? 2 , a5 ? 10 ,则 S10 的 值是 ▲ . 7. 在锐角△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 .若△ABC 的面积为 3 3 ,则 BC 的长是 ▲ .

S ? S ? k2
S ? 10

k ? k ?1

N

Y 输出 k 结束
(第 4 题)

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,则 a 该双曲线的离心率是 ▲ . 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3,圆心角为 2 π 的扇形,则这个圆锥的高为 3 10.若直线 y ? 2 x ? b 为曲线 y ? e x ? x 的一条切线,则实数 b 的值是 ▲ . 11.若正实数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,则 ▲ .

2

y 4 ? 的最小值是 ▲ . x y

D E

C

12.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥DC, ?ABC ? 90? ,
AB ? 3 , BC ? DC ? 2 .若 E , F 分别是线段 DC 和 BC 上

F
A
(第 12 题)

???? ??? ? 的动点,则 AC ? EF 的取值范围是 ▲ .

B

? 1) , P 为圆 x2 ? y 2 ? 2 上一动点, ? 2) ,点 B(1, 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0 ,



PB 的最大值是 ▲ PA



x≥a, ?x , 14.已知函数 f ( x) ? ? 3 若函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? ax 恰有 2 个不同的零点,则实数 x?a. ? x ? 3x ,

a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.

数学学科参考答案及评分建议

第 1 页(共 19 页)

15. (本小题满分 14 分)

? ? 0 )图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π , 已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? π ( A ? 0 , 3
且经过点 ( π , 3 ) . 3 2 (1)求函数 f ( x) 的解析式;
π) ,求角 ? 的值. (2)若角 ? 满足 f (? ) ? 3 f (? ? π ) ? 1 , ? ? (0 , 2

?

?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD,AP=AD, M,N 分别为棱 PD,PC 的中点. 求证: (1)MN∥平面 PAB; (2)AM⊥平面 PCD. P M D N C

A
(第 16 题)

B

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第 2 页(共 19 页)

17. (本小题满分 14 分)
2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?1 ,0) ,且经过 a b y 点 (1,3 ) . 2 B

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知椭圆的弦 AB 过点 F,且与 x 轴不垂直. 若 D 为 x 轴上的一点, DA ? DB ,求 AB 的值. DF A
(第 17 题)

F D O x

18. (本小题满分 16 分) 如图,半圆 AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径 OA 的长为 1 百米. 为了保护景点,基地管理部门从道路 l 上选取一点 C,修建参观线路 C-D-E-F,且 CD, DE,EF 均与半圆相切,四边形 CDEF 是等腰梯形.设 DE=t 百米,记修建每 1 百米参
?5, 0 ? t ≤ 1 , ? 3 观线路的费用为 f (t ) 万元,经测算 f (t ) ? ? 1 1 ?8 ? , ? t ? 2. ? t 3

(1)用 t 表示线段 EF 的长; (2)求修建该参观线路的最低费用. D E

l C A O
(第 18 题)

B F

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19. (本小题满分 16 分) 已知 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列, q ? ?1 ,正整数组
E ? (m ,p ,r ) ( m ? p ? r ) .

(1)若 a1 ? b2 ? a2 ? b3 ? a3 ? b1 ,求 q 的值; (2)若数组 E 中的三个数构成公差大于 1 的等差数列,且 am ? bp ? a p ? br ? ar ? bm , 求 q 的最大值; (3)若 bn ? (? 1 ) n ?1 , am ? bm ? a p ? bp ? ar ? br ? 0 ,试写出满足条件的一个数组 E 2 和对应的通项公式 a n . (注:本小问不必写出解答过程)

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? cos x ( a ? R ) ,记 f ( x) 的导函数为 g ( x) . (1)证明:当 a ? 1 时, g ( x) 在 R 上单调递增; 2 (2)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,求 a 的取值范围;
+? ) ? D ,若 h( x) 在 (m , +? ) 上是单调函数, (3)设函数 h( x) 的定义域为 D ,区间 (m ,

? ?) 上广义单调. 则称 h( x) 在 D 上广义单调.试证明函数 y ? f ( x) ? x ln x 在 (0 ,

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数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,已知 AB 为圆 O 的一条弦,点 P 为弧 AB 的中点,过点 P 任作两条弦 PC,PD, 分别交 AB 于点 E,F. 求证: PE ? PC ? PF ? PD . A C E O D
(第 21-A 题)

P F B

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? 1 a? ? 1) 在 M 对应的变换作用下得到点 (?1, ? 5) ,求矩阵 M 已知矩阵 M = ? ? ,点 (1, ? ?1 b ?

