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高中数学必修2第三章知识点及练习题


第三章

直线与方程

1、直线倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所 成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、 直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tanα 。 ①当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ②当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.
? ? ? ? 当 ? ? ?0 ,90 ?时, k ? 0 ,k 随着α 的增大而增大; 当 ? ? ?90 ,180 ?时, k ? 0 ,k 随着α 的增大

x y ? ? 1 ,其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴 a b 的截距分别为 a , b 。
④截矩式: ⑤一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)

注意:①在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。 ②各式的适用范围 ③特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; 5、直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (1)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) ,所以平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 的直线方程可设: A0 x ? B0 y ? C ? 0, C ? C0 垂 直 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 方 程 可 设 :

? 而增大; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.

y 2 ? y1 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率公式: k ? ⑵过两点 P ( x1 ? x2 ) x2 ? x1
注意下面四点: (1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90° ;
1、P 2 的顺序无关; (2)k 与 P (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率,再求倾斜角。 ※三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等,那么这三点共线;反之,三 点共线,任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。 4、直线方程(注意各种直线方程之间的转化)

B0 x ? A0 y ? C ? 0 (C 为常数)
(2)过定点的直线系 ①斜率为 k 的直线系: y ? ②过两条直线 l1 :

y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) 6、两直线平行与垂直 (1)当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

①直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,k 为直线的斜率,且过点 ?x0 , y 0 ? ,适用条件是不垂 直 x 轴。 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y ? y0 。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的 横坐标都等于 x0,所以它的方程是 x=x0。 ②斜截式: y ? kx ? b , k 为直线的斜率,直线在 y 轴上的截距为 b

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (2)当 l1 :

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 时,

l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0且B1C2 ? B2 C1 ? 0 ; l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0
例:设直线 l1 经过点 A(m,1)、B(—3,4),直线 l 2 经过点 C(1,m)、D(—1,m+1), 当(1) l1 / / l 2 (2) l1 ⊥ l 2 时,分别求出 m 的值 7、两条直线的交点

y ? y1 x ? x1 ? ③两点式: ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

当 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交时,

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A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标是方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ;方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合。 8. 中点坐标公式:已知两点 P1 (x1,y1)、P2(x2,y2),则线段的中点 M 坐标为( 已知点 A(7,—4)、B(—5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。

A.2

B.-2

C .4

D.1 ).

4. 已知直线 l 与过点 M(- 3 , 2 ), N( 2 , - 3 )的直线垂直, 则直线 l 的倾斜角是( A.

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 )例: 2 2

? 3

B.

2? 3

C.

? 4

D. ).

3? 4

5.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

) B 2x,) 9 、 两 点 间 距 离 公 式 : 设 A( x 是平面直角坐标系中的两个点,则 1 , y 1,( 2y

6.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1 =0,则直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 ). B.2x-y-1=0 D.2x+y-7=0 ).

| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
10、点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ?
Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

C.2y-x-4=0

11、两平行直线距离公式(1)两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解,即:先在任一直线 上任取一点,再利用点到直线的距离进行求解。 (2)两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1:Ax+By+C1=0,l2: Ax+By+C2=0,则 l1 与 l 2 的距离为 d ? 一、选择题 1.若直线 x=1 的倾斜角为 ?,则??( A.等于 0 D.不存在 2.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 ). B.等于? ). C.等于

7.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为( A.19x-9y=0 C.19x-3y= 0 B.9x+19y=0 D.3x+19y=0

C1 ? C 2 A2 ? B2
是(

8.直线 l1:x+a2y+6=0 和直线 l2 : (a-2)x+3ay+2a=0 没有公共点,则 a 的值 ). A.3 B.-3 C .1 D.-1

9.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a>0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位得直线 l',

? 2

此时直线 l' 与 l 重合,则直线 l' 的斜率为( A.

). C.

a a+ 1

B. -

a a+ 1

a+ 1 a
).

D. -

a+ 1 a

10.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A.(-6,8) 二、填空题 B.(-8,-6) C.(6,8)

D.(-6,-8)

11.已知直线 l1 的倾斜角 ?1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方向旋
(第 2 题 ) 3.已知直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线 l2 经过两点(2, 1) 、 ( x,6),且 l1∥l2,则

转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°,则直线 l2 的斜率 k2 的值为 12.若三点 A(-2,3),B(3,-2),C(

. .

x=(

).

1 ,m)共线,则 m 的值为 2

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13.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐标为 . . . .

20.一直线被两直线 l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求 该直线方程.
(第 19 题)

14.求直线 3x+ay=1 的斜率

15. 已知点 A(-2, 1), B(1, -2), 直线 y=2 上一点 P, 使|AP|=|BP|, 则 P 点坐标为 16.与直线 2x+3y+5=0 平行,且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是

17.若一束光线沿着直线 x-2y+5=0 射到 x 轴上一点,经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程 是 三、解答题 18.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R,m≠-1),根据下列条件 分别求 m 的值: ①l 在 x 轴上的截距是-3; ②斜率为 1. . 21.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6,求直线 l 的 方程. .

