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构造函数 之专题训练


SLY

“构造函数”之专题训练
一、选择题 1.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(x)>0,且 2f(x)<xf′(x)<3f(x) 对 x∈(0,+∞)恒成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,则( ) A.16< (2)<8
(0) 1 (1) 1

B.8< (2)<4

1

(1)

1

C.4< (2)<3

1

(1)

1

D.3< (2)<2 )

1

(1)

1

2.已知函数 f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是( A.(1)> B.(2)<
(0)

C.(1)> (2) D.f(0)>e2f(4) 3.若函数 f(x)满足 f′(x)-f(x)=2xex,f(0)=1,其中 f′(x)为 f(x)的导函 数,则当 x>0 时,
′( ) ( )

的最大值为(



A. 2 B.2 C.2 2 D.4 4.己知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)=f(4-x) ,且当 x≠2 时,其导函数 f′ (x)满足 f′(x)>2xf′(x) ,若 a∈(2,3) ,则( A.f(log2a)<f(2a)<f(2) C.f(2a)<f(log2a)<f(2)
1



B.f(2a)<f(2)<f(log2a) D.f(2)<f(log2a)<f(2a)
′( )? ( ) 2

5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(2)=0,当 x>0 时,有 则
( )

<0 恒成立,

>0的解集为(



A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 6.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,其导函数为 f′(x) ,当 x>0 时,xf′(x)-f(x) <0,且 f(-1)=0,则使得 f(x)<0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,1)∪(0,1) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,0) 7.已知偶函数 f(x) (x≠0)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(1)=0,当 x>0 时,xf′ (x)<2f(x) ,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 8.已知定义域为 R 的奇函数 y=f (x) 的导函数为 y=f′ (x) , 当 x≠0 时, f′ (x) + a=3 (3),b=-3f(-3) ,c=( 3)( 3),则 a,b,c 的大小关系正确的是(
1 1 1 1 ( )

>0, 若 )

A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 9.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f′(x)<1,则不等式 f(1g2x)<1g2x 的解集为( ) A.(0, 10 ) B.(10,+∞) C.(10 ,10) D.(0, 10) ∪ (10, + ∞) 10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f′(x)<e,f(0)=e+2(其中 e 为自然对 数的底数) ,则不等式 exf(x)>ex+1+2 的解集为( ) A.(-∞,0) B.(-∞,e+2) C.(-∞,0)∪(e+2,+∞) D.(0,+∞)
1 1 1

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11.设函数 ( f x) 的导函数为 f′ (x) , 对任意 x∈R 都有 xf′ (x) <f (x) 成立, 则 ( ) A.3f(2)>2f(3) B.3f(2)=2f(3) C.3f(2)<2f(3) D.3f(2)与 2f(3)的大小不确定. 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数, 都有 f(x)>f′(x) ,其中 e 为自然对数的底数,则( ) A.ef(2015)>f(2016) B.ef(2015)<f(2016) C.ef(2015)=f(2016) D.ef(2015)与 f(2016)大小关系不确定 13.设函数 f′(x)的偶函数 f(x) (x∈R 且 x≠0)的导函数,f(2)=0 且当 x>0 时, xf′(x)-f(x)>0,则使 f(x)<0 成立的 x 的取值范围为( ) A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,0)∪(0,2) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 14.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f (1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f (1) 15.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2015,对任意的 x∈R.都有 f′(x)<3x2 成 立,则不等式 f(x)<x3+2016 的解集为( ) A.(-1,+∞) B.(-1,0) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 16.已知函数 y=f(x) (x∈R)的图象过点(1,0) ,f′(x)为函数 f(x)的导函数,e 为自然对数的底数,若 x>0,xf′(x)>1 下恒成立,则不等式 f(x)≤lnx 的解集为 ( ) A.(0, ]
1

B.(0,1]

C.(0,e]

D.(1,e]

17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数 f(x) ,其导函数为 f′(x) ,对任意正实数 x 满足 xf′(x)>-2f(x) ,若 g(x)=x2f(x) ,则不等式 g(x)<g(1-x)的解集是( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-∞,0)∪(0,2) D.(0,2) 18.已知函数 y=f(x)定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时 xf′(x)< -f (x) 成立 (其中 f′ (x) 是f (x) 的导函数) , 若 a= 3f ( 3) , b=f (1) , c=-2f (log24) , 则 a,b,c 的大小关系是( A.c>a>b B.c>b>a ) C.a>b>c D.a>c>b
1 1 1 1 1

19.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)使不等式 2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成 立,其中 f′(x)为 f(x)的导数,则( ) A.8< (1)<16 B.4< (1)<8 C.3< (1)<4 D.2< (1)<3 20.已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f′(x)>f(x) ,则下 列结论正确的是( ) A.f(1)>ef(0) B.f(1)<ef(0) C.f(1)>f(0) D.f(1)<f(0) 21.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, f(-1) =-1, 且当 x>0 时, 有 xf′ (x) >f (x) , 则不等式 f(x)>x 的解集是( ) A.(-1,0) B.(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C
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(2) (2) (2) (2)

15.

