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2016黑龙江建筑职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 黑龙江建筑职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 1.设复数 z 满足关系式 z ? z ? 2 ? i ,那么 z 等于 A. ?

3 ?i 4

B.

3 ?i 4

C. ?

/>
3 ?i 4

D.

3 ?i 4

2.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a16 的值是 A.15 B.22 C.31 D.64

3.若命题 p : x ? A ? B ,则 ? p 是 A. x ? A且x ? B B. x ? A或x ? B C. x ? A ? B D. x ? A ? B

4.一植物园参观路径如右图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不 同 的参观路线种数共有 A. 6 种 B. 8 种 C. 36 种 D. 48 种

5 . 已知空间直角坐标系 O ? xyz 中有一点 A(?1,?1,2) ,点 B 是 xOy 平面内的直线

x ? y ? 1 上的动点,则 A, B 两点的最短距离是
A. 6 B.

34 C.3 2

D.

17 2

6.若不等式 (?1) n ?1 a ? 2 ? A. [?2,1)

(?1) n 对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是 n
C. [ ?

B. (?2,1)

5 ,1) 2

D. ( ?

5 ,1) 2

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? x?0 ? 7.点 M (a, b) 在由不等式组 ? y ? 0 确定的平面区域内, 则点 N (a ? b, a ? b) 所在 ?x ? y ? 2 ?
平面 区域的面积是 A. 1 B. 2 C. 4 D.8

8.如图,三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? BC ,

PA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球表面积为
A. 4? B. 3? C. 2? D. ?

9.设 M 是 ?ABC 内任一点,且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 300 , 设

?MBC, ?MAC, ?MAB 的面积分别为 x, y, z ,且 z ?
以 x, y 为坐标的点 ( x, y ) 的轨迹图形是

1 ,则在平面直角中坐标系中, 2

y
1 ? 2

y
1

y

y
1? 2

?

1? 2

o
A

? 1
2

x

o
B

1 2

x

o
C

? 1
2

x

o
D

? x 1

10 . 对于集合 P 、 Q , 定义 P ? Q ? {x | x ? P, 且x ? Q} , P ? Q ? ( P ? Q) ? (Q ? P) , 设集合 A ? { y | y ? x 2 ? 4x, x ? R} , B ? { y | y ? ?3 x , x ? R} ,则 A ? B 等于 A. ? ?4,0? B. ? ?4,0?

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C. ? ??, ?4? ? ?0, ??? D. ? ??, ?4? ? ? 0, ???

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.如图所示两个带指针的转盘,每个转盘被分成 5 个 区域,指针落在 5 个区域的可能性相等,每个区 域 内标有一个数字,则两个指针同时落在奇数所在区 域内的概率为 .
5 4 3 1 2 10 9 8 6 7

12.函数 f ( x) ? x ? 2 cos x 在 ?0, ? 上的最大值为. 2 13.设 ( x ? 1) 4 ( x ? 4)8 ? a0 ( x ? 3)12 ? ? ? a11 ( x ? 3) ? a12 ,则

? ?? ? ?

a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a12 ? .
14.点 P 是双曲线 C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 和圆 C2 : x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 的一个交 2 a b 点,且 2?PF 1 F2 ? ?PF 2F 1 ,其中 F 1 , F2 是双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离
心率为。

15.函数 f (n) ? k (其中 n ? N * ), k 是 2 的小数点后第 n 位数字,

2 ? 1.4142135623 7? ,
则 f ? f ? f [ f (8)]?的值为

??? ??? ?
2005 个

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0, | ? |? (1)试确定 f ( x) 的解析式; (2)若 f (

?
2

) 的图象(部分)如图所示,

a 1 2? ) ? , 求 cos( ? a ) 的值。 2? 2 3

17.(本小题满分 12 分) 抛一枚均匀的骰子(骰子的六面分别有数字 1、2、3、4、5、6)来构造数列 {an } , 使
n ? 1, (当第 n次出现奇数时 ) an ? ? ,记 ? ai ? a1 ? a 2 ? ? ? a n . i ?1 ?? 1, (当第 n次出现偶数时 )