的特征值.

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心在极轴上,且过极点和点 (3 2 ,π ) ,求圆 C 的极坐标 4 方程.

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a,b,c,d 是正实数,且 abcd?1,求证: a5 ? b5 ? c5 ? d 5 ≥ a ? b ? c ? d .

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【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形, S ?ADC ? ?DAB ? 90? , SD ? AD ? AB ? 2 , DC ? 1 . (1)求二面角 S ? BC ? A 的余弦值; (2)设 P 是棱 BC 上一点, E 是 SA 的中点,若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为 2 26 ,求线段 13
CP 的长.

E

D
A

C

P
(第 22 题)

B

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f0 ( x) ? cx ? d ( a ? 0 , ac ? bd ? 0 ) .设 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, n ? N* . ax ? b (1)求 f1 ( x) , f 2 ( x) ; (2)猜想 f n ( x) 的表达式,并证明你的结论.

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南通市 2017 届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 设复数 z ? a ? bi ( a ,b ? R , i 为虚数单位) .若 z ? (4 ? 3i)i ,则 ab 的值是 ▲ . 【答案】 ?12 2. 已知集合 U ? {x | x ? 0} , A={x | x ≥ 2} ,则 ?U A = ▲ . 【答案】 {x | 0 ? x ? 2} 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁 4 首歌曲中的 2 首,则甲、乙 2 首歌曲至少有 1 首被播放 的概率是 ▲ . 【答案】 5 6 4. 右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ 【答案】3 5. 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用 分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本.其中大一年级 抽取 200 人,大二年级抽取 100 人.若其他年级共有学生 3000 人,则该校学生总人数是 ▲ . 【答案】7500 6. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若公差 d ? 2 , a5 ? 10 ,则 S10 的值是 【答案】110 7. 在锐角△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 4 .若△ABC 的面积为 3 3 ,则 BC 的长是 ▲ . 【答案】 13 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 ( a ? 0 )经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点,则 a 该双曲线的离心率是 ▲ . 【答案】 5 2 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为 3,圆心角为 2 π 的扇形,则这个圆锥的高为 3 【答案】 2 2 ▲ .
2

开始
S ? 1, k ? 1



S ? S ? k2
S ? 10

k ? k ?1

N

Y 输出 k 结束
(第 4 题)

▲ .

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第 7 页(共 19 页)

10.若直线 y ? 2 x ? b 为曲线 y ? e x ? x 的一条切线,则实数 b 的值是 ▲ . 【答案】1 11.若正实数 x , y 满足 x ? y ? 1 ,则 【答案】8 12.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥DC, ?ABC ? 90? ,
AB ? 3 , BC ? DC ? 2 .若 E , F 分别是线段 DC 和 BC 上

y 4 ? 的最小值是 ▲ . x y

D E

C

???? ??? ? 的动点,则 AC ? EF 的取值范围是 ▲

F
A
(第 12 题)



【答案】 ? ?4 , 6?

B

? 1) , P 为圆 x2 ? y 2 ? 2 上一动点, ? 2) ,点 B(1, 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0 ,



PB 的最大值是 ▲ PA



【答案】2
x≥a, ?x , 14.已知函数 f ( x) ? ? 3 若函数 g ( x) ? 2 f ( x) ? ax 恰有 2 个不同的零点,则实数 x?a. ? x ? 3x ,

a 的取值范围是 ▲ . 【答案】 (? 3 ,2) 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分)

? ? 0 )图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π , 已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? π ( A ? 0 , 3
且经过点 ( π , 3 ) . 3 2 (1)求函数 f ( x) 的解析式;
π) ,求角 ? 的值. (2)若角 ? 满足 f (? ) ? 3 f (? ? π ) ? 1 , ? ? (0 , 2

?

