当前位置:首页 >> 数学 >>

【配套Word版文档】第四章4.7


§ 4.7
2014 高考会这样考

解三角形应用举例

考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角

度、方向、距离等测量问题. 复习备考要这样做 1.会从实际问题抽象中解三角形问题,培养建模能力;2.掌握解三

角形实际应用的基本方法,体会数学在实际问题中的应用.

>
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方 叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).

(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° 等. (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 3.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要 求等. [难点正本 疑点清源] 解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定

理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时 需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未 知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

1.在某次测量中,在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60° ,C 点的俯角是 70° , 则∠BAC=________. 答案 130° 解析 由已知得∠BAD=60° ,∠CAD=70° , ∴∠BAC=60° +70° =130° .

2.(2011· 上海)在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° , 则 A,C 两点之间的距离是__________千米. 答案 6

解析 如图所示,由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° ∴AC= 2 3 · = 6. 2 2 2

3.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部 测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距 ________ m. 答案 10 3 解析 如图,OA 为炮台,M、N 为两条船的位置,∠AMO=45° , ∠ANO=60° ,OM=AOtan 45° =30, ON=AOtan 30° = 由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 = 300=10 3(m). 2 3 ×30=10 3, 3

4.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60° ,则山的高度 BC 为____________ m. 答案 500( 3+1) 解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E, 因为∠DAC=30° , 故∠ADE =150° .于是∠ADB=360° -150° -60° =150° . 又∠BAD=45° -30° =15° , ADsin∠ADB 故∠ABD=15° ,由正弦定理得 AB= sin∠ABD = 1 000sin 150° =500( 6+ 2)(m). sin 15°

所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin 45° =500( 3+1)(m). 5.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) B.北偏西 10° D.南偏西 10°

A.北偏东 10° C.南偏东 10° 答案 B

解析 灯塔 A、B 的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80° , ∠CAB=∠CBA=50° , 则 α=60° -50° =10° ,即北偏西 10° .

题型一 测量距离问题 例1 要测量对岸 A、 B 两点之间的距离, 选取相距 3 km 的 C、 D 两点, 并测得∠ACB

=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 思维启迪:将题中距离、角度转化到一个三角形中,再利用正弦、 余弦定理解三角形. 解 如图所示,在△ACD 中,

∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . sin 60° 2

在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+?

? 6+ 2?2-2× 3× 6+ 2×cos 75° ? 2 ? 2 ?

=3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5 (km),∴A、B 之间的距离为 5 km. 探究提高 这类实际应用题, 实质就是解三角形问题, 一般都离不开正弦定理和余弦 定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问 题去求解. 注意:(1)基线的选取要恰当准确;(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的 扇 形 AOB, C 是该小区的一个出入口, 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走 到 C 用了 3 分钟. 若此人步行的速度为每分钟 50 米, 则该扇形的半径为________米. 答案 50 7 解析 连接 OC,在△OCD 中,OD=100, CD=150,∠CDO=60° , 由余弦定理可得 1 OC2=1002+1502-2×100×150× =17 500, 2 解得 OC=50 7(米). 题型二 测量高度问题 例2 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿途

测得塔顶的最大仰角为 30° ,求塔高. 思维启迪:依题意画图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前 进,CD=40 米,此时∠DBF=45° ,从 C 到 D 沿途测塔的仰 角,只有 B 到测试点的距离最短时,仰角才最大,这是因为 AB tan∠AEB= ,AB 为定值,BE 最小时,仰角最大.要求出 BE 塔高 AB,必须先求 BE,而要求 BE,需先求 BD(或 BC). 解 如图所示,某人在 C 处,AB 为塔高,

他沿 CD 前进,CD=40,此时∠DBF=45° ,过点 B 作 BE⊥CD 于

E, 则∠AEB=30° , 在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30° ,∠DBC=135° , 由正弦定理,得 CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD

40sin 30° ∴BD= =20 2(米). sin 135° ∠BDE=180° -135° -30° =15° . 在 Rt△BED 中, BE=DBsin 15° =20 2× 6- 2 =10( 3-1)(米). 4

在 Rt△ABE 中,∠AEB=30° , ∴AB=BEtan 30° = 10 (3- 3)(米). 3

10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 探究提高 在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画出准确的示意图,恰当 地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、 立体几何等知识. 如图所示,B,C,D 三点在地面的同一直线上,DC =a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 β 和 α(α<β),则 A 点距 地面 的高 AB 为_______________________________________. 答案 asin αsin β sin?β-α?