SLY

“构造函数”之专题训练
答案和解析
【答案】 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C 【解析】 1. 解:令 g(x)=
( ) 2

15.

,x∈(0,+∞) , g′(x)=

′( )?2 ( ) 3



∵? x∈(0,+∞) ,2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立, ∴f(x)>0, 0<
′( )?2 ( ) 3



∴g′(x)>0, ∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增, ∴
(1) 1



(2) 4

,∴ (2)<4.
( ) 3

(1)

1

令 h(x)= h′(x)=

,x∈(0,+∞) ,
4

′( )?3 ( )



∵? x∈(0,+∞) ,2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立, ∴h′(x)=
′( )?3 ( ) 4

<0,

∴函数 h(x)在 x∈(0,+∞)上单调递减, ∴
(1) 1



(2) 8

,∴8< (2).
1 (1) 1

1

(1)

综上可得:8< (2)<4, 故选:B. 分别构造函数 g(x)=
( ) 2

,x∈(0,+∞) ,h(x)=

( ) 3

,x∈(0,+∞) ,利用导数

研究其单调性即可得出. 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 2. 解:∵f(x)+2f′(x)>0, 可设 f(x)= 2 , ∴f(1)= ,f(0)=e0=1, ∴f(1)> 故选:A. 根据题意可设 f(x)= 2 ,然后代入计算判断即可. 本题主要考查了初等函数的导数运算公式,关键是构造函数,属于基础题. 3. 解:由题意, (
( )
1 1

(0)



)′=2x,

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( )

=x2+b,

∴f(x)=(x2+b)ex, ∵f(0)=1,∴b=1, ∴f(x)=(x2+1)ex, f′(x)=(x+1)2ex, ∴当 x>0 时, ∴当 x>0 时,
′( ) ( )

=1+ 2 +1≤2,当且仅当 x=1 时取等号, 的最大值为 2.

2

′( ) ( )

故选:B. 利用函数 f(x)满足 f′(x)-f(x)=2xex,f(0)=1,求出 f(x) ,再代入利用基本 不等式即可得出结论. 本题考查导数知识的运用, 考查基本不等式, 考查学生的计算能力, 确定 f (x) 是关键. 4. 解:∵定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)=f(4-x) , ∴函数 f(x)关于 x=2 对称, 由 f′(x)>2xf′(x) , 得(x-2)f′(x)<0, 则 x>2 时,f′(x)<0,此时函数单调递减, 当 x<2 时,f′(x)>0,此时函数单调递增. ∴当 x=2 时,f(x)取得极大值,同时也是最大值. 若 a∈(2,3) , 则 4<2a<8,1<log2a<2, ∴2<4-log2a<3, ∴2<4-log2a<2a, 即 f(2)>f(4-log2a)>f(2a) , a 即 f(2 )<f(log2a)<f(2) , 故选:C 根据条件得到函数关于 x=2 对称,由 f′(x)>2xf′(x) ,得到函数的单调性,利用 函数的单调性和对称轴即可得到结论. 本题主要考查函数单调性和对称性的应用, 利用导数和函数单调性的关系是解决本题的 关键,综合考查函数性质的应用. 5. 解:设 g(x)=
( ) 1 1

,f(x)是 R 上的奇函数,∴g(x)为偶函数;

x>0 时,′() =

′( )? ( ) 2

<0;

∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,g(2)=0; ∴由 g(x)>0 得,g(x)>g(2) ; ∴g(|x|)>g(2) ; ∴|x|<2,且 x≠0; ∴-2<x<0,或 0<x<2; ∴
( )

>0的解集为(-2,0)∪(0,2) .