?

【解】 (1)由条件,周期 T ? 2 π , 即 2π ? 2π ,所以 ? ? 1 ,即 f ( x) ? A sin x ? π . 3 ? 因为 f ( x) 的图象经过点 ( π , 3 ) , 3 2 所以 A sin 2π ? 3 ,所以 A ? 1 , 3 2 所以 f ( x) ? sin x ? π . 3 (2)由 f (? ) ? 3 f (? ? π ) ? 1 , 2

?

?

?? 3 分

?

?

?? 6 分

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第 8 页(共 19 页)

? ? ? ? 即 sin ?? ? π ? ? 3 cos ?? ? π ? ? 1 , 3 3 所以 2sin ??? ? π ? ? π ? ? 1 ,即 sin ? ? 1 . ? 2 3 3? ? ?
得 sin ? ? π ? 3 sin ? ? π ? π ? 1 , 3 3 2 因为 ? ? ? 0 , π ? ,所以 ? ? π 或 5π . 6 6 16. (本小题满分 14 分)

?? 8 分

?? 12 分 ?? 14 分

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,平面 PAD⊥平面 ABCD,AP=AD, M,N 分别为棱 PD,PC 的中点. 求证: (1)MN∥平面 PAB; (2)AM⊥平面 PCD. 【证】 (1)因为 M,N 分别为棱 PD,PC 的中点, 所以 MN∥DC, ?? 2 分 A
(第 16 题)

P M D N C

B

又因为底面 ABCD 是矩形,所以 AB∥DC, 所以 MN∥AB. 又 AB ? 平面 PAB, MN ? 平面 PAB, 所以 MN∥平面 PAB. (2)因为 AP=AD,M 为 PD 的中点, 所以 AM⊥PD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 又平面 PAD∩平面 ABCD= AD,CD⊥AD, CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD. 又 AM ? 平面 PAD,所以 CD⊥AM. 因为 CD, PD ? 平面 PCD, CD ? PD ? D , 所以 AM⊥平面 PCD. 17. (本小题满分 14 分)

?? 4 分

?? 6 分

?? 8 分

?? 10 分 ?? 12 分

?? 14 分

2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?1 ,0) ,且经过 a b y 点 (1,3 ) . 2 B

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知椭圆的弦 AB 过点 F,且与 x 轴不垂直. 若 D 为 x 轴上的一点, DA ? DB ,求 AB 的值. DF
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F D O A
(第 17 题) 第 9 页(共 19 页)

x

?c ? 1, ? ? 【解】 (1)方法一:由题意,得 ? 12 ? 9 2 ? 1, 4b ?a 2 2 2 ? ?a ? b ? c ,
?a2 ? 4, ? 解得 ? 2 ? ?b ? 3.
2 y2 所以椭圆的标准方程为 x ? ? 1. 4 3

?? 3 分

?? 5 分

方法二:由题意,知 2a ? (1 ? 1)2 ? ( 3 )2 ? (1 ? 1)2 ? ( 3 )2 ? 4 , 2 2 所以 a ? 2 . 又 c ? 1 , a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 b ? 3 ,
2 y2 所以椭圆的标准方程为 x ? ? 1. 4 3

?? 2 分

?? 5 分

(2)方法 1:设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ① 若 k=0 时,AB=2a=4,FD=FO=1,所以 AB ? 4 ; DF ② 若 k≠0 时, A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , AB 的中点为 M ( x0,y0 ) ,代入椭圆方程,整理得
(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
2 2 ? 1 ,x ? ?4k 2 ? 6 k 2 ? 1 , 所以 x1 ? ?4k ? 6 k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?? 6 分

2 所以 x0 ? ? 4k 2 , 3 ? 4k

?? 8 分

所以 y0 ? k ( x0 ? 1) ?

3k , 3 ? 4k 2

所以 AB 的垂直平分线方程为 y ?

3k ? ? 1 x ? 4k 2 . k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

?

因为 DA=DB,所以点 D 为 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点, 所以 D(?
k2 , 0) , 3 ? 4k 2 k 2 ? 1 ? 3 ? 3k 2 . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 DF ? ?