(1)求

?a
i ?1

7

i

? 3 的概率;
7

(2)若

? ai ? 0 ,求 ? ai ? 3 的概率.
i ?1 i ?1

2

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18.(本小题满分 12 分) 如图,在△ ABC 中, AC ? BC , AB ? 2 , O 为 AB 的中点,沿 OC 将△ AOC 折
2 0 0 7 0 3 2 7

起到 △ A?OC 的位置,使得直线 A?B 与平面 ABC 成 30°角. (1)若点 A? 到直线 BC 的距离为 1,求二面角 A? ? BC ? A 的大小; (2)若 ?A?CB ? ?OCB ? ? ,求 BC 边的长.

19.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x ) ? 2n 1 ? x ? x 在 ?0, ??? 上最小值是 an (n ? N * ) .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:

1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ; 2 a1 a2 an 2

(3)在点列 An (2n, an ) 中是否存在两点 Ai , Aj (i, j ? N * ) ,使直线 Ai Aj (i, j ? N * ) 的斜 率为 1?若存在,求出所有的数对 ? i, j ? ;若不存在,请说明理由.

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20.(本小题满分 13 分) 某水库年初的存水量为 a(a ? 10000 ) ,其中污染物的含量为 P0 ,该年每月降入水库 的 水量与月份 x 的关系是 f ( x) ? 20? | x ? 7 | ( 1 ? x ? 12, x ? N ) ),且每月流入水库的 污水 量 r ,其中污染物的含量为 P( P ? r ) ,又每月库水的蒸发量也为 r (假设水与污染物 能充 分混合,且污染物不蒸发,该年水库中的水不作它用). (1)求第 x 个月水库含污比 g ( x) 的表达式(含污比 ?

污染物含量 ); 库容总量

(2)当 P0 ? 0 时,求水质最差的月份及此月份的含污比.

21.(本小题满分 14 分)

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1 2 5 a b 和 F2 ,椭圆 C 与 x 轴的两交点分别为 A、B,点 P 是椭圆上一点(不与点 A、B 重合),
如图,已知椭圆 C : 且∠APB= 2? ,∠F1PF2 ? 2 ? . (1)若 ? ? 45? ,三角形 F1PF2 的面积为 36 ,求椭圆 C 的方程;

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(2)当点 P 在椭圆 C 上运动,试证明 tan ? ? tan 2? 为定值.

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 D 5 B 6 A 7 C 8 A 9 A 10 C

二、填空题: 11.

6 ; 25

12.

?
6

? 3;

13. 128;

14.

3 ? 1 15. 2;

三、解答题: 16.解:(1)由图象可知 A ? 2,? 分 将点 P( ,2 )代入 y ? 2 sin(?x ? ? ) ,得 sin(

T 5 1 1 2? ? ? ? , ∴T=2, ? ? ? ? …………3 4 6 3 2 T

| ? |?

?
2

1 3

?
3

? ? ) ? 1 ,又

,所以 ? ?

?
6



故所求解析式为 f ( x) ? 2 sin(?x ?

?
6

), ( x ? R) ………………………………………6 分

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(2)∵ f ( ∴ cos( 分 17. 解:(1)设事件

a 1 a ? 1 ) ? , ∴ 2 sin( ? ) ? ,即 sin( a ? ? ) ? 1 ……………………8 分 2? 2 2 6 2 2 6 4

7 2? ? a ? a a ? ? a) ? cos[ ? ? 2( ? )] ? ? cos[ 2( ? )] ? 2 sin 2 ( ? ) ? 1 ? ? ………12 8 3 6 2 6 2 2 6

?a
i ?1

7

i

? 3 为 A,则在 7 次抛骰子中出现 5 次奇数,2 次偶数,
1 2

而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为 P 是相等的,且为 P ?
5 ( )5 ( ) 2 ? 根据独立重复试验概率公式: P( A) ? C 7

1 2

1 2

21 ………………………………6 128

分 (2)若 数. 若前 2 次都是奇数,则必须在后 5 次中抛出 3 次奇数 2 次偶数, 其概率: P1 ?

