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导数的概念、求导法则


导数与微分
微积分学的创始人:
英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度

(从微观上研究函数)

一、 引例
1. 变速直线运动的速度

设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
f (t0 )
f (t )

f (t ) ? f (t0 ) v? t ? t0
而在 时刻的瞬时速度为

o

t0

t

s

f (t ) ? f (t0 ) v ? lim t ? t0 t ?t0

2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线

y

y ? f (x )

N

割线 M N 的极限位置 M T

x ? x0

C

M
x0

T

o 切线 MT 的斜率=割线MN的斜率的极限

x x

?

f ( x) ? f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan ? ? x ? x0 f ( x) ? f ( x0 ) k ? lim x ? x0 x ? x0

瞬时速度
切线斜率 两个问题的共性:

?y 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .lim ? x ?0 ? x
为函数关于自变量的瞬时变化率的问题

二、导数的定义
定义1 . 设函数 若

在点

的某邻域内有定义 ,

lim f ( x) ? f ( x0 )
x? x0

x ? x0

?y ? lim ? x ?0 ? x
在点 处可导, 并称此极限为

存在, 则称函数
在点

y ? x ? x0

的导数. 记作: d f ( x) ; f ?( x0 ) ; d y ; d x x ? x0 d x x ? x0

若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. ?y 若 lim ? ? , 也称 在 的导数为无穷大 . ? x ?0 ? x

运动质点的位置函数 s ? f (t )
在 t 0时刻的瞬时速度

? f ?(t0 )
曲线 C : y ? f ( x) 在 M 点处的切线斜率

? f ?( x0 )

设y= x ,求f ? (1),f ?(2)

1. 设

存在 , 则 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x ) lim ? ________ . 0 h ?0 h 则

2. 已知 3. 设
解:

k0


存在, 且

1 f (1 ? (? x)) ? f (1) ? lim 2 x ?0 (? x)
所以

4. 设

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) . 存在, 求极限 lim h ?0 2h

解: 原式 ? lim ?
h ?0

f ( x0 ) f ( x0 )

f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) ? 2h

? ?

? lim ?
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? 2(?h)
? f ?( x0 )

1 1 ? f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) 2 2

单侧导数 定义2 . 设函数

在点

的某个右 (左) 邻域内 存在,

有定义, 若极限

?


则称此极限值为

处的右 (左) 导数, 记作

? f ? ( x0 ) ( f ? ( x0 )) ?
定理2.

f ?( x 0 ) 存在 f ?( x 0 ) 不存在

f ??( x0 ) f ??( x0 )

例如, f ( x) ? x 在 x = 0 处有

例:设y=x x ,求f ?(0).
1 ? xarctan ? 例:设f(x)= ? x ?0 ? x? 0 ,求 f ? (0) x?0

若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 若函数 则称
在开区间 在闭区间 内可导, 且 上可导. 与 f ??(b)

此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ? ; f ?(x ) ; dx dx 注意:

f ?( x0 ) ? f ?( x) x ? x0

?

d f ( x0 ) dx

例1. 求函数

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 解: y ? ? lim ? x ?0 ?x
即 例2. 求函数 解: (C 为常数) 的导数. 的导数.

ln( x ? h) ? ln x f ( x ? h) ? f ( x ) ? lim ? lim h ?0 h h ?0 h 1 h 1 ? lim ? ? lim ? h ?0 h x h ?0 h



1 (ln x)? ? x

1 1 ? 1 ?? 四、初等函数的求导问题 (e? x )? ? ?e? x ( x )? ? ? ? ?? 2 x 2 x ? x? 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) ? ?1 (C )? ? 0 ( x ? )? ? ? x

(sin x)? ? cos x (tan x)? ? sec 2 x (sec x)? ? sec x tan x (a x )? ? a x ln a
1 (log a x)? ? x ln a 1

(cos x)? ? ? sin x (cot x)? ? ? csc 2 x (csc x)? ? ? csc x cot x ( e x )? ? e x
1 (ln x)? ? x

1? x 1 (arctan x)? ? 1 ? x2

(arcsin x)? ?

2

1 ? x2 1 (arc cot x)? ? ? 1 ? x2

(arccos x)? ? ?

1

说明:
对一般幂函数 y ? x ? ( ? 为常数)

( x ? )? ? ? x ? ?1
( 例如, x )? ?
1 ( x 2 )?

?

?1 1x 2 ? 1 2 2 x

?
(

1 ? ?1?1 ? ? 1 ?1 ? ? ? (x ) ? ?x 2 x x
1 x x
3 7 ? ?3 ?4 )? ? ( x 4 )? ? x

4

四、 导数的几何意义
曲线
若 若 若 若 在点

y

y ? f (x )

的切线斜率为
C

tan ? ? f ?( x0 )
曲线过 曲线过 上升; 下降;

M
x0

T

o ? y

x

切线与 x 轴平行, 切线与 x 轴垂直 .