?? 10 分

因为椭圆的左准线的方程为 x ? ?4 ,离心率为 1 , 2 由 AF ? 1 ,得 AF ? 1 ( x1 ? 4) , 2 x1 ? 4 2 同理 BF ? 1 ( x2 ? 4) . 2

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第 10 页(共 19 页)

所以 AB ? AF ? BF ? 1 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? x0 ? 4 ? 12 ? 12k . 2 3 ? 4k 2 所以 AB ? 4 . DF 综上,得 AB 的值为 4. DF 方法 2:设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,AB 的中点为 M ( x0,y0 ) , ① 若直线 AB 与 x 轴重合, AB ? 4 ; DF ② 若直线 AB 不与 x 轴重合, 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,AB 的中点为 M ( x0,y0 ) ,
? x12 y12 ? ? 1, 2 2 2 ? x2 ? x2 y1 ? y2 ? 4 由? 4 得 1 ? ? 0, 2 2 4 3 ? x2 ? y2 ? 1, ? ?4 4

2

?? 12 分

?? 14 分

?? 6 分

所以

( x1 ? x2 ) ? x0 ( y1 ? y2 ) ? y0 ? ?0, 4 3

所以直线 AB 的斜率为

3x y1 ? y2 ?? 0 , x1 ? x2 4 y0 4 y0 ( x ? x0 ) . 3x0

?? 8 分

所以 AB 的垂直平分线方程为 y ? y0 ?

因为 DA=DB,所以点 D 为 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点, 所以 D(
x0 x , 0) ,所以 FD ? 0 ? 1. 4 4

?? 10 分 ?? 12 分

同方法一,有 AB ? x0 ? 4 , 所以 AB ? 4 . DF 综上,得 AB 的值为 4. DF 方法 3:① 若直线 AB 与 x 轴重合, AB ? 4 . DF ② 若直线 AB 不与 x 轴重合,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , 则 AB 的中点为 M (
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

?? 14 分 ?? 6 分

所以 AB 的垂直平分线方程为 y ? 令 y=0,得 xD ?
?

y1 ? y2 x ?x x ?x ? ? 1 2 (x ? 1 2 ) . 8 分 2 y1 ? y2 2

2 2 y1 ? y2 x ? x2 ? 1 2( x1 ? x2 ) 2 2 2 y12 ? y2 ? x12 ? x2 2( x1 ? x2 )

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第 11 页(共 19 页)

2 2 3(1 ? 1 x12 ) ? 3(1 ? 1 x2 ) ? x12 ? x2 4 4 ? 2( x1 ? x2 )

1 x2 ? 1 x2 1 4 2 ? 4 2( x1 ? x2 )

?

x1 ? x2 . 8

所以 DF ?

x1 ? x2 ?1 . 8

?? 10 分 ?? 12 分

同方法一,有 AB ? 1 ( x1 ? x2 ) ? 4 , 2 所以 AB ? 4 . DF 综上,得 AB 的值为 4. DF 18. (本小题满分 16 分)

?? 14 分

如图,半圆 AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,半径 OA 的长为 1 百米. 为了保护景点,基地管理部门从道路 l 上选取一点 C,修建参观线路 C-D-E-F,且 CD, DE,EF 均与半圆相切,四边形 CDEF 是等腰梯形.设 DE=t 百米,记修建每 1 百米参
?5, 0 ? t ≤ 1 , ? 3 观线路的费用为 f (t ) 万元,经测算 f (t ) ? ? 1 1 ?8 ? , ? t ? 2. ? t 3

(1)用 t 表示线段 EF 的长; (2)求修建该参观线路的最低费用. D E

l C A O
(第 18 题)

B F

【解】设 DE 与半圆相切于点 Q,则由四边形 CDEF 是等腰梯形知 OQ ? l ,DQ=QE,以 OF 所在 直线为 x 轴,OQ 所在直线为 y 轴,建立如图 所示的平面直角坐标系 xOy. (1)方法一:由题意得,
1) , 点 E 的坐标为 ( t , 2

y D Q E

l C A O B F x ?? 1 分

设直线 EF 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? t ) ( k ? 0 ) , 2
数学学科参考答案及评分建议 第 12 页(共 19 页)