故选:B. 可设 g(x)=
( )

,根据条件可以判断 g(x)为偶函数,并可得到 x>0 时,g′(x)
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<0,从而得出 g(x)在(0,+∞)上单调递减,并且 g(2)=0,从而由 g(x)>g (2)便可得到|x|<2,且 x≠0,这样即可得出原不等式的解集. 考查奇函数、偶函数的定义,根据导数符号判断函数单调性的方法,根据函数单调性解 不等式的方法,知道偶函数 g(x)>g(2)等价于 g(|x|)>g(2) . 6. 解:设 g(x)=
( )

,则 g′(x)=

′( )? ( ) 2



∵当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0, ∴当 x>0 时,g′(x)<0,此时函数 g(x)为减函数, ∵f(x)是奇函数,∴g(x)=
( )

是偶函数,

即当 x<0 时,g(x)为增函数. ∵f(-1)=0,∴g(-1)=g(1)=0, 当 x>0 时,f(x)<0 等价为 g(x)= 当 x<0 时,f(x)<0 等价为 g(x)=
( )

<0,即 g(x)<g(1) ,此时 x>1, >0,即 g(x)>g(-1) ,此时-1<x<0,

( )

综上不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞) , 故选:A 根据条件构造函数 g(x)=
( )

,求函数的导数,判断函数的单调性和奇偶性,将不等

式进行转化求解即可. 本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,利用导数研究函数的单调性,以及将 不等式进行转化是解决本题的关键. 7. 解:根据题意,设函数() = 当 x>0 时,′() =
( ) 2



′( )??2? ( ) 3

<0,

所以函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减, 又 f(x)为偶函数, 所以 g(x)为偶函数, 又 f(1)=0,所以 g(1)=0, 故 g(x)在(-1,0)∪(0,1)的函数值大于零, 即 f(x)在(-1,0)∪(0,1)的函数值大于零. 故选:D. 构造函数设函数() =
( ) 2

,利用导数得到,g(x)在(0,+∞)是增函数,再根据 f

(x)为偶函数,根据 f(1)=0,解得 f(x)>0 的解集. 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性,考查了构造函数及数形结合的思想.解决本题 的关键是能够想到通过构造函数解决. 8. 解:定义域为 R 的奇函数 y=f(x) , 设 F(x)=xf(x) , ∴F(x)为 R 上的偶函数, ∴F′(x)=f(x)+xf′(x) ∵当 x≠0 时,f′(x)+
( )

>0.

∴当 x>0 时,x?f′(x)+f(x)>0, 当 x<0 时,x?f′(x)+f(x)<0, 即 F(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减.
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F(3)=a=3f(3)=F(ln3) ,F(-3)=b=-3f(-3)=F(3) ,F(ln3)=c=(ln3)f (ln3)=F(ln3) , ∵ln3<ln3<3, ∴F(ln3)<F(ln3)<F(3) . 即 a<c<b, 故选:B. 根据式子得出 F(x)=xf(x)为 R 上的偶函数,利用 f′(x)+
( ) 1

1

1

1

1

1

>0.当 x>0 时,

x?f′(x)+f(x)>0;当 x<0 时,x?f′(x)+f(x)<0,判断单调性即可证明 a, b,c 的大小. 本题考查了导数在函数单调性的运用,根据给出的式子,得出需要的函数,运用导数判 断即可,属于中档题. 9. 解:设 g(x)=f(x)-x, 则函数的导数 g′(x)=f′(x)-1, ∵f′(x)<1, ∴g′(x)<0, 即函数 g(x)为减函数, ∵f(1)=1, ∴g(1)=f(1)-1=1-1=0, 则不等式 g(x)<0 等价为 g(x)<g(1) , 则不等式的解为 x>1, 即 f(x)<x 的解为 x>1, ∵f(1g2x)<1g2x, ∴由 1g2x>1 得 1gx>1 或 lgx<-1, 解得 x>10 或 0<x<10, 故不等式的解集为(0, 10) ∪ (10, + ∞), 故选:D 构造函数 g(x)=f(x)-x,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性,求出不等式 f(x)<x 的解为 x>1,即可得到结论. 本题主要考查不等式的求解,构造函数,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的 关系是解决本题的关键. 10. 解:设 g(x)=exf(x)-ex+1-2(x∈R) , 则 g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex+1=ex[f(x)+f′(x)-e], ∵f(x)+f′(x)<e, ∴f(x)+f′(x)-e<0, ∴g′(x)<0, ∴y=g(x)在定义域上单调递减, ∵f(0)=e+2, ∴g(0)=e0f(0)-e-2=e+2-e-2>0, ∴g(x)>g(0) , ∴x<0, ∴不等式的解集为(0,+∞) 故选:A. 构造函数 g(x)=exf(x)-ex+1-2(x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质
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1 1

