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2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)用样本估计总体


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用样本估计总体

[知识能否忆起] 一、作频率分布直方图的步骤 1.求极差(即一组数据中最大值与最小值的差). 2.确定组距与组数. 3.将数据分组. 4.列频率分布表. 5.画频率分布直方图. 二、频率分布折线图和总体密度曲线 1.频率分布折线图:连接频率分布直方

图中各小长方形上端的中点,就得频率分布折 线图. 2.总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的 频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 三、样本的数字特征 数字特征 众数 定 义

在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据?或最中间两个数

中位数

据的平均数?叫做这组数据的中位数,在频率分布直方图中,中位数左边和右边 的直方图的面积相等

平均数

1 样本数据的算术平均数.即 x = (x1+x2+?+xn) n 1 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2], n 其中 s 为标准差

方差

四、茎叶图 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录,方便记录与表示. [小题能否全取]

1 2 3

2 0 0

4 3 1 5 1 6

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4

1

2 )

1.(教材习题改编)在如图所示的茎叶图表示的数据中,众数和中位数分别是( A.23 与 26 C.24 与 30 B.31 与 26 D.26 与 30

解析:选 B 观察茎叶图可知,这组数据的众数是 31,中位数是 26. 2.(教材习题改编)把样本容量为 20 的数据分组,分组区间与频数如下:[10,20),2; [20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2,则在区间[10,50)上的数据的频 率是( ) B.0.25 D.0.7

A.0.05 C.0.5

14 解析:选 D 由题知,在区间[10,50)上的数据的频数是 2+3+4+5=14,故其频率为 20 =0.7. 3.(2012· 长春模拟)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘 制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )

A.20 C.30

B.25 D.35

解析:选 C 由题意知 a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1, 则 a=0.03,故学生人数为 0.3×100=30. 4.(教材习题改编)甲、乙两人比赛射击,两人所得的平均环数相同,其中甲所得环数 的方差为 5,乙所得环数如下:5、6、9、10、5,那么这两人中成绩较稳定的是________. 解析: x =7,s2 =4.4, 乙
2 则 s甲>s2 ,故乙的成绩较稳定. 乙

答案:乙 5.(2012· 山西大同)将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组,绘制频率分布直方图,若第 一组至第六组的数据的频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和为 27,则 n=________. 2+3+4 9 27 9 解析:依题意得,前三组的频率总和为 = ,因此有 = ,即 n= n 20 2+3+4+6+4+1 20 60.

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答案:60 1.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数 的值, 而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和,众数是最高的矩形的中点的横坐标. 2.注意区分直方图与条形图,条形图中的纵坐标刻度为频数或频率,直方图中的纵坐 标刻度为频率/组距. 3.方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,虽然方差与标准差 在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

用样本的频率分布估计总体分布

典题导入 [例 1] (2012· 广东高考)某校 100 名学生期中考试语文 成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图, 估计这 100 名学生语文成绩的 平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数 学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 x∶y [50,60) 1∶1 [60,70) 2∶1 [70,80) 3∶4 [80,90) 4∶5

[自主解答] (1)由频率分布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1,解得 a=0.005. (2) 由 频 率 分 布 直 方 图 知 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 为 55×0.005×10 + 65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73(分). (3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)各分数段的人数依 次为 0.005×10×100=5,0.04×10×100=40,0.03×10×100=30,0.02×10×100=20. 1 4 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 5,40× =20,30× = 2 3

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5 40,20× =25. 4 故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100-(5+20+40+25)=10.

在本例条件下估计样本数据的众数. 解:众数应为最高矩形的中点对应的横坐标,故约为 65.