即 kx ? y ? 1 ? 1 tk ? 0 . 2 因为直线 EF 与半圆相切,
|1 ? 1 tk | 2 ? 1 ,解得 k ? 2 4t . 所以圆心 O 到直线 EF 的距离为 2 t ?4 k ?1

?? 3 分

0) . 代入 y ? 1 ? k ( x ? t ) 可得,点 F 的坐标为 ( t ? 1 , 2 4 t

?? 5 分

所以 EF ? ( t ? 1 ? t )2 ? 1 ? t ? 1 , 4 t 2 4 t 即 EF ? t ? 1 ( 0 ? t ? 2 ) . 4 t 方法二:设 EF 切圆 O 于 G ,连结 OG , 过点 E 作 EH ? AB ,垂足为 H . 因为 EH ? OG , ?OFG ? ?EFH ,
?GOF ? ?HEF ,

?? 7 分 D E G l C A O B F H ?? 3 分

所以 Rt△EHF≌Rt△OGF, 所以 HF ? FG ? EF ? 1 t . 2 由 EF 2 ? 1 ? HF 2 ? 1 ? ( EF ? 1 t )2 , 2 所以 EF ? t ? 1 ( 0 ? t ? 2 ) . 4 t (2)设修建该参观线路的费用为 y 万元.

?? 5 分 ?? 7 分

① 当 0 ? t ≤ 1 , y ? 5 ?2( t ? 1) ? t ? ? 5( 3 t ? 2 ) , ? 4 t ? 3 2 t ? ?

1 ? 上单调递减. 由 y? ? 5( 3 ? 2 ) ? 0 ,则 y 在 0 , 2 t2 3? ?
所以当 t ? 1 时, y 取最小值为 32.5 ; 3 ② 当 1 ? t ? 2 时, y ? (8 ? 1) ?2( t ? 1) ? t ? ? 12t ? 16 ? 3 ? 2 , ? 4 t ? 3 t ? t 2 t2 ? ?? 11 分

?

4(t ? 1)(3t 2 ? 3t ? 1) 所以 y? ? 12 ? 16 , ?4 ? 2 3 t t t3
因为 1 ? t ? 2 ,所以 3t 2 ? 3t ? 1 ? 0 , 3
2) 时, y ? ? 0 , 1) 时, y ? ? 0 ;当 t ? (1, 且当 t ? ( 1 , 3 2) 上单调递增. 1) 上单调递减;在 (1, 所以 y 在 ( 1 , 3

?? 13 分

所以当 t ? 1 时, y 取最小值为 24.5 .

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第 13 页(共 19 页)

由①②知, y 取最小值为 24.5 . 答: (1) EF 的长为 ( t ? 1) 百米; 4 t (2)修建该参观线路的最低费用为 24.5 万元. 19. (本小题满分 16 分)

?? 15 分

?? 16 分

已知 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列, q ? ?1 ,正整数组
E ? (m ,p ,r ) ( m ? p ? r ) .

(1)若 a1 ? b2 ? a2 ? b3 ? a3 ? b1 ,求 q 的值; (2)若数组 E 中的三个数构成公差大于 1 的等差数列,且 am ? bp ? a p ? br ? ar ? bm , 求 q 的最大值; (3)若 bn ? (? 1 ) n ?1 , am ? bm ? a p ? bp ? ar ? br ? 0 ,试写出满足条件的一个数组 E 2 和对应的通项公式 a n . (注:本小问不必写出解答过程)

