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炎德英才大联考·长沙一中2015届高三月考试卷(二)理科数学(学生版)


炎德英才大联考〃长沙一中 2015 届高三月考试卷(二) 数
求的。 )

学(理科)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
1、已知集合 M= x y ? 3x ? 1 ,N= x y ? log 2 x ? 2 x

?

r />
?

?

?

2

?? ,则 M

N=(



?1 1 ? ? ?3 2 ? ? 1? C、 ?0, ? ? 2?
A、 ? ,
2 2、命题: “ ? x ? R ,使 x ? 4 x ? 1 ? 0 ”的否定是(

B、 ? ??, ? ?

1 ? ?1 ? , ?? ? ? 3? ?2 ? ?1 ? D、 ? ??,0? ? , ?? ? ?2 ?


? ?

A、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0
2
2 C、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0

2 B、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0
2 D、 ? x ? R , x ? 4 x ? 1 ? 0

?x ? y ?1 ? 0 ? 3、若实数 x, y 满足: ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A、0 B、1 C、 3



D、2 )
开始

4、已知向量 a ? ?1,1 ? cos ? ? , b ? ?1 ? cos ? , ? ,且 a ∥ b ,则锐角 ? =( A、 30 C、 60

? ? B、 45 D、 75

1? 2?

S=0, i=1 ) S=S+i2 i=i+1 i>4?
是 输出 S 结束 否

5、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A、14 B、20 C、30 D、55 6、已知 0 ? a ? b ,且 a ? b ? 1 ,则下列不等式正确的是( A、 log2 a ? 1 B、 log2 a ? log2 b ? ?2 C、 log2 ? b ? a ? ? 0 D、 log 2 ? )

?b a? ? ? ?1 ?a b? 7、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a2 ? a ( a ? 1 ) , an?2 ? an?1 ? an ,
当 a4 ? 1 时, a10 的值为( A、0 B.1 ) C、0 或 1 D、 ?1

8、将 5 名同学分到甲、乙、丙三个小组,若甲组至少两人,乙、丙两组每组至少一人,则不同的分配方案 共有( )种 A、80 种 B、120 种 C、140 种 D、50 种 9、正方形 ABCD 的边长为 a,依次连结正方形各边中点得到一个新 正方形,再依次连结新正方形各边中点又得到一个新正方形,??, 依次得到一系列的正方形,如图所示。 现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每 遇到新正方形的顶点时,沿这个新正方形的边逆时针爬行,如此下去, 爬行了 10 条线段。则这 10 条线段长度的平方和为( ) A、
D C

1023 2 a 2048

B、

1023 2 a 768

A

B

-1-

C、

511 2 a 1024

D、

2047 2 a 4096

10、已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ,函数 g ? x ? ? m cos ? 2 x ?

? ?

??

,若 ? x1 ? ? ? 2m ? 3 ( m ? 0 ) 6?

? ?? ? ?? ) 0, ? ,总 ? x2 ? ?0, ? ,使得 g ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立,则实数 m 的取值范围为( ? ? 4? ? 4? ?2 4? ? 4? ?3 ? A、 ?1, 2? B、 ?1, ? C、 ? , 2 ? D、 ? , ? ?3 3? ? 3? ?2 ?
请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置: 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 ) 11、已知复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 2 (其中 i 为虚数单位) ,则 z = ;
3 12、在 ?1 ? ax ? ?1 ? x ? 的展开式中, x 项的系数为 ?16 ,则实数 a 的值为
2 6



13、向平面区域 ? ? ?? x, y ? ?

? ?

?
4

?x?

?

? ,0 ? y ? 1 ? 内随机投掷一点,则该点落在曲线 y ? cos 2 x 下方的概率 4 ?





14、已知 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,若 AB ? 2 , AC ? 3 , 则△ABC 的外接圆的面积为 ;
1

15、设 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 2 x 2 ;函数 g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 则: (1)函数 g ? x ? 的零点个数为 ; (2)若实数 a 是函数 g ? x ? 的正零点,则 f ? ?2? 与 f ? a ? 的大小关系为

2 。 x


三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c,若 m = ? cos B,sin C ? ,

n = ? cos C, ? sin B? ,且 m ? n ?
(Ⅰ)求 A;

1 。 2

(Ⅱ)若 a ? 2 3 ,三角形的面积 S ? 3 ,求 b ? c 的值。

-2-

17、 (本小题满分 12 分)国家统计局对某门户网站的访问量与广告收益进行统计评估,从该网站近三年中随机 抽取 100 天,访问量的统计结果(单位:万次)如表所示: 访问量 频 数 500 50 600 30 700 20

(Ⅰ)根据上表的统计结果,求访问量分别为 500 万次,600 万次,700 万次的频率; (Ⅱ)已知每 100 万次的访问量能使该网站获得广告收益 5 万元,用 ? 表示该网站两天的广告收益(单位: 万元) ,假设每天的访问量相互独立,求 ? 的分布列和数学期望。

2 2 3 n ? 2) 18、 (本小题满分 12 分)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a1 ? 1 , Sn 。 ? Sn ?1 ? an (

(Ⅰ )求证数列 ?an ? 为等差数列,并求出其通项公式;

(Ⅱ )对于数列 ?an ? ,在每两个 ak 与 ak ?1 之间都插入 k ( k ? N? )个 2,使数列 ?an ? 变成一个新数列 ?tm ? , 数列 ?tm ? 的前 m 项和为 Tm ,若 Tm ? 2014 ,求 m 的最小值。

19、 (本小题满分 13 分)今年暑假期间有一个自驾游车队,组织车友前往青海游玩。该车队是由 31 辆车身长 都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的速度不能超 过 20m/s) ,匀速通过该隧道,设车队速度为 x m/s,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 12 时,相邻两车之间保 持 20m 的距离,当 12 ? x ? 20 时,相邻两车之间保持 ?

?1 2 1 ? x ? x ? m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至第 3 ? ?6

31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y (s) 。 (Ⅰ )将 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ )求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。

-3-

20、 (本小题满分 13 分)如图,已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) ,圆 C2 与 y 轴相切,其圆心是抛物线的 焦点,点 M 是抛物线的准线与 x 轴的交点,点 N 是圆 C2 上的任意一点,且线段 MN 长度的最大值为 3,直线 l 过抛物线 C1 的焦点,与 C1 交于 A、D 两点,与 C2 交于 B、C 两点。 (Ⅰ )求 C1 与 C2 的方程; (Ⅱ )是否存在直线 l,使得 kOA ? kOB ? kOC ? kOD ? 3 2 (其中 O 为坐标原点) ,且 AB , BC , CD 依次成 等差数列?若存在,求出所有满足条件的直线 l;若不存在,请说明理由。

y A B N M O C D F x

2 ?x 21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ? 。 ? x ? ?1 ? t ? x ? 1? ? e ( t ? R , e 是自然对数的底)

(Ⅰ )若对于任意 x ? ? 0,1? ,曲线 y ? f ? x ? 恒在直线 y ? x 上方,求实数 t 的最大值;

(Ⅱ)是否存在实数 a, b, c ??0,1? ,使得 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在, 说明理由。

-4-


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