19.已知△ABC 的三顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线 l 平行于 AB,交 AC,BC 分别于 E,F,△CEF 的面积是△CAB 面积的

1 .求直线 l 的方程. 4

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第三章 直线与方程
参考答案
A组 一、选择题 1.C 解析:直线 x=1 垂直于 x 轴,其倾斜角为 90°. 2.D 解析:直线 l1 的倾斜角??1 是钝角,故 k1<0;直线 l2 与 l3 的倾斜角??2,?3 均为锐角且?2>?3, 所以 k2>k3>0,因此 k2>k3>k1,故应选 D. 3.A

9. B 解析: 结合图形,若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移,再沿 x 轴正方向平移后,所得直线与 l 重合, 这说明直线 l 和 l’ 的斜率均为负,倾斜角是钝角.设 l’ 的倾斜角为 ?,则 tan ?= - 10.D 解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线 5x+4y+21=0 是点 A(4,0)与所求点 A'(x, y)连线的中垂线,列出关于 x,y 的两个方程求解. 二、填空题 11.-1. 解析:设直线 l2 的倾斜角为??2,则由题意知: 180°-?2+15°=60°,?2=135°, ∴k2=tan ?2=tan(180°-45°)=-tan45°=-1. 12.

a . a+ 1

? 解析:因为直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线 l1 的倾斜角为 ,而 l1∥l2,所以, 2
直线 l2 的倾斜角也为 4.C 解析:因为直线 MN 的斜率为
2+ 3 - 3- 2 =-1 ,而已知直线 l 与直线 MN 垂直,所以直线 l 的斜

? ,又直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6),所以,x=2. 2

1 . 2

(第 11 题)

解:∵A,B,C 三点共线, ∴kAB=kAC,
-2-3 m-3 1 = .解得 m= . 1 3+2 2 +2 2

率为 1,故直线 l 的倾斜角是 5.C

? . 4

13.(2,3). 解析:设第四个顶点 D 的坐标为(x,y),

解析:直线 Ax+By+C=0 的斜率 k= ? 过第三象限.

C A <0,在 y 轴上的截距 D=- >0,所以,直线不通 B B

∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD·kCD=-1,且 kAD=kBC. ∴

6.A 解析:由已知得点 A(-1,0),P(2,3),B(5,0),可得直线 PB 的方程是 x+y-5=0. 7.D 8.D

y-1 y-2 y-1 · =-1, =1. x-0 x-3 x-0

? x=0 ? x=2 解得 ? (舍去) ? ? y=1 ? y=3

所以,第四个顶点 D 的坐标为(2,3).

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14.-

3 或不存在. a

解析:由已知,直线 AB 的斜率 k=

1?1 1 = . 3 ?1 2
1 . 2

解析:若 a=0 时,倾角 90°,无斜率. 若 a≠0 时,y=- ∴直线的斜率为- 15.P(2,2). 解析:设所求点 P(x,2),依题意: ( x ? 2)2 ? (2 ? 1)2 = ( x ? 1)2 ? (2 ? 2)2 ,解得 x=2,故所 求 P 点的坐标为(2,2). 16.10x+15y-36=0. 解析:设所求的直线的方程为 2x+3y+c=0,横截距为- c= -

因为 EF∥AB,所以直线 EF 的斜率为 因为△ CEF 的面积是△CAB 面积的 直线 EF 的方程是 y- 20.x+6y=0.

3 1 x+ a a 3 . a

1 5 ,所以 E 是 CA 的中点.点 E 的坐标是(0, ). 4 2

5 1 = x,即 x-2y+5=0. 2 2

解析:设所求直线与 l1,l2 的交点分别是 A,B,设 A(x0,y0),则 B 点坐标为 (-x0,-y0). 因为 A,B 分别在 l1,l2 上,

c c ,纵截距为- ,进而得 2 3

36 . 5

? ?4 x0+y0+6=0 所以 ? ? ?-3x0+5 y0-6=0

① ②

①+②得:x0+6y0=0,即点 A 在直线 x+6y=0 上,又直线 x+6y=0 过原点,所以直线 l 的方 程为 x+6y=0. 21.2x+y-4=0 和 x+y-3=0. 解析:设直线 l 的横截距为 a,由题意可得纵截距为 6-a.

17.x+2y+5=0. 解析:反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称,故将直线方程中的 y 换成 -y. 三、解答题

5 4 18.①m=- ;②m= . 3 3
解析:①由题意,得

x y ∴直线 l 的方程为 + = 1. a 6-a 1 2 2 ∵点(1,2)在直线 l 上,∴ + = 1 ,a -5a+6=0,解得 a1=2,a2=3.当 a=2 时,直线 a 6-a
的方程为

2m ? 6 =-3,且 m2-2m-3≠0. 2 m ? 2m ? 3
解得 m=-

x y x y ? ? 1 ,直线经过第一、二、四象限.当 a=3 时,直线的方程为 ? ? 1 ,直线经过第 2 4 3 3

5 . 3

一、二、四象限. 综上所述,所求直线方程为 2x+y-4=0 和 x+y-3=0.

m 2 ? 2m ? 3 ②由题意,得 =-1,且 2m2+m-1≠0. 2 m m ? 2 ? 1 4 解得 m= . 3
19.x-2y+5=0.

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