?a ? b q ? a1 ? d ? b1q 2 , ?d ? b1 (q ? q 2 ) , ? ? 【解】 (1)由条件,知 ? 1 1 即 ? 2 2 ? ?a1 ? d ? b1q ? a1 ? 2d ? b1, ? ?d ? b1 (q ? 1) .
所以 2q2 ? q ? 1 ? 0 . 因为 q ? ?1 ,所以 q ? ? 1 . 2 (2)由 am ? bp ? a p ? br ,即 ap ? am ? bp ? br , 所以 ( p ? m)d ? bm (q p ?m ? qr ?m ) , 同理可得, (r ? p)d ? bm (qr ?m ? 1) . 因为 m ,p ,r 成等差数列, 所以 p ? m ? r ? p ? 1 (r ? m) . 2 记 q p ? m ? t ,则有 2t 2 ? t ? 1 ? 0 , 因为 q ? ?1 ,所以 t ? ?1 ,故 t ? ? 1 ,即 q p ? m ? ? 1 . 2 2 所以 ?1 ? q ? 0 . 记 p ? m ? ? ,则 ? 为奇数, 又公差大于 1,所以 ? ≥ 3 , 所以 | q |? ( 1 )? ≥ ( 1 ) 3 ,即 q ≤ -( 1 ) 3 , 2 2 2 当 ? ? 3 时, q 取最大值为 -( 1 ) 3 . 2
m ? 2, m ? 3) , (3)满足题意的数组 E ? (m ,
1
1 1

?? 2 分 ?? 4 分

?? 6 分

?? 8 分

?? 10 分
1

?? 12 分

此时通项公式为 an ? (? 1 )m?1 ( 3 n ? 3 m ? 1) , m ? N* . 2 8 8

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第 14 页(共 19 页)

3 4 ) , an ? 3 n ? 11 . 例如: E ? (1,, 8 8

?? 16 分

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? cos x ( a ? R ) ,记 f ( x) 的导函数为 g ( x) . (1)证明:当 a ? 1 时, g ( x) 在 R 上单调递增; 2 (2)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,求 a 的取值范围;
+? ) ? D ,若 h( x) 在 (m , +? ) 上是单调函数, (3)设函数 h( x) 的定义域为 D ,区间 (m ,

? ?) 上广义单调. 则称 h( x) 在 D 上广义单调.试证明函数 y ? f ( x) ? x ln x 在 (0 ,

【解】 (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 x 2 ? cos x , 2 2 所以 f ?( x) ? x ? sin x ,即 g ( x) ? x ? sin x , 所以 g ?( x) ? 1 ? cos x ≥ 0 , 所以 g ( x) 在 R 上单调递增. (2)因为 g ( x) ? f ?( x) ? 2ax ? sin x ,所以 g ?( x) ? 2a ? cos x . ① 当 a≥ 1 时, g ?( x)≥1 ? cos x≥0 ,所以函数 f ?( x) 在 R 上单调递增. 2 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ;若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,
? ?) ,单调减区间是 ( ??, 0 ), 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0 ,

?? 2 分

?? 4 分

所以 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,符合题意.

?? 6 分

② 当 a≤- 1 时, g ?( x) ≤ ?1 ? cos x ≤ 0 ,所以函数 f ?( x) 在 R 上单调递减. 2 若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ;若 x ? 0 ,则 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,
? ?) ,单调增区间是 ( ??, 0 ), 所以 f ( x) 的单调减区间是 (0 ,

所以 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,不符合题意.

?? 8 分

③ 当 ? 1 ? a ? 1 时, ?x0 ? (0 ,?) ,使得 cos x0 ? 2a ,即 g ?( x0 ) ? 0 , 2 2 但当 x ? (0 ,x0 ) 时, cos x ? 2 a ,即 g ?( x) ? 0 , 所以函数 f ?( x) 在 (0 ,x0 ) 上单调递减,所以 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 , 即函数 f ( x) 在 (0 ,x0 ) 单调递减,不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 ? 1 , ?? . ? ?2 (3)记 h( x) ? ax2 ? cos x ? x ln x ( x ? 0 ) ,

?

?? 10 分

数学学科参考答案及评分建议

第 15 页(共 19 页)

① 若 a ? 0 ,注意到 ln x ? x ,则 ln x 2 ? x 2 ,即 ln x ? 2 x .
1 ? 4a ? 1 当x? 时, 2a

1

1

?? 12 分

?

?

2

h?( x) ? 2ax ? sin x ? 1 ? ln x ? 2ax ? 2 x ? 2

? 2( x ? 1 ? 4a ? 1 )( x ? 1 ? 4a ? 1 ) ? 0 . 2a 2a
所以 ?m ?

?

1 ? 4a ? 1 ? ?) 上单调递增.?? 14 分 ,函数 h( x) 在 (m , 2a

?

