当前位置:首页 >> 初二数学 >>

方程的根与函数的零点2


第三章
3.1
3.1.1

函数的应用
函数与方程

方程的根与函数的零点

结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的关系.

韦达(Viete,Francois, seigneurdeLaBigotiere)是法国 十六世纪最有影响的数学家之一。

第一个引进系统的代数符号,并对
方程论做了改进。 他的《解析方法入门》一书(1591年),集中了他以 前在代数方面的大成,使代数学真正成为数学中的一 个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理

和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解。

第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未 知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。 韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与 系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与 系数关系的结论称为“韦达定理”)。

探究:下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系?

(1)
(2)

x ? 2x ? 3 ? 0 与 y ? x ? 2x ? 3
2

2

x ? 2x ?1 ? 0
2

与 y ? x ? 2x ?1
2

(3)
y
?1

x ? 2x ? 3 ? 0 与 y ? x2 ? 2x ? 3
2

y
1 1

y

3

x

x

x

引申:二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象和相应一元二次
2

方程 a x 2 ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的根有何关系? 二次函数
y ? ax ? bx ? c (a ? 0)
2

判别式

方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的根
2

的图象与x轴的交点

?>0
?=0

两不相等实数根 两相等实数根 没有实数根

两个交点
一个交点 没有交点

?<0

函数的零点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. 思考:函数 y ? f ( x ) 的图象与
f ( x ) ? 0 的根有何关系?

x 轴的交点和相应的方程

结论:
方程 f ( x ) ? 0 的根是函数 y ? f ( x ) 的图象与 点的横坐标 方程f (x)=0有实数根 ?函数y=f (x)的图象与x轴有交点

x

轴的交

?函数y=f (x)有零点

注意:函数零点既是对应方程的根,又是函数图象与x 轴交点的横坐标! 零点对于函数而言,根对于方程而言. 由此可知,求方程 f ( x ) ? 0 的实数根,就是求函数 y ? f ( x ) 的零点。对于不能用公式法求根的方程

f ( x ) ? 0 来说,可以将它与函数 y ? f ( x ) 联系起来, 利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根

y
探究: 如何求函数的零点?
观察二次函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象,如图,我们发现函数
f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 在区间 ? ? 2,1 ? 上有零点.
2

5 4 3 2 1 -2-1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4

计算 f ( ? 2 ) 和 f (1) 的乘积,你能发现这 个乘积有什么特点?在区间? 2, 4 ? 上是 否也具有这种特点呢?

y
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; -1

f(-2)=_______,f(1)=_______, 5 -4

f(-2)·f(1)___0(“<”或“>”). <
在区间(2,4)上有零点______; 3

5 4 3 2 1

-1 o 1 2 3 4 -1 5 -2 f(2)·f(4)____0(“<”或“>”). < -3 -4

思考:观察图象填空,在怎样的条件下, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , d ? 上存在零点? y

a O b

c d x

①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____0(“<”或“>”). < 在区间(a,b)上______(有/无)零点; 有 ②在区间(b,c)上f(b)·f(c) ___0(“<”或“>”). < 在区间(b,c)上______(有/无)零点; 有 ③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(“<”或”>”). <

在区间(c,d)上____(有/无)零点; 有

y

c O a

b x




? f ( x ) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,
f (b ) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

如果函数 y

并且有 f ( a ) ?

即存在 c ? ? a , b ? ,使得 f ( c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的根.

例1

判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例

(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f(a)

·f(b)< 0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零
点.( )

(2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b)≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )

(3)已知函数y=f (x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)

<0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.(



解:(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且 f (a)·f(b) < 0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个 零点. y ( ) 如图,
a O b

x

函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.

(2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a)· f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )

y
如图,

O a

b x

可知,函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a)· f(b)≥0,但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。

(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内存在零点.(
y



如图,
O

a b

x

虽然函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)< 0,但是 图象不是连续的曲线,则f(x)在区间(a,b)内不存在零点 .