由题悟法 解决频率分布直方图问题时要抓住 (1)直方图中各小长方形的面积之和为 1. 频率 频率 (2)直方图中纵轴表示 ,故每组样本的频率为组距× ,即矩形的面积. 组距 组距 (3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数. 以题试法 1.(2012· 深圳调研)

某中学组织了“迎新杯”知识竞赛, 从参加考试的学生中抽出若干名学生, 并将其成绩 绘制成频率分布直方图(如图), 其中成绩的范围是[50,100], 样本数据分组为[50,60), [60,70), [70,80),[80,90),[90,100],已知样本中成绩小于 70 分的个数是 36,则样本中成绩在[60,90) 内的学生人数为________. 解析:依题意得,样本中成绩小于 70 分的频率是(0.010+0.020)×10=0.3;样本中成绩 在[60,90)内的频率是(0.020+0.030+0.025)×10=0.75, 因此样本中成绩在[60,90)内的学生人 36×0.75 数为 =90. 0.3 答案:90

茎叶图的应用

典题导入 [例 2] (2012· 陕西高考)从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自

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动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲、乙两组数据的 平均数分别为 x 甲、 x 乙,中位数分别为 m 甲、m 乙,则( A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙 [自主解答] 345 6+8)= , 16 x 乙= 457 . 16 ∴ x 甲< x
乙.

)

B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

x 甲=

1 (41+43+30+30+38+22+25+27+10+10+14+18+18+5+ 16

1 (42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+27+10+12+18)= 16

又∵m 甲=20,m 乙=29,∴m 甲<m 乙. [答案] B 由题悟法 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况, 这一点同频率分布直方图类似. 它优于频率 分布直方图的第一点是从茎 叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失;第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点 是当样本容量较大时,作图较繁. 以题试法 2.(2012· 淮北模考)如图所示的茎叶图记录了一组数据,关于这组数据,其中说法正确 的序号是________. 0 1 7 0 8 1 9 2 9 2 9 3

①众数是 9;②平均数是 10;③中位数是 9 或 10;④标准差是 3.4. 解析:由茎叶图知,该组数据为 7,8,9,9,9,10,11,12,12,13,∴众数为 9,①正确;中位数 是 9+10 1 =9.5,③错;平均数是 x = (7+8+9+9+9+10+11+12+12+13)=10,②正 2 10

1 确; 方差是 s2= [(7-10)2+(8-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2 10 +(12-10)2+(12-10)2+(13-10)2]=3.4,标准差 s= 3.4,④错. 答案:①②

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样本的数字特征

典题导入 - [例 3] (1)(2012· 江西高考)样本(x1,x2,?,xn)的平均数为 x ,样本(y1,y2,?,ym)的 -- - - - - 平均数为 y ( x ≠ y ).若样本(x1,x2,?,xn,y1,y2,?,ym)的平均数 z =α x +(1-α) y , 1 其中 0<α< ,则 n,m 的大小关系为( 2 A.n<m C.n=m ) B.n>m D.不能确定

(2)(2012· 山东高考)在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A, 两样本的下列数字特征对 B 应相同的是( A.众数 C.中位数 ) B.平均数 D.标准差

x1+x2+?+xn y1+y2+?+ym [自主解答] (1) x = ,y= , n m z= x1+x2+?+xn+y1+y2+?+ym , m+n

n x +m y n m 则z= = x+ y. m+n m+n m+n n 1 由题意知 0< < ,∴n<m. m+n 2 (2)对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差,众数、中位 数、平均数都发生改变. [答案] (1)A (2)D 由题悟法 (1)众数体现了样本数据的最大集中点,但无法客观地反映总体特征. (2)中位数是样本数据居中的数. (3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据越 分散,标准差、方差越小,数据越集中. 以题试法 3.(2012· 淄博一检)一农场在同一块稻田中种植一种水稻,其连续 8 年的产量(单位:kg) 如下:450,430,460,440,450,440,470,460,则该组数据的方差为( A.120 C.15 B.80 D.150 )

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解 析 : 选

D

根 据 题 意 知 , 该 组 数 据 的 平 均 数 为

450+430+460+440+450+440+470+460 1 =450, 所以该组数据的方差为 ×(02+202+102 8 8 +102+02+102+202+102)=150.