?a
i ?1

2

i

? 0, 则? ai ? 2, 或? ai ? ?2 ,即前 2 次抛骰子中都是奇数或都是偶
i ?1 i ?1

2

2

1 2 1 3 1 2 5 C5 ( ) ( ) ? …………………………………………………………8 分 4 2 2 64

若前 2 次都是偶数,则必须在后 5 次中抛出 5 次奇数,其概率:

P2 ?

1 1 5 1 ( ) ? . …………………………………………………………………………10 分 4 2 128 5 1 11 ? ? . …………………………………12 分 64 128 128

? 所求事件的概率 P ? P1 ? P2 ?

18.解:(I)由已知,OC⊥OB,OC⊥OA′从而平面 A′OB⊥平面 ABC. 过点 A′作 A′D⊥AB,垂足为 D,则 A′D⊥平面 ABC, ∴∠A′ED=30°,又 A′O=BO=1,∴∠A′OD=60°,从而 A′D=A′Osin60°= 过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E,连结 A′E,据三垂线定理,A′E⊥BC.

3 . 2

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∴∠A′ED 为二面角 A′—BC—A 的平面角. 由已知,A′E=1,在 Rt△A′DE 中 sin ?A?ED ?

A?D 3 ? . A?E 2

∴∠A′ED=60°故二面角 A′—BC—A 的大小为 60°. ………………………………6 分 (II)设 BC= x ,∠A′CB=θ ,则 A′C= x ,∠OCB=π-θ . 在 Rt△BOC 中, sin ?OCB ? 在△A′DB 中,A′B=
OB 1 1 ,? sin(? ? ? ) ? , 即sin ? ? . BC x x

A?D ? 3. sin 30?

在△A′BC 中,A′B2=A′C2+BC2-2A′C·BC cos ?A?CB.

? 3 ? x 2 ? x 2 ? 2 x 2 cos ? .即 cos ? ? 1 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1. ?

3 . 2x 2

1 3 9 2 ? (1 ? 2 ) 2 ? 1.即 4 ? 2 . 2 x 2x 4x x

9 3 2 3 2 ? x2 ? , x ? .故BC ? . ………………………………………………………12 分 8 4 4
2 19.解:(1)由 f ( x ) ? 2n 1 ? x ? x 得 f ?( x) ?

2nx 1? x2

? 1,令

f ?( x) ? 0 ? x ?
? ? 1

1 4n 2 ? 1



当 x?? ? 0,

? ? ? 1 ? 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 , , ?? ? ? ? 2 4n 2 ? 1 ? 4 n ? 1 ? ?

∴ f ( x) 在 [0,??) 上,当 x ? 4分 (2)证明:∵

1 4n ? 1
2

时取得最小值 4n 2 ? 1 ,∴ a n ?

4n 2 ? 1 ………

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) 2 an 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2 a1 a2 an 2

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………………………………………………8 分 (3)不存在. 假设存在两点 Ai , Aj 满足题意,即 k AI AJ ? 1 , 令 x ? 2n, y ? an ,则 y ?

x 2 ? 1( x ? 2) ,故点 Ai , Aj 都在双曲线

x 2 ? y 2 ? 1( x ? 2, y ? 1) 上,
而双曲线的一条渐近线方程为 l : y ? x ,其斜率为 1,这显然不可能,所以这样的两点

Ai , Aj 不存在。………………………………………………………………………………………………12
分 20.解:(1)第 x 月水库含污染物 P0 ? P ? x ,库容总量=

a ? f (1) ? f (2) ? ? ? f ( x)
当 1 ? x ? 6( x ? N )时, f ( x) ? 13 ? x,

(14 ? 13 ? x) ? x x 2 ? 27x ? 2a ? 此时库容量 ? a ? 14 ? 15 ? ? ? (13 ? x) ? a ? 2 2
当 7 ? x ? 12( x ? N )时, f ( x) ? 27 ? x,

? x 2 ? 53x ? 2a ? 84 此时,库容总量 ? a ? 99 ? 20 ? 19 ? ? ? (27 ? x) ? 2

? 2 P0 ? 2 P ? x (1 ? x ? 6, x ? N ) ? ? x 2 ? 27x ? 2a ∴ g ( x) ? ? …………………………………6 分 2 P0 ? 2 P ? x ? (7 ? x ? 12, x ? N ) ? ? ? x 2 ? 53x ? 2a ? 84
(2)∵ P0 ? 0 , a ? 10000 ,当 1 ? x ? 6 时, g ( x ) ?

2P 2a x? ? 27 x

易证 x ?

2a ? 27 在(0, 2a ) 上是减函数,且恒大于零, x
12 P 198 ? 2a

∴ g ( x)在区间 [1,6] 上是增函数 ∴当 x ? 6 时, g ( x) max ? 当 7 ? x ? 12 时, g ( x) ?

2P 2a ? 84 ?x? ? 53 x

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易证 ? x ?

2a ? 84 ? 53 在 (0,??) 上是减函数,且恒大于零. x 12 P . 204 ? a

∴ g ( x)在区间 [7,12] 上是增函数 , 当 x=12 时, g ( x) max ? ∵ a ? 10000 , ∴

12 P 12 P ? . 204 ? a 198 ? 2a 12 P ……………………………………13 分 204 ? a
2 2

∴水质量最差的是 12 月份,其含污比为

21.解:(Ⅰ)由于三角形 F1PF2 为直角三角形,则 PF1 ? PF2
2 即 ( PF1 ? PF2 ) ? 2 PF1 PF2 ? F1 F2 , 2

? F1 F2 ,

2

? 三角形 F1PF2 的面积为 36 ,∴

1 PF1 PF2 ? 36 ,即 PF 1 PF 2 ? 72 , 2
∴ b2 ? 36 .

2 2 2 2 ? (2a) ? 2 ? 72 ? (2c) (2a) ? (2c) ? 2 ? 72 , ,即

4 c 2 16 a 2 ? b2 16 ? ,即 , ∴ a 2 ? 100 , ? 椭圆 C 的离心率为 ,则 2 ? 2 5 a 25 a 25
∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………………………………7 分 100 36

(Ⅱ)不妨设点 P ( x, y) 在第一象限,则在三角形 PF1F2 中,

F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos2 ? ,
2 ∴ F1 F2 ? ( PF1 ? PF 2 ) ? 2 PF1 PF2 (1 ? cos2 ? ) , 2

2

2

2

即 4c2 ? 4a2 ? 2 PF 1 PF 2 (1 ? cos2? ) , ∴ PF1 PF2 ?

2b2 2b2 b2 . ? ? 1 ? cos 2? 2cos2 ? cos 2 ?

? S?F1F2 P ?

1 b2 sin 2? b2 sin ? PF1 PF2 sin 2? ? ? ? b2 tan ? . 2 2 cos ? 2cos ?

1 cy ? S ?F1F2 P ? ? 2c ? y ? cy , ∴ b2 tan ? ? cy ,即 tan ? ? 2 . 2 b

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作 PC ? x 轴,垂足为 C .

? tan ?APC ?

AC PC

?

CB a ? x a?x , tan ?CPB ? , ? y PC y

a?x a?x ? 2ay y y ∴ tan 2? ? tan(?APC ? ?CPB) ? . ? 2 2 2 a ?x x ? y2 ? a2 1? y2

?

x2 y 2 a2 y2 2ay 2 2 x ? a ? ? ? 1 , ∴ . ∴ tan 2? ? 2 ? 2 2 2 b a b x ? y2 ? a2

2a 2ab 2 . ? a2 ?c 2 y (1 ? 2 ) y b

∴ tan ? ? tan 2? ?

4 5 2 2 ,? 离心率 e ? ,∴ tan ? ? tan 2? ? ? . ? c ?e 5 2 ? a

∴ tan ? ? tan 2? 是定值, 其值为 ?

5 . ……………………………………………………14 分 2


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