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江苏省南京市第十二中学2015-2016学年高二数学上学期期终考试模拟卷C


南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习 C 卷
姓名 一、填空题: 1.椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 12 的焦距为 . . 成绩

2.命题“若 ? 为锐角,则 sin? ? 0 ”的否命题是 3.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

1 , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f / (1) 的值是 x




4.已知抛物线 C : y ? 2016 x 2 ,则它的准线方程是

/ 5.已知函数 f ( x ) ? sin x ? 2 xf ?( ) ? 1 ,则 f ( ) =

?

?

4

3

. .

6.已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调减区间为

7.直线 x ? 2 y ? 0 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 截得的弦长为等于 8.曲线 y ? 2 ln x ? 1 在点(e,1)处的切线与 y 轴交点的坐标为 9.已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1经过椭圆 圆的离心率 e ? .

. .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点和一个焦点,则此椭 a 2 b2

10.若命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是真命题,则实数 m 的取值范围是



/ 11.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f (5) 的值





x 12. 函数 f ? x ? ? e ? mx 的图象为曲线 C , 若曲线 C 存在与直线 y ?

1 x垂 2

直的切线,则实数 m 的取值范围是



13.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围 是 .

x2 y 2 14.过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , a b
且点 B 在 x 轴上的射影为右焦点 F ,若

1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围 3 2
-1-

是 . 二、解答题: 15.设命题 p :函数 y ? kx ? 1 在 R 上是增函数,命题 q : ?x ? R, x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 , 如果 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求 k 的取值范围.

16.已知三点 P ?

?5 3? 、 B (2,0) 。 , ? ? 、 A (-2,0) ?2 2?

(1)求以 A 、 B 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)求以 A 、 B 为顶点且以(1)中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程.

-2-

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?3,4) , B(9,0) ,若 C , D 分别为线段 OA , OB 上的 动点,且满足 AC ? BD . (1) 若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明: △ OCD 的外接圆恒过定点 (异于原点 O ) . C O
(第 17 题)

y A

D

B x

18.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,异面直线 A1 B 与 B1C1 所
0

成的角等于 60 ,设 AA1 ? a .
0

(1)求 a 的值; (2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小. A1 B1 C1

A BB

C

-3-

x2 y 2 6 19.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l a b 3
与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点 时,弦 AB 的长为

2 6 . 3
(2)若点 E 的坐标为 (

(1)求椭圆 C 的方程;

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 2

3 ,连结点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积。
(3)是否存在点 E ,使得 若不存在,请说明理由.

1 1 ? 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出该定值; 2 EA EB 2
y A

F1 P

O

E

F2

x

B

第 19 题

20.已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a ? R , e 是自然对数的底数) .
x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程并研究函数的极值。 (2)讨论函数的单调性; (3)若对于任意的实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,请比较 e 与 a 的大小.
a e

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习 C 卷 一、填空题: 1.椭圆 3x ? 4 y ? 12 的焦距为 2
2 2



-4-

2.命题“若 ? 为锐角,则 sin? ? 0 ”的否命题是 3.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

. .

1 , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f / (1) 的值是 1 x
1 8064

4.已知抛物线 C : y ? 2016 x 2 ,则它的准线方程是 y ? ?
/ 5.已知函数 f ( x ) ? sin x ? 2 xf ?( ) ? 1 ,则 f ( ) =

?

?

4

3

6.已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调减区间为 7.直线 x ? 2 y ? 0 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 25 截得的弦长为等于 8.曲线 y ? 2 ln x ? 1 在点(e,1)处的切线与 y 轴交点的坐标为 9.已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1经过椭圆 圆的离心率 e ? .

. ? ?1, ? .4 5

? ?

1? 3?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点和一个焦点,则此椭 a 2 b2

1 3

10.若命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”是真命题,则实数 m 的取值范围是 11.如图,函数 y ? f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f / (5) 的值为 __2__.
x 12. 函数 f ? x ? ? e ? mx 的图象为曲线 C , 若曲线 C 存在与直线 y ?