1.(2013· 豫西五校联考)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 8,12,10,11,9, 估计此人每次上班途中平均花费的时间为( A.8 分钟 C.11 分钟 )

B.9 分钟 D.10 分钟

8+12+10+11+9 解析: D 依题意,估计此人每次上班途中平均花费的时间为 选 =10 5 分钟. 2.(2012· 湖北高考)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( A.0.35 C.0.55 B.0.45 D.0.65

)

9 解析:选 B 求得该频数为 2+3+4=9,样本容量是 20,所以频率为 =0.45. 20 3.某厂 10 名工人在一个小时内生产零件的个数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12, 设该组数据的平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c C.c>a>b B.b>c>a D.c>b>a )

解析:选 D 把该组数据按从小到大的顺序排列为 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平 15+15 1 均数 a= ×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.7,中位数 b= =15, 10 2 众数 c=17,则 a<b<c. 4.(2013· 济宁模拟)为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中 100 株树 木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示,那么在这片 树木中,底部周长小于 110 cm 的株数大约是( )

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A.3 000 C.7 000

B.6 000 D.8 000

解析:选 C 底部周长小于 110 cm 的频率为:(0.01+0.02+0.04)×10=0.7,所以底部 周长小于 110 cm 的株数大约是 10 000×0.7=7 000. 5.(2012· 江西高考)小波一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所 示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )

图1

图2 A.30% C.3% B.10% D.不能确定

解析:选 C 由图 1 得到小波一星期的总开支,由图 2 得到小波一星期的食品开支,从 而再借助图 2 计算出鸡蛋开支占总开支的百分比.由图 2 知,小波一星期的食品开支为 30 300 +40+100+80+50=300 元,由图 1 知,小波一星期的总开支为 =1 000 元,则小波一 30% 30 星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ×100%=3%. 1 000 6.(2012· 江西盟校二联)若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5,方差为 2.现样本中 又加入一个新数据 5,此时样本容量为 9,平均数为 x ,方差为 s2,则( A. x =5,s2<2 C. x >5,s2<2 B. x =5,s2>2 D. x >5,s2>2 )

1 解析:选 A 设 (x1+x2+?+x8)=5, 8

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1 ∴ (x1+x2+?+x8+5)=5, 9 ∴ x =5,由方差定义及意义可知加新数据 5 后,样本数据取值的稳定性比原来强,∴ s2<2. 7.(2012· 湖北模拟)下图为 150 辆汽车通过某路段时速度的频率分布直方图,则速度在 [60,70)内的汽车大约有________辆.

解析:由频率分布直方图可知,汽车速度在[60,70)内的频率为 0.04×10=0.4,故速度 在[60,70)内的汽车为 150×0.4=60 辆. 答案:60 8.(2012· 湖南高考)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得 分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.

( 注:方差 s =1[(x - x ) +(x - x ) +?+(x - x ) ],其中 x 为 x ,x ,?,x 的 n
2 2 2 2 1 2 n 1 2 n

平均数

)
8+9+10+13+15 = 5

解析:该运动员五场比赛中的得分为 8,9,10,13,15,平均得分 x = 11,

1 方差 s2= [(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=6.8. 5 答案:6.8 9.(2012· 北京海淀)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:℃)用茎叶图记 录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是________,气温波动较大的城市 是________. 解析:根据茎叶图可知,甲城市上半年的平均温度为 9+13+17×2+18+22 =16,乙城市上半年的平均温度为 6 12+14+17+20+24+27 =19, 故两城市中平均温度较高的是乙城市, 观察茎叶图可知, 6 甲城市的温度更加集中在峰值附近,故乙城市的温度波动较大. 答案:乙 乙 10.(2012· 郑州模拟)某中学共有 1 000 名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学 考试,数学成绩如下表所示:

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数学成 绩分组 人数 [0,30) 60 [30,60) 90 [60,90) 300 [90,120) x [120,150] 160

(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽 样的方法抽取 100 名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分,求他被抽 中的概率; (2)已知本次数学成绩的优秀线为 110 分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的 人数; (3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表). 样本容量 解:(1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为 , 总体中个体总数 1 故甲同学被抽到的概率 P= . 10 (2)由题意得 x=1 000-(60+90+300+160)=390. 故估计该中学达到优秀线的人数 120-110 m=160+390× =290. 120-90 (3)频率分布直方图如图所示.