2

② 若 a ≤ 0 ,当 x>1 时, h?( x) ? 2ax ? sin x ?1 ? ln x ? ? sin x ?1 ? ln x <0.
+? ) 上单调递减, 所以 ?m ? 1 ,函数 h( x) 在 (m , ? ?) 上广义单调. 综上所述,函数 y ? f ( x) ? x ln x 在区间 (0 ,

?? 16 分

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答 . ................... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,已知 AB 为圆 O 的一条弦,点 P 为弧 AB 的中点,过点 P 任作两条弦 PC,PD, 分别交 AB 于点 E,F. 求证: PE ? PC ? PF ? PD . 【证】连结 PA,PB,CD,BC. 因为∠PAB =∠PCB, 又点 P 为弧 AB 的中点,所以∠PAB =∠PBA, 所以∠PCB =∠PBA. 又∠DCB =∠DPB, 所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD, 所以 E,F,D,C 四点共圆. 所以 PE ? PC ? PF ? PD . ?? 10 分 A C E O D B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? 1 a? ? 1) 在 M 对应的变换作用下得到点 (?1, ? 5) ,求矩阵 M 已知矩阵 M = ? ? ,点 (1, ? ?1 b ?

P A C E O D ?? 4 分
(第 21-A 题)

F

B

P F B

的特征值.

数学学科参考答案及评分建议

第 16 页(共 19 页)

?1 ? a ? ?1, ? 1 a ? ? 1 ? ? ?1? 【解】由题意, ? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? ?1 b ? ? ?1? ? ?5? ??1 ? b ? ?5,

解得 a ? 2 , b ? 4 ,
? 1 2? 所以矩阵 M = ? ?. ? ?1 4?

?? 5 分

矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
1

?2 ? ? 2 ? 5? ? 6 . ? ?4

令 f (? ) ? 0 ,得 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 , 所以 M 的特征值为 2 和 3. C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心在极轴上,且过极点和点 (3 2 ,π ) ,求圆 C 的极坐标 4 方程. 【解】方法一:因为圆心 C 在极轴上且过极点, 所以设圆 C 的极坐标方程为 ? =acos? ,
π ) 在圆 C 上, 又因为点 (3 2 , 4

?? 10 分

?? 4 分

所以 3 2=a cos π ,解得 a ? 6 . 4 所以圆 C 的极坐标方程为 ? =6cos? .
π ) 的直角坐标为 (3 , 3) , 方法二:点 (3 2 , 4
0) , (3 , 3) , 因为圆 C 过点 (0 ,

?? 10 分

所以圆心 C 在直线为 x ? y ? 3 ? 0 上. 又圆心 C 在极轴上, 所以圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 . 所以圆 C 的极坐标方程为 ? =6cos? . D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 a,b,c,d 是正实数,且 abcd?1,求证: a5 ? b5 ? c5 ? d 5 ≥ a ? b ? c ? d . 【证】因为 a,b,c,d 是正实数,且 abcd?1, 所以 a5 ? b ? c ? d ≥ 4 4 a5bcd ? 4a . ① 同理 b5 ? c ? d ? a ≥ 4b ,
c5 ? d ? a ? b ≥ 4c ,

?? 6 分 ?? 10 分

?? 4 分

② ③

数学学科参考答案及评分建议

第 17 页(共 19 页)

d 5 ? a ? b ? c ≥ 4d ,

④ ?? 10 分

将①②③④式相加并整理,即得 a5 ? b5 ? c5 ? d 5 ≥ a ? b ? c ? d .

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SD ? 平面 ABCD,四边形 ABCD 是直角梯形, S ?ADC ? ?DAB ? 90? , SD ? AD ? AB ? 2 , DC ? 1 . (1)求二面角 S ? BC ? A 的余弦值; (2)设 P 是棱 BC 上一点, E 是 SA 的中点,若 PE 与平面 SAD 所成角的正弦值为 2 26 ,求线段 13
CP 的长.