1 x垂 2

直的切线,则实数 m 的取值范围是

. ? 2, ???

13.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是 [1,+∞)

x2 y 2 14.过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , a b
且点 B 在 x 轴上的射影为右焦点 F ,若 是 .( , )

1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围 3 2

1 2 2 3

二、解答题: 15.设命题 p :函数 y ? kx ? 1 在 R 上是增函数,命题 q : ?x ? R, x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 ,

-5-

如果 p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,求 k 的取值范围. 15.解:∵函数 y ? kx ? 1 在 R 上是增函数,∴ k ? 0 , 由 ?x ? R, x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 得方程 x 2 ? (2k ? 3) x ? 1 ? 0 有解,

1 5 或k ? 2 2 q 一真一假, ∵ p ? q 是假命题, p ? q 是真命题,∴命题 p,
∴ ? ? (2k ? 3) 2 ? 4 ? 0 ,解得 k ?

?k ?0 1 5 ? ∴ ?k? ; 5, ?k? 2 2 ? 2 ?2 ?k ? 0 ? ②若 p 假 q 真,则 ? 解得 k ? 0 , 1 5, k ? 或k ? ? 2 2 ? 1 5 综上可得 k 的取值范围为 ( ?? ,0] ? ( , ) 2 2
①若 p 真 q 假,则 ? 1 16.已知三点 P ?

?5 3? 、 B (2,0) 。 , ? ? 、 A (-2,0) ?2 2?

(1)求以 A 、 B 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)求以 A 、 B 为顶点且以(1)中椭圆左、右顶点为焦点的双曲线方程. 解: (1) 2a ? PA ? PB ? 2 10 所以 a ? 10 ,又 c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 6
2 2 2

方程为:

x2 y 2 ? ?1 10 6

(2) a ? 2 , c ? 10 所以 b ? c ? a ? 6
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 双曲线方程为: 4 6

17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?3,4) , B(9,0) ,若 C , D 分别为线段 OA , OB 上的 动点,且满足 AC ? BD . A C O
(第 17 题) -6-

y

D

B

x

(1) 若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明:△ OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O ) . (1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ?

(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,

3 4 5 5

4 5 ??1 由 BD ? 4 ,得 D(5, 0) ,所以直线 CD 的斜率 , 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 . (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m . 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m ,因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4,0) , 又设△ OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ,

1 7

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以△ OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 , 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 , 令?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x+2 y =0

,所以 ?

? x ? 0, ? x ? 2, (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1.

所以△ OCD 的外接圆恒过定点为

(2, ?1) .

18.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ,异面直线 A1 B 与 B1C1 所
0

成的角等于 60 ,设 AA1 ? a .
0

A1 B1
-7-

C1

A

C

(1)求 a 的值; (2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小.

x2 y 2 6 19.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l a b 3
与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A 、 B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点 时,弦 AB 的长为

2 6 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 E 的坐标为 (

3 , 0) ,点 A 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 A 与原点 O 的直线 2

交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积 (3)是否存在点 E ,使得 若不存在,请说明理由.

1 1 ? 为定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出该定值; 2 EA EB 2
y A

c 6 k (k ?0) ,则 c ? 6k ,b2 ? 3k 2 , 解: (1)由 ? ,设 a ? 3 a 3
所以椭圆 C 的方程为

F1 P

O

E

F2

x

x2 y2 ? ? 1, 因直线 l 垂直于 x 轴且点 E 9k 2 3k 2

B

为椭圆 C 的右焦点,即 xA ? xB ? 6k ,代入椭圆方程,解得

第 19 题

y ? ? k ,于是 2k ?

x2 y 2 2 6 6 ? ?1 ,即 k ? ,所以椭圆 C 的方程为 6 2 3 3

x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 ,因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) , (2)将 x ? 3 代入 6 2
由点 E 的坐标为 (

2 3 2 3 , 0) ,所以 k AB ? ,直线 PA 的方程为 y ? (x ? ) , 2 2 3 3

联立直线 PA 与椭圆 C 的方程,解得 B(?