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和函数值,即可求解. 本题考查函数的导数与单调性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的 单调性是解题的关键. 11. 解:设函数 y=
( )

,则 y′=

′( )? ( ) 2



∵xf′(x)<f(x) ,∴y′<0, 可得 y= ∴
(3) 3 ( )

对任意 x∈R,函数 y 是减函数,



(2) 2



可得 3f(2)>2f(3) . 故选:A. 构造函数,利用函数的单调性判断即可. 本题考查函数的单调性的判断与应用, 构造函数, 求解导函数判断单调性是解题的关键. 12. 解:令 g(x)= 则 g′(x)=
( )

,由题意,

′( )? ( )

<0,

从而 g(x)在 R 上单调递减, ∴g(2016)<g(2015) . 即
(2016) 2016



(2015) 2015



∴e2015f(2016)<e2016f(2015) , 即 ef(2015)<f(2016) , 故选:A. 造函数 g(x)=
( )

,通过求导判断其单调性,从而确定选项.

本题是构造函数的常见类型, 大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函 数,形式灵活多变,考生需要多看多做多总结,才容易掌握此题型. 13. 解:令 g(x)= ∴g′(x)=
2 ( )

, ,

′( )? ( )

∵x>0 时,xf′(x)-f(x)>0, ∴x>0 时,g′(x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数, ∵f(2)=0, ∴g(2)=
(2) 2

=0,

当 0<x<2, g(x)<g(2)=0,即 f(x)<0, 当 x>2 时,g(x)>g(2)=0,即 f(x)>0, ∵f(x)是偶函数, ∴当-2<x<0,f(x)<0, 故不等式 f(x)<0 的解集是(-2,0)∪(0,2) , 故选:B. 构造函数 g(x)=
( )

,利用导数得到,g(x)在(0,+∞)是增函数,再根据 f(x)
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为奇函数,根据 f(2)=0,解得 f(x)<0 的解集. 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性,考查了构造函数及数形结合的思想.解决本题 的关键是能够想到通过构造函数解决. 14. 解:∵(x-1)f′(x)≥0, ∴当 x≥1 时,f′(x)≥0, 当 x<1 时,f′(x)≤0; 故 f(x)在(-∞,1)上不增, 在[1,+∞)上不减, 故 f(0)≥f(1) ,f(2)≥f(1) ; 故 f(0)+f(2)≥2f(1) , 故选 C. 由题意,当 x≥1 时,f′(x)≥0,当 x<1 时,f′(x)≤0;从而可得 f(x)在(-∞, 1)上不增,在[1,+∞)上不减,故 f(0)≥f(1) ,f(2)≥f(1) ;从而可得. 本题考查了导数的综合应用,属于中档题. 15. 解:令 g(x)=f(x)-x3-2016, g′(x)=f′(x)-3x2, ∵对任意的 x∈R.都有 f′(x)<3x2 成立, ∴对任意的 x∈R,g′(x)<0, ∴g(x)=f(x)-x3-2016 在 R 上是减函数, 且 g(-1)=f(-1)+1-2016=2015+1-2016=0, 故不等式 f(x)<x3+2016 的解集为(-1,+∞) , 故选:A. 令 g(x)=f(x)-x3-2016,求导 g′(x)=f′(x)-3x2,从而确定不等式的解集. 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用. 16. 解:构造函数 g(x)=f(x)-lnx(x>0) ,则 g′(x)=f′(x)- =
1 ′( )?1

>0,

∴g(x)=f(x)-lnx 在(0,+∞)上单调递增, ∵f(x)≤lnx, ∴g(x)≤0=g(1) , ∴0<x≤1, 故选:B. 构造函数 g(x)=f(x)-lnx(x>0) ,确定 g(x)=f(x)-lnx 在(0,+∞)上单调递 增,f(x)≤lnx,化为 g(x)≤0=g(1) ,即可得出结论. 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,正确构造函数是关键. 17. 解:∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数, ∴f(-x)=f(x) . 对任意正实数 x 满足 xf′(x)>-2f(x) , ∴xf′(x)+2f(x)>0, ∵g(x)=x2f(x) , ∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0. ∴函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴g(x)在(-∞,0)递减; 由不等式 g(x)<g(1-x) , >0 <1 ? <0 > ? 1