练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( B ) A.(-2,-1)
C.(1,2)

B.(0,1)
D.(2,3)

练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是
连续不断的曲线,且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有

零点,则f(a)·f(b)的值( C )
A、大于0 B、小于0

C、无法判断

D、等于零

例2.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数,并确定零点 所在的区间[n,n+1](n∈Z)

解: 方法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表:
x f(x ) 由表可知f(2)<0,f(3)>0, 从而f(2)·f(3)<0,∴函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
y
10 8 6 4 2

f(x)=lnx+2x-6

f(x)在区间(2,3)内有零点.
由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以

它仅有一个零点.

O 123456 -2 -4

x

方法2: 即求方程 lnx+2x-6=0的根的个数,即求 lnx=6-2x的根 的个数,即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数 y 如图可知,只有一 6 个交点,即方程只

y=lnx
x

有一根。
O 1234

y=-2x +6

练习: 求方程2-x =x的根的个数,并确定根所在的区间 [n,n+1](n∈Z). 解:求方程 2 ? x ? x 的根的个数,即求方程 x ? ( ) x 2 y 的根的个数,即在判断函 数 y?x 与 y?( )
2 1
x

1

y ? ( ) 2

1

x

y=x
1 O 1234 x

的图象交点个数。由图可 知只有一解。

x 令 f (x) ? x ? ( )

1

2

估算f(x)在各整数处的取值的正负: x f(x) 0


1
+

2


3


由上表可知,方程的根所在区间为 ? 0 ,1 ? .

方程有实数根 ? 函数的图象与 x 轴有交点 ? 函数有 零点。
? f ( x )连 续 则 函 数 f ( x ) 在 ? a , b ?内 存 在 零 点 ? ? f ( a ) ? f (b ) ? 0
? f ( x )连 续 ? ? f ( a ) ? f ( b ) ? 0 则 函 数 f ( x ) 在 ? a , b ?内 存 在 唯 一 零 点 ? f ( x )单 调 ?

如果你不知道你要到哪儿去,那通常你哪

儿也去不了。


相关文章:
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点题型及解析 1.求下列函数的零点 (1)f(x)=x +1; (2)f(x)= 3 ;(3)y=﹣x +3x+4; (4)y=x +4x+4. 2 2 分析:根据函数...
方程的根与函数的零点(2)
必修 1 编制:_周自贵_ 组别: 审核:_陈楚基 组号:___ 使用时间: 姓名: 2012 年__10 月___日 课题:方程的根与函数的零点(2)【学习目标】 1. 掌握零点...
示范教案( 方程的根与函数的零点 第二课时)
示范教案( 方程的根与函数的零点 第二课时)_数学_高中教育_教育专区。示范教案( 方程的根与函数的零点 第二课时)第2 课时 方程的根与函数的零点 复习 提出问题...
方程的根与函数的零点练习题1
方程的根与函数的零点练习题(1) 1.函数 f(x)=log5(x-1)的零点是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.根据表格中的数据,可以判断方程 ex-x-2=0 必有一个...
方程的根与函数的零点讲义 (2)
方程的根与函数的零点讲义 (2)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档方程的根与函数的零点讲义 (2)_数学_高中教育_教育专区。第四讲 ...
方程的根与函数的零点(2)
方程的根与函数的零点 习题... 7页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
学生版方程的根与函数的零点练习答案_(2)
教师版方程的根与函数零点综合练习题答案一、选择题 1.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( A.f(x)=3x2-4x+5 [答案] D [解析] 对于函数 f(x)=ex+...
方程的根与函数的零点练习答案_(2)
方程的根与函数零点综合练习题答案一、选择题 1.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( A.f(x)=3x2-4x+5 ) D.f(x)=ex+3x-6 B.f(x)=x3-5x-5C....
方程的根与函数的零点练习答案_(2)
方程的根与函数的零点练习答案_(2)_数学_高中教育_教育专区。方程的根与函数的零点练习答案方程的根与函数零点综合练习题答案一、选择题 1.下列函数中在区间[1,...
方程的根与函数的零点2 学案
2012-2013 高一上学期数学学案 主备人: 备课组长签字: 年级主任签字: 课题: 方程的根与函数的零点(第二课时) 学习目标: (1)理解函数零点存在性定理; (2)能...
更多相关标签: