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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三第二次模拟考试数学(文)试题


哈尔滨市第六中学 2015 届高三第二次模拟考试 数学(文)试题
(4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差 s ? 数 柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;锥体体积公式 V ? 为高 球的表面积和体积公式 S ? 4?R 2 , V ?

1 ( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ,其中 x 为样本的平均 n

?

?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 3

4 3 ?R ,其中 R 为球的半径 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的. 1.设全集为 R ,集合 A = x ? R | x ? 4 , B = ?x | ?1 ? x ? 4?,则 A ? (C R B ) ? (
2

?

?


1

A. ?? 1,2 ?

B. ?? 2,?1?

C. ?? 2,?1?

D. ?? 2,2 ? ) D. 第四

2.在复平面内,复数 z ? A.第一象限 象限 为( A.3 D. ?3 )

1? i ( i 是虚数单位)对应的点位于( i
C. 第三象限

1

B. 第二象限

正视图

侧视图

3.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x ,则 f (?8) 值 B.

1

1 3

C. ?

1 3

俯视图

4.已知命题 p : ?x ? R, 使 2 x ? 3x ;命题 q : ?x ? (0, A. (?p ) ? q 5. A. B. (?p ) ? (?q )

?
2

), tan x ? sin x ,下列是真命题的是(
D. p ? (?q ) ) D. 13



C. p ? (?q )

已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 a ? 3b ? (

13

B.

10

C. 4

第 1 页 共 7 页

6.已知 ?an 为等比数列,a4 ? a7 ? 2 ,a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (

?



开始 S=0,n=0

( A) 7

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

7.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为( ? x ? 表示不超过 x 的最大 整数) ( A.4 ) B.6 C.7 D.9 )

? S ?S?? ? n?

n=n+1


n ? 4?
?
是 输出 S 结束

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (

1 6 2 C. 3 A.
9. 已 知 双 曲 线

B.

1 2 5 D. 6

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 点 P( 3, y0 ) 在 该 双 曲 线 上 , 若 2 b2


PF1 ? PF2 = 0 ,则双曲线的渐近线方程为(
A. y ? ? x B. y ? ? 2 x

C . y ? ? 3 x D. y ? ?2 x

10.在区间 ?1,5? 和 ?2,4?分别取一个数,记为 a, b , 则方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 a 2 b2
C.

3 的椭圆的概率为( 2
2

) A.

1 2

B.

15 32

17 32

D.

31 32

11. 设曲线 y ? x 上任一点 ( x, y ) 处的切线的的斜率为 g ( x) , 则函数 h( x) ? g ( x) cos x 的部分图象 可以为( )

12.四面体的一条棱长为 x,其余棱长均为 3,当该四面体体积最大时,经过这个四面体所有顶点的 球的表面积为( ) A

27? 2

B.

9? 2

C.

15? 2

D. 15?
第 2 页 共 7 页

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设数列 ?a n ? 满足 a 2 ? a 4 ? 10 ,点 Pn (n, a n ) 对任意的 n ? N ? ,都有向量

Pn Pn ?1 ? (1,2) ,则数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ?

.

? x? y ?0 ? 14. 设 x, y满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ? x ? 3 y +m 的最大值为4,则 m 的 值 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
为 .
?x ? 1 ?3 ( x ? 0) 15.已知函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有且仅有两个零点,则实数 b 的取 2 ? ? x ( x ? 0)

值范围是 16. 在 ?ABC 中 2 sin 2

.

A AC ? 3 sin A, sin( B ? C ) ? 2 cos B sin C , 则 ? ________。 2 AB

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 (I)求角 A 的大小; (II)若函数 y ? 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道 数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊, 记为 x ,已知甲、乙两组的平均成绩相同. (1)求 x 的值,并判断哪组学生成绩更稳定; 9 1 0 8 9 1 x 2 1 (18 题图) 9 1

2b ? c cos C . ? a cos A

3 sin B ? sin(C ?

?

6

) 的值域.
甲 乙

(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于 20 分的概率. 19.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形 , PA ? 底面ABCD , M 是棱 PD 的中点,且
M P

PA ? AB ? AC ? 2, BC ? 2 2 .
(1)求证: CD ? 平面PAC ; (2)如果 N 是棱 AB 上一点,
B N C A D

第 3 页 共 7 页

若 V N ? PBC : V N ? AMC ? 3 : 2 ,求

AN 的值 NB
2

20. (本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 C : y ? 2 px 和 ⊙ M :( x ? 4) ? y ? 1 , 过抛物线 C 上一点 H 作两条直线与
2 2

y
H A B

⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E、F 两点,圆心点

o
E F

x

M 到抛物线准线的距离为

17 . 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 , (1) 若 xf ?( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(2)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
F A

如图, A, B, C , D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点

F 在 BA 的延长线上. EC 1 ED 1 DC (1)若 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
(2)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF // CD .
2

D

B

E

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标和参数方程 ? x ? 2 cos ? 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,以 O 为极点, x 轴的正半轴 ? y ? sin ? 为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 ? ?
D(2, ) 3 (1)求曲线 C1 , C 2 的方程;

?

?

3

与曲线 C 2 交于点

(2) A( ?1 , ? ), B( ? 2 , ? ?

? 是曲线 C 上的两点,求 1 1 ) ? 2 的值; 1 2
2
?1 ?2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 设函数 f ( x) =| x ? 2 | ? | x ? 2 | , x ? R .不等式 f ( x) ? 6 的解集为 M . (1)求 M ; (2)当 a, b ? M 时,证明: 3 | a ? b |?| ab ? 3 | .

第 4 页 共 7 页

18.(1)x=1, s (2)

2 甲

? 1 , s 2乙 ? 2 s 2甲 ? s 2乙 ,甲更稳定;---------------6 分
--------------12 分

3 8

19. (1)连结 AC. 因为在△ABC 中, AB= AC=2, BC ? 2 2 , 所以 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 , 所以 AB ? AC . 因为 AB ∥ CD , 所以 AC ? CD . 又因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AC ? PA ? A , 所以 CD⊥平面 PAC. (2)

P

M

A B N C

D

---------------6 分 --------------12 分

4 3

20.解: (Ⅰ)∵ 点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ∴p ?

p 17 , ? 2 4

1 2 ,即抛物线 C 的方程为 y ? x .--------------------4 分 2

(Ⅱ)法一:∵ 当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴k HE ? ?k HF , 错误!未找到引用源。设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) , ∴

yH ? y1 y ? y2 yH ? y1 y ? y2 错误!未找到引用源。 ,∴ 2 , ?? H ?? H 2 2 2 xH ? x1 xH ? x2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 . -------------------------------5 分
第 5 页 共 7 页

k EF ?

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ? ? .-----------------------------12 分 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4
3,

法二:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴?AHB ? 60 ? ,可得 k HA ? 直线 HA 的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2 , k HB ? ? 3 ,∴ y
H A B

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 联立方程组 ? , 得 3y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 , 2 y ?x ?
3 3?6 13 ? 4 3 ∵ yE ? 2 ? ∴y E ? , xE ? . 3 3 3
同 ∴k EF ? ? 理 可 得

o
E F

x

yF ?

? 3?6 3



xF ?

13 ? 4 3 3



1 .----------------------------12 分 4

24. ( 1 )
第 6 页 共 7 页

?? 3,3? ......5 分(2)略......10 分
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