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方程的根与函数的零点2


第三章
3.1
3.1.1

函数的应用
函数与方程

方程的根与函数的零点

结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性 及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的关系.

韦达(Viete,Francois, seigneurdeLaBigotiere)是法国 十六世纪最有影响的数学家之一。

第一个引进系统的代数符号,并对
方程论做了改进。 他的《解析方法入门》一书(1591年),集中了他以 前在代数方面的大成,使代数学真正成为数学中的一 个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理

和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解。

第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未 知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。 韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与 系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与 系数关系的结论称为“韦达定理”)。

探究:下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系?

(1)
(2)

x ? 2x ? 3 ? 0 与 y ? x ? 2x ? 3
2

2

x ? 2x ?1 ? 0
2

与 y ? x ? 2x ?1
2

(3)
y
?1

x ? 2x ? 3 ? 0 与 y ? x2 ? 2x ? 3
2

y
1 1

y

3

x

x

x

引申:二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象和相应一元二次
2

方程 a x 2 ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的根有何关系? 二次函数
y ? ax ? bx ? c (a ? 0)
2

判别式

方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的根
2

的图象与x轴的交点

?>0
?=0

两不相等实数根 两相等实数根 没有实数根

两个交点
一个交点 没有交点

?<0

函数的零点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. 思考:函数 y ? f ( x ) 的图象与
f ( x ) ? 0 的根有何关系?

x 轴的交点和相应的方程

结论:
方程 f ( x ) ? 0 的根是函数 y ? f ( x ) 的图象与 点的横坐标 方程f (x)=0有实数根 ?函数y=f (x)的图象与x轴有交点

x

轴的交

?函数y=f (x)有零点

注意:函数零点既是对应方程的根,又是函数图象与x 轴交点的横坐标! 零点对于函数而言,根对于方程而言. 由此可知,求方程 f ( x ) ? 0 的实数根,就是求函数 y ? f ( x ) 的零点。对于不能用公式法求根的方程

f ( x ) ? 0 来说,可以将它与函数 y ? f ( x ) 联系起来, 利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根

y
探究: 如何求函数的零点?
观察二次函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象,如图,我们发现函数
f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 在区间 ? ? 2,1 ? 上有零点.
2

5 4 3 2 1 -2-1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4

计算 f ( ? 2 ) 和 f (1) 的乘积,你能发现这 个乘积有什么特点?在区间? 2, 4 ? 上是 否也具有这种特点呢?

y
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在区间[-2,1]上有零点______; -1

f(-2)=_______,f(1)=_______, 5 -4

f(-2)·f(1)___0(“<”或“>”). <
在区间(2,4)上有零点______; 3

5 4 3 2 1

-1 o 1 2 3 4 -1 5 -2 f(2)·f(4)____0(“<”或“>”). < -3 -4

思考:观察图象填空,在怎样的条件下, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , d ? 上存在零点? y

a O b

c d x

①在区间(a,b)上f(a)·f(b)____0(“<”或“>”). < 在区间(a,b)上______(有/无)零点; 有 ②在区间(b,c)上f(b)·f(c) ___0(“<”或“>”). < 在区间(b,c)上______(有/无)零点; 有 ③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(“<”或”>”). <

在区间(c,d)上____(有/无)零点; 有

y

c O a

b x




? f ( x ) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,
f (b ) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x ) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

如果函数 y

并且有 f ( a ) ?

即存在 c ? ? a , b ? ,使得 f ( c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的根.

例1

判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例

(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f(a)

·f(b)< 0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零
点.( )

(2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b)≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )

(3)已知函数y=f (x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)

<0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.(



解:(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且 f (a)·f(b) < 0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个 零点. y ( ) 如图,
a O b

x

函数y=f(x)在区间[a,b]上有3个零点,“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.

(2)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a)· f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )

y
如图,

O a

b x

可知,函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且f (a)· f(b)≥0,但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。

(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内存在零点.(
y



如图,
O

a b

x

虽然函数y=f(x)在区间[a,b] 满足f(a)·f(b)< 0,但是 图象不是连续的曲线,则f(x)在区间(a,b)内不存在零点 .

练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( B ) A.(-2,-1)
C.(1,2)

B.(0,1)
D.(2,3)

练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是
连续不断的曲线,且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有

零点,则f(a)·f(b)的值( C )
A、大于0 B、小于0

C、无法判断

D、等于零

例2.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数,并确定零点 所在的区间[n,n+1](n∈Z)

解: 方法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表:
x f(x ) 由表可知f(2)<0,f(3)>0, 从而f(2)·f(3)<0,∴函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
y
10 8 6 4 2

f(x)=lnx+2x-6

f(x)在区间(2,3)内有零点.
由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所以

它仅有一个零点.

O 123456 -2 -4

x

方法2: 即求方程 lnx+2x-6=0的根的个数,即求 lnx=6-2x的根 的个数,即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数 y 如图可知,只有一 6 个交点,即方程只

y=lnx
x

有一根。
O 1234

y=-2x +6

练习: 求方程2-x =x的根的个数,并确定根所在的区间 [n,n+1](n∈Z). 解:求方程 2 ? x ? x 的根的个数,即求方程 x ? ( ) x 2 y 的根的个数,即在判断函 数 y?x 与 y?( )
2 1
x

1

y ? ( ) 2

1

x

y=x
1 O 1234 x

的图象交点个数。由图可 知只有一解。

x 令 f (x) ? x ? ( )

1

2

估算f(x)在各整数处的取值的正负: x f(x) 0


1
+

2


3


由上表可知,方程的根所在区间为 ? 0 ,1 ? .

方程有实数根 ? 函数的图象与 x 轴有交点 ? 函数有 零点。
? f ( x )连 续 则 函 数 f ( x ) 在 ? a , b ?内 存 在 零 点 ? ? f ( a ) ? f (b ) ? 0
? f ( x )连 续 ? ? f ( a ) ? f ( b ) ? 0 则 函 数 f ( x ) 在 ? a , b ?内 存 在 唯 一 零 点 ? f ( x )单 调 ?

如果你不知道你要到哪儿去,那通常你哪

儿也去不了。


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