AC DC a 解析 AB=ACsin β, = = , sin α sin∠DAC sin?β-α? asin αsin β 解得 AB= . sin?β-α? 题型三 测量角度问题 例3 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出

该渔轮在方位角为 45° ,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105° 的 方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去 营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 思维启迪:本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先 设出所用时间 t,找出等量关系,然后解三角形. 解 如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120° ,设舰艇靠

近渔轮所需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC =9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 1 2 120° ,所以 212t2=102+81t2+2×10×9t× ,即 360t2-90t-100=0,解得 t= 或 t 2 3 5 2 =- (舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h. 12 3 此时 AB=14,BC=6. BC AB 在△ABC 中,根据正弦定理得 = , sin∠CAB sin 120° 3 6× 2 3 3 所以 sin∠CAB= = , 14 14 即∠CAB≈21.8° 或∠CAB≈158.2° (舍去). 即舰艇航行的方位角为 45° +21.8° =66.8° . 2 所以舰艇以 66.8° 的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3 探究提高 对于和航行有关的问题, 要抓住时间和路程两个关键量, 解三角形时将各 种关系集中在一个三角形中利用条件. 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东 方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营 救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里 的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处 救 援,则 cos θ 等于 A. 21 7 B. 21 14 3 21 C. 14 D. ( 21 28 )

答案 B 解析 如图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20, ∠BAC=120° ,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2- 2AB· AC· cos 120° =2 800,所以 BC=20 7. 由正弦定理,得 AB 21 sin∠ACB= · sin∠BAC= . BC 7 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= . 7 故 cos θ=cos(∠ACB+30° )

=cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° =

21 . 14

正、余弦定理在实际问题中的应用

典例:(12 分)如图,在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3- 1) 海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海 里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船,此 时走私船正以 10 海里/小时的速度,以 B 处向北偏东 30° 方向逃窜.问:缉私船沿什 么 方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间. 审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求).

(2)将问题集中到一个三角形中,如△ABC 和△BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解. 规范解答 解 t (海里),BD=10t(海里), 在△ABC 中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos 120° =6. ∴BC= 6(海里). BC AC 又∵ = , sin∠BAC sin∠ABC AC· sin∠BAC 2· sin 120° 2 ∴sin∠ABC= = = , BC 2 6 ∴∠ABC=45° ,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90° +30° =120° , BD CD 在△BCD 中,由正弦定理,得 = , sin∠BCD sin∠CBD BD· sin∠CBD 10t· sin 120° 1 ∴sin∠BCD= = = . CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° ,∴缉私船沿北偏东 60° 的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120° ,∠BCD=30° , [8 分] [5 分] [3 分] [1 分] 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时, 才能最快截获(在 D 点)走私船, 则 CD=10 3

∴D=30° ,∴BD=BC,即 10t= 6. ∴t= 6 小时≈15(分钟). 10 [11 分]

∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟. [12 分]

解斜三角形应用题的一般步骤为 第一步:分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意图; 第二步:建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量 尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; 第三步:求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数 学模型的解; 第四步:检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

温馨提醒

(1)由实际出发,构建数学模型是解应用题的基本思路.如果涉及三角形

问题,我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答,之后再还原成实际问题,即利用 上述模板答题. (2)本题的易错点:不能将已知和待求量转化到同一个三角形中,无法运用正、余弦 定理求解.