∴ 1 ? >0或 ? 1<0,

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解得:0<x<2,或 x<0∴不等式 g(x)<g(1-x)的解集为:{x|0<x<2或 x<0}. 故选:C. f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,可得:f(-x)=f(x) ,对任意正实数 x 满足 xf′ (x)>2f(-x) ,可得:xf′(x)+2f(x)>0,由 g(x)=x2f(x) ,可得 g′(x)> 0.可得函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增.即可得出. 本题考查了函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. 解:当 x∈(-∞,0)时,xf′(x)<-f(x) , 即 xf′(x)+f(x)<0, ∴[xf(x)]′<0, ∴令 F(x)=xf(x) , 由函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 F(x)为偶函数, 且在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数, 由 c=-2f(log24)=-2f(-2)=2f(2)=g(2) , a= 3f( 3)=g( 3) ,b=f(1)=g(1) , 由 1< 3<2,可得 b<a<c. 故选:A. 由 f(x)为奇函数得到 f(-x)=-f(x) ,有 xf′(x)+f(x)<0,由导数的积的运算 得到[xf(x)]′<0,令 F(x)=xf(x) ,则 F(x)为偶函数,且在(-∞,0)上是减 函数,在(0,+∞)上是增函数,由 c=-2f(-2)=2f(2)=g(2) ,a= 3f( 3)=g ( 3) ,b=f(1)=g(1) ,即可得到所求大小关系. 本题主要考查函数的性质及应用,考查奇偶函数的定义及应用,函数的单调性及应用, 以及应用导数的运算法则构造函数的能力,是函数的综合题. 19. 解:令 g(x)= 则 g′(x)=
( ) 3 1

1

1

, =
′( )?3 ( ) 4

′( )? 3 ?3 2 ( ) 6



∵xf′(x)<3f(x) ,即 xf′(x)-3f(x)<0, ∴g′(x)<0 在(0,+∞)恒成立, 即有 g(x)在(0,+∞)递减,可得 g(2)<g(1) ,即
(2) 8



(1) 1


(2)

由 2f(x)<3f(x) ,可得 f(x)>0,则 (1)<8; 令 h(x)=
( ) 2

,h′(x)=

′( )? 2 ?2 ( ) 4

=

′( )?2 ( ) 3



∵xf′(x)>2f(x) ,即 xf′(x)-2f(x)>0, ∴h′(x)>0 在(0,+∞)恒成立, 即有 h(x)在(0,+∞)递增,可得 h(2)>h(1) ,即 即有 4< (1)<8. 故选:B. 令 g(x)=g(x)=
( ) 3 (2) (2) 4

>f(1) ,则 (1)>4.

(2)

,h(x)=

( ) 2

,求出 g(x) ,h(x)的导数,得到函数 g(x) ,

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h(x)的单调性,可得 g(2)<g(1) ,h(2)>h(1) ,由 f(1)>0,即可得到 4 < (1)<8. 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造 g(x)=
( ) 3 (2)

,h(x)=

( ) 2

,求

出 g(x)和 h(x)的导数,得到函数 g(x)和 h(x)的单调性是解题的关键,本题是 一道中档题. 20. 解:令 g(x)= 则 g′(x)=
( )

, =
′( )? ( )

′( )? ? ( )? 2



∵f′(x)>f(x) , ∴g′(x)>0,g(x)递增, ∴g(1)>g(0) ,即 ∴f(1)>ef(0) , 故选:A. 令 g(x)=
( ) (1)



(0) 0



,利用导数及已知可判断该函数的单调性,由单调性可得答案.

该题考查利用导数研究函数的单调性,由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在. 21. 解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 令 g(x)=
( )

,∴g(x)为偶函数,

又当 x>0 时,xf′(x)>f(x) , ∴g′(x)=
′( )?? ( ) 2

>0;

∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数; 又 f(-1)=-1,∴f(1)=1,g(1)=1; 当 x>0 时,∵不等式 f(x)>x, ∴
( )

>1,即 g(x)>g(1) ,

∴有 x>1; 当 x<0 时,∵不等式 f(x)>x, ∴
( )

<1,即 g(x)<g(-1) ,

∴有-1<x<0; 当 x=0 时,f(0)=0,不等式 f(x)>x 不成立; 综上,不等式 f(x)>x 的解集是(-1,0)∪(1,+∞) . 构造函数 g(x)=
( )

,根据题意得出 g(x)为偶函数,且 x>0 时,g′(x)>0,g

(x)是增函数; 讨论 x>0、x<0 和 x=0 时,不等式 f(x)>x 的解集情况,求出解集即可. 本题考查了函数奇偶性的应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,考查了构造函 数的应用问题以及分类讨论的应用问题,是综合性题目.

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