3 7 ,? ), 5 5
-8-

又 PA 过原点 O ,于是 P(? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为 x ? 3 y ? 0 ,

?
所以点 B 到直线 PA 的距离 h ?

3 7 3 ? 5 5 2

?

3 3 , 5

1 3 3 6 3 S?PAB ? ? 4 ? ? 2 5 5
(3)假设存在点 E ,使得

1 1 ? 为定值,设 E ( x0 ,0) , 2 EA EB 2

当直线 AB 与 x 轴重合时,有

12 ? 2 x02 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 ( x0 ? 6)2 ( 6 ? x0 )2 (6 ? x02 )2
1 1 ? ? 2 EA EB 2 2 2(1 ? x0 ) 6
2

当直线 AB 与 x 轴垂直时,

?

6 , 6 ? x0 2



12 ? 2 x0 2 6 6 ,解得 x0 ? ? 3 , ? 2, ? 2 2 2 6 ? x0 2 (6 ? x0 ) 6 ? x0
1 1 ? 为定值 2 2 EA EB 2

所以若存在点 E ,此时 E(? 3,0) ,

根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E ( 3,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组, 化简得 (m2 ? 3) y2 ? 2 3my ? 3 ? 0 ,所以 y1 ? y2 ?

?3 ?2 3m , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3



1 1 1 1 , ? ? 2 2 ? 2 2 2 2 2 EA m y1 ? y1 (m ? 1) y12 ( x1 ? 3) ? y1

所以

( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 (m2 ? 1) y12 (m2 ? 1) y22 (m2 ? 1) y12 y22

1 1 ? ?2. 2 EA EB 2 1 1 ? 综上所述,存在点 E(? 3,0) ,使得 为定值 2 2 EA EB 2
将上述关系代入,化简可得

20.已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a ? R , e 是自然对数的底数) .
x

-9-

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程并研究函数的极值。 (2)讨论函数的单调性; (3)若对于任意的实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,请比较 ea 与 a e 的大小. 解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? e x ? x , f (0) ? 1 所以: f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为: y ? 1

f / ( x) ? e x ? 1 , f / (0) ? 0
由 f / ( x) ? e x ? 1 ? 0 得: x ? 0

当 x ? 0 时, f / ( x) ? e x ? 1 ? 0 , f ( x ) 在 (??,0) 上为减函数; 当 x ? 0 时, f / ( x) ? e x ? 1 ? 0 , f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数; 所以,当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 有极小值 1,无极大值 (2) f '( x) ? e x ? a , 当 a ? 0 时, f '( x) ? e x ? a ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) , 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a , 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (??,ln a) ,单调增区间为 (ln a, ??) . (2)由(1)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ??) 是单调递增,又因为 f ( ) ? e a ? 1 ? 0 ,所 以不成立.
a e x 当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 0 ,此时 e ? a .

1 a

1

当 a ? 0 时 , f ( x)min ? f (ln a) ? eln a ? a ln a ? a ? a ln a ? 0 , 所 以 1 ? ln a ? 0 , 可 得

0 ? a ? e,
考察函数 h( x) ? x ? e ln x, x ? (0, e] ,

( ? ) ? 1? 因 为 h' x

e x

x ? e ? x

, 0所 以 h( x) 在 (0, e] 上 单 调 递 减 , 所 以

h( x) ? h(e) ? e ? e ln e ? 0 ,
x e ln x ? xe ,所以 0 ? a ? e 时, e x ? x e , a ? e 时, e x ? x e . 所以 x ? e ln x ,所以 e ? e a e 综上可知:当 a ? 0 时,e ? a , a e 当 0 ? a ? e 时,e ? a , a e 当 a ? e 时,e ? a .

- 10 -


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