方法与技巧 1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型. 2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题. 失误与防范 在解实际问题时,应正确理解如下角的含义. 1.方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角. 2.方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 3.坡度——坡面与水平面的二面角的正切值. 4. 仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视 线在水平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线下方时称为俯角.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 3 1.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为 ,设 α 为坡角,那么 cos α 等于 4 3 A. 5 答案 B 3 4 解析 因为 tan α= ,所以 cos α= . 4 5 2.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为 ( A.1 C.2cos 10° 答案 C 解析 如图,∠ABC=20° , AB=1,∠ADC=10° , ∴∠ABD=160° . AD AB 在△ABD 中,由正弦定理得 = , sin 160° sin 10° sin 160° sin 20° ∴AD=AB· = =2cos 10° . sin 10° sin 10° 3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° , 沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是 A.50 m 答案 A 解析 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,∠A=60° ,AC=h,AB =100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° ,即 h2+50h -5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 4.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边 选 定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° B.100 m C.120 m D.150 m ( ) B.2sin 10° D.cos 20° ) 4 B. 5 3 C. 4 4 D. 3 ( )

后,就可以计算出 A、B 两点的距离为 A.50 2 m C.25 2 m 答案 A 解析 ∵∠ACB=45° ,∠CAB=105° , ∴∠ABC=180° -105° -45° =30° . 在△ABC 中,由正弦定理得 AB AC = , sin C sin B B.50 3 m 25 2 D. m 2

(

)

2 50× 2 AC· sin C ∴AB= = =50 2 (m). sin B 1 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角 为 30° ,则甲、乙两楼的高分别是________________. 40 答案 20 3米、 3米 3 解析 如图,依题意有甲楼的高度为 AB=20· tan 60° =20 3(米), 1 20 3 又 CM=DB=20(米),∠CAM=60° ,所以 AM=CM· = tan 60° 3 (米),故乙楼的高度为 CD=20 3- 20 3 40 3 = (米). 3 3

6.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向, 行驶 4 h 后, 船到 B 处, 看到这个灯塔在北偏东 15° 方向, 这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2 解析 如图所示,依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30° ,∠AMB=45° , 在△AMB 中, 60 BM 由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° 解得 BM=30 2 (km). 7.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14, ∠BDA=60° ,∠BCD=135° ,则 BC 的长为_______________. 答案 8 2 解析 在△ABD 中,设 BD=x,则 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA,即 142=x2

+102-2· 10x· cos 60° ,整理得 x2-10x-96=0, 解之得 x1=16,x2=-6(舍去). BC BD 在△BCD 中,由正弦定理: = , sin∠CDB sin∠BCD 16 ∴BC= · sin 30° =8 2. sin 135° 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分)如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同 一 水平面内的两个观测点 C 与 D,测得∠BCD=15° ,∠BDC=30° , CD=30 m,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角为 60° ,求塔高 AB. 解 在△BCD 中,∠CBD=180° -15° -30° =135° ,

BC CD 由正弦定理,得 = , sin∠BDC sin∠CBD 30sin 30° 所以 BC= =15 2 (m). sin 135° 在 Rt△ABC 中,AB=BC· tan∠ACB=15 2tan 60° =15 6 (m). 所以塔高 AB 为 15 6 m. 9.(12 分)如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,

AC=14,DC=6, AD2+DC2-AC2 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC = 100+36-196 1 =- , 2 2×10×6

∴∠ADC=120° ,∴∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B AD· sin∠ADB 10sin 60° ∴AB= = = sin B sin 45° 10× 2 2 3 2

=5 6.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)

1.在△ABC 中,已知∠A=45° ,AB= 2,BC=2,则∠C 等于 A.30° 答案 A 2 2 解析 利用正弦定理可得 = , sin 45° sin C 1 ∴sin C= ,∴∠C=30° 或 150° . 2 又∵∠A=45° ,且∠A+∠B+∠C=180° ,∴∠C=30° . B.60° C.120° D.30° 或 150°

(

)

2.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰 好是 3 km,那么 x 的值为 A. 3 C. 3或 2 3 答案 C 解析 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3, ∠ABC=30° , 由余弦定理得( 3)2=x2+32-2x· 3· cos 30° , 整理,得 x2-3 3x+6=0,解得 x= 3或 2 3. 3.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分 钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° , 在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距离是 ( ) B.10 3海里 D.20 2海里 B.2 3 D.3 ( )