E

D
A

C

【解】 (1)以 D 为坐标原点,建立如图所示空间 直角坐标系 D ? xyz ,

P
(第 22 题)

B

0, 2) , 0, 0) , B(2 , 2, 0) , C (0 ,, 1 0) , S (0 , 则 D(0 ,

S

z

??? ??? ? ??? ? 所以 SB ? (2 , 1 ? 2) , DS ? (0 ,, 0 2) . 2, ? 2) , SC ? (0 ,,
y, z) , 设平面 SBC 的法向量为 n1 ? ( x ,

E

??? ??? ? 由 n1 ? SB ? 0 , n1 ? SC ? 0 ,
得 2x ? 2 y ? 2z ? 0 且 y ? 2z ? 0 . 取 z ? 1 ,得 x ? ?1 , y ? 2 ,
2, 1) 是平面 SBC 的一个法向量. 所以 n1 ? (?1, 0, 1) . 因为 SD ? 平面 ABC,取平面 ABC 的一个法向量 n2 ? (0 ,

D
A

C

y
B

P
x
?? 2 分

设二面角 S ? BC ? A 的大小为 ? ,所以 cos ? ? 由图可知二面角 S ? BC ? A 为锐二面角,

n1 ? n2 ? 1 ? 6, | n1 || n2 | 6 6

所以二面角 S ? BC ? A 的余弦值为 6 . 6 ??? ? ??? ? 0, 1) ,则 CB ? (2 ,, (2)由(1)知 E (1 , 1 0) , CE ? (1, ? 1, 1) .

?? 5 分

??? ? ??? ? ??? ? 设 CP ? ? CB ( 0 ≤ ? ≤ 1 ) ,则 CP ? ? (2 ,, 1 0) ? (2?,?, 0) , ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PE ? CE ? CP ? (1 ? 2? , ?1 ? ? , 1) .
数学学科参考答案及评分建议 第 18 页(共 19 页)

??? ? 易知 CD ? 平面 SAD ,所以 CD ? (0 ,, 1 0) 是平面 SAD 的一个法向量.
设 PE 与平面 SAD 所成的角为 ? ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PE ? CD ? ?1 所以 sin ? ? cos PE , , CD ? ??? ? ??? ? ? PE CD 5? 2 ? 2? ? 3

?? 8 分



? ?1 ? 2 26 ,得 ? ? 1 或 ? ? 11 (舍) . 13 3 9 5? ? 2? ? 3
2

??? ? ??? ? 1, 0) , CP ? 5 , 所以 CP ? ( 2 , 3 3 3

所以线段 CP 的长为 5 . 3 23. (本小题满分 10 分)

?? 10 分

已知函数 f0 ( x) ? cx ? d ( a ? 0 , ac ? bd ? 0 ) .设 f n ( x) 为 f n?1 ( x) 的导数, n ? N* . ax ? b (1)求 f1 ( x) , f 2 ( x) ; (2)猜想 f n ( x) 的表达式,并证明你的结论.
? 【解】 (1) f1 ( x) ? f 0? ( x) ? ? cx ? d ? ? bc ? ad2 , ? ax ? b ? ? (ax ? b) ?

? ?? ?2a(bc ? ad ) . f 2 ( x) ? f1? ( x) ? ? cb ? ad2 ? ? (ax ? b)3 ? (ax ? b) ?
(2)猜想 f n ( x) ?
(?1) n ?1 ? a n ?1 ? (bc ? ad ) ? n ! , n ? N* . (ax ? b)n ?1

?? 2 分 ?? 4 分

证明:① 当 n ? 1 时,由(1)知结论正确, ② 假设当 n ? k , k ? N* 时结论正确, 即有 f k ( x) ?
(?1)k ?1 ? a k ?1 ? (bc ? ad ) ? k ! . (ax ? b)k ?1

当 n ? k ? 1 时,

? (?1)k ?1 ? a k ?1 ? (bc ? ad ) ? k !?? fk ?1 ( x) ? fk? ( x) ? ? ? (ax ? b)k ?1 ? ?
? ( k ?1) ? ? ? (?1)k ?1 ? a k ?1 ? (bc ? ad ) ? k !? ?(ax ? b) ?

?

(?1) k ? a k ? (bc ? ad ) ? (k ? 1)! . (ax ? b) k ? 2

所以当 n ? k ? 1 时结论成立. 由①②得,对一切 n ? N* 结论正确. ?? 10 分

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