称为驻点;
o
y

( x0 , y0 )
x0

? x

曲线在点
切线方程:

处的
o
x0

x

法线方程:

( f ?( x0 ) ? 0 )

例7. 问曲线 的切线与直线 解:

哪一点有垂直切线 ? 哪一点处

平行 ? 写出其切线方程.

1 ?2 ? x 3 3

? y? x ?0 ? ? ,

故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 1 1 1 令 3 2 ? , 得 x ? ?1 , 对应 y ? ?1 , 3 x 3 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为



第二节函数的求导法则
一、四则运算求导法则
二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题

一、四则运算求导法则
定理1. 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且

(v( x) ? 0)

此法则可推广到任意有限项的情形.

( uvw )? ? u?vw ? uv?w ? uvw?
推论: 1) ( C u )? ? C u ? ( C为常数 )

C ? ?C v? 2) ? ?? 2 v v

( C为常数 )

例1. y ? x ( x ? 4 cos x ? sin 1) ,
3

? ( x 3 ? 4 cos x ? sin 1) 解: y ? ? ( x )

? x ( x ? 4 cos x ? sin 1)?
3

2 x 1 y ? x ?1 ? (1? 4 cos 1? sin 1) ? ( 3 ? 4 sin 1) 2 7 7 ? ? sin 1 ? 2 cos 1 2 2

?

1

( x 3 ? 4 cos x ? sin 1) ? x ( 3 x 2 ? 4 sin x )

例2. 求证

? ? sin x ? (sin x)? cos x ? sin x (cos x)? 证: (tan x)? ? ? ?? cos 2 x ? cos x ?

cos 2 x ? sin 2 x ? sec 2 x ? cos 2 x ? ? cos x ? 1 ? ? (sin x)? ? (csc x)? ? ? ? ? 2 2 ? sin x ? sin x sin x

? ? csc x cot x

二、反函数的求导法则
( y ) 的反函数 , f ( y ) 在 y 的某邻域内单调可导, 且 [ f ?1 ( y )]? ? 0 d y 1 f ?( x) ? ?1 或 ? d1x dx [ f ( y )]?
例1. 求反三角函数的导数. 解: 设 则
d y

定理2. 设 y ? f ( x) 为 x ? f

?1

?1

y ? (?
1

?
2

,

?
2

),

? cos y ? 0 , 则
1 ? ? (sin y )? cos y

1 ? sin 2 y

三、复合函数求导法则
定理3. 可导 在点 x 可导, 在点 复合函数 在点 x 可导, 且 dy ? f ?(u ) g ?( x) dx
? ? ln x

例2. 求下列导数:
解: (1) ( x )? ? (e

)?

? ( ? ln x)?

?

?
x

? ? x ? ?1
(2) ( x x )? ? (e x ln x )?

? ( xln x)? ? x x ( ln x ? 1)

e x ? e? x ? e x ? e? x ? ch x (3) (sh x)? ? ? ?? 2

推广:此法则可推广到多个中间变量的情形.

例如,

y
d y d y d u dv ? ? ? d x d u dv d x

u v x

? f ?(u ) ? ? ?(v) ? ? ?( x)

关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.

例3. 设
解:



1 x x ? x ? ( ? sin( e )) ? e cos( e )

? ?e x tan(e x )
例4. 设
解:

1 x ? x2 ?1 ? 1 x2 ?1

?? 1?

1 2 x ?1
2

? 2x

?

练习题
一、 填空题: 1、 设 y ? x ? sin x ,则 y ? = __________. 2 dy x x 2、 设 y ? 3a ? e ? ,则 =__________. x dx dy x 2 3、 设 y ? e ( x ? 3 x ? 1) ,则 = __________. dx x ? 0 4、 设 y ? 2 tan x ? sec x ? 1 ,则y ? =_________. 3 x2 ? 5、 设 y ? f ( x ) ? ,则 f ? ( 0 ) =________. 5? x 5 ? y ? ? sin x 在 x ? 0 处的切线与 x 轴 正向的夹 6、 曲线 2 角为_________.

练习题
二、 计算下列各函数的导数:

1 10 x ? 1 1、 y ? ;2、 y ? ; 2 x 1? x ? x 10 ? 1 2 csc x 1? t 3、 y ? ; 4、 f ( x ) ? ,求 f ?(4) ; 2 1? t 1? x x a b ?a? ? b? ? x? 5、 y ? ? ? ? ? ? ? (a ? 0, b ? 0) . ?b? ? x? ? a ?
三、 求抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 上具有水平切线的点.


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