A.10 2海里 C.20 3海里 答案 A

解析 如图,易知,在△ABC 中,AB=20,∠CAB=30° , BC AB ∠ACB=45° ,根据正弦定理得 = ,解得 BC= sin 30° sin 45° 10 2(海里). 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.一船由 B 处向正北方向航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔 C、D 恰好与 它在一条直线上,继续航行半小时后到达 A 处,看见灯塔 C 在它的南偏西 60° 方向, 灯塔 D 在它的南偏西 75° 方向,则这艘船的速度是______海里/小时. 答案 10 解析 如图所示,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,所以∠CAD=∠CDA=15° ,

5 从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中, 得 AB=5, 于是这艘船的速度是 =10(海 0.5 里/小时).

5.某路边一树干被大风吹断后,折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角, 树干底部与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是__________米. 答案 20 6 3

解析 如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则 ∠ABO=45° ,∠AOB=75° ,∴∠OAB=60° . 由正弦定理知, AO 20 = , sin 45° sin 60°

20 6 ∴AO= (米). 3 1 6.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° ,AD=2.若△ADC 的面 2 积为 3- 3,则∠BAC=______. 答案 60° 1 3 解析 S△ADC= ×2×DC× =3- 3, 2 2 解得 DC=2( 3-1), ∴BD= 3-1,BC=3( 3-1). 在△ABD 中,AB2=4+( 3-1)2-2×2×( 3-1)×cos 120° = 6, ∴AB= 6. 在△ACD 中,AC2=4+[2( 3-1)]2-2×2×2( 3-1)×cos 60° =24-12 3, AB2+AC2-BC2 1 ∴AC= 6( 3-1),则 cos∠BAC= = , 2AB· AC 2 ∴∠BAC=60° . 三、解答题 7.(13 分)如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面 内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处 测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° 、30° ,于水面 C 处测得 B

点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间 距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B、D 的距离(计算 结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449). 解 在△ACD 中,∠DAC=30° ,

∠ADC=60° -∠DAC=30° ,所以 CD=AC=0.1. 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin 60° 3 2+ 6 所以 AB= = , sin 15° 20 3 2+ 6 即 BD= ≈0.33(km). 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.


相关文章:
【配套Word版文档】第四章4.7
【配套Word版文档】第四章4.7_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.7_数学_高中教育_教育专区。§ 4.7 2014...
【配套Word版文档】第四章4.4
【配套Word版文档】第四章4.4_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.4_数学_高中教育_教育专区。§ 4.4 2014...
【配套Word版文档】第四章4.3
【配套Word版文档】第四章4.3_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.3_数学_高中教育_教育专区。§ 4.3 2014...
【配套Word版文档】第四章4.2
【配套Word版文档】第四章4.2_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.2_数学_高中教育_教育专区。§ 4.2 2014...
【配套Word版文档】第四章4.5
【配套Word版文档】第四章4.5_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.5_数学_高中教育_教育专区。§ 4.5 2014...
【配套Word版文档】第四章4.6
【配套Word版文档】第四章4.6_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.6_数学_高中教育_教育专区。§ 4.6 2014...
【配套Word版文档】第四章4.1
【配套Word版文档】第四章4.1_理化生_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第四章4.1_理化生_高中教育_教育专区。§ 4.1...
【配套Word版文档】第六章 专题四
【配套Word版文档】第六章 专题四_政史地_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第六章 专题四_政史地_高中教育_教育...
【配套Word版文档】第三章3.4
【配套Word版文档】第三章3.4_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第三章3.4_数学_高中教育_教育专区。§ 3.4...
【配套Word版文档】第三章3.1
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 【配套Word版文档】第三章3.1_数学_高中...若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致...
更多相关标签:
qt4.7.3帮助文档 chm | word2007第四章ppt | 软件产品发布配套文档 | word文档 | word文档下载 | word文档打不开怎么办 | word文档使用教程 | word文档打不开 |