该学校本次考试的数学平均分. x= 60×15+90×45+300×75+390×105+160×135 =90. 1 000

估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分. 11. (2012· 江西重点中学联考)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依 次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率 分布表如下: X 频率 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,

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求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取 2 件(假定每件日用品被取 出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这 2 件日用品的等级系数恰好相等的概率. 解:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, 即 a+b+c=0.35. 3 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15. 20 2 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= =0.1. 20 从而 a=0.35-b-c=0.1. 所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3}, {x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2},共 10 个. 设事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级系数相等”,则 A 包 含的基本事件为:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共 4 个. 4 故所求的概率 P(A)= =0.4. 10 12.(2012· 北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投 放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物” 箱 100 240 20 “其他垃圾” 箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a,b,c,其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值 (结论不要求证明),并求此时 s2 的值.

( 注:s2=1[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为数据 x1,x2,?,xn 的平 n
均数

)

解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

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“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设“生活垃圾投放错误”为事件 A,则事件 A 表示“生活垃圾投放正确”. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 400+240+60 “其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A )约为 =0.7, 1 000 所以 P(A)约为 1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0 时,s2 取得最大值. 1 因为 x = (a+b+c)=200, 3 1 所以 s2= ×[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000. 3

1.(2013· 西宁模拟)已知一组数据:a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7 构成公差为 d 的等差数 列,且这组数据的方差等于 1,则公差 d 等于( 1 A.± 4 1 C.± 28 1 B.± 2 D.无法求解 )

a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 7a4 解析:选 B 这组数据的平均数为 = =a4,又因为这组数 7 7 1 据的方差等于 1,所以 [(a1-a4)2+(a2-a4)2+(a3-a4)2+(a4-a4)2+(a5-a4)2+(a6-a4)2+(a7 7 -a4)2] = ?3d?2+?2d?2+?d?2+0+?d?2+?2d?2+?3d?2 =1, 7

1 即 4d2=1,解得 d=± . 2 2.(2012· 安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图 如图所示,则( )

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

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B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析:选 C 由题意可知,甲的成绩为 4,5,6,7,8,乙的成绩为 5,5,5,6,9.所以甲、乙的成 绩的平均数均为 6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为 6,5,B 错;甲、乙的成绩的方差 1 1 分别为 ×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2, ×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2 5 5 12 +(6-6)2+(9-6)2]= ,C 对;甲、乙的成绩的极差均为 4,D 错. 5 3.(2012· 山西山大附中月考)如图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况,画出的 样本频率分布直方图,已知图中第一组的频数为 4 000,请根据该图提供的信息解答下列问 题.

(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数; (2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本中按月收入用分层抽 样方法抽出 100 人作进一步分析,则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽多少人? (3)试估计样本数据的中位数. 解:(1)由题知,月收入在[1 000,1 500)的频率为 0.000 8×500=0.4,又月收入在[1 000,1 4 000 500)的有 4 000 人,故样本容量 n= =10 000. 0.4 又月收入在[1 500,2 000)的频率为 0.000 4×500=0.2, 月收入在[2 000,2 500)的频率为 0.000 3×500=0.15, 月收入在[3 500,4 000]的频率为 0.000 1×500=0.05, 所以月收入在[2 500,3 500)的频率为 1-0.4-0.2-0.15-0.05=0.2. 故样本中月收入在[2 500,3 500]的人数为 0.2×10 000=2 000. (2)由(1)知,月收入在[1 500,2 000)的人数为 0.2×10 000=2 000,再从 10 000 人中用分 层抽样的方法抽出 100 人,则月收入在[1 500,2 000)的这组中应抽取 100× 2 000 =20(人). 10 000

(3)由(1)知, 月收入在[1 000,2 000)的频率为 0.4+0.2=0.6>0.5, 故样本数据的中位数为

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0.5-0.4 1 500+ =1 500+250=1 750. 0.000 4

1.(2012· 陕西高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到 样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 45+47 解析: A 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数, 选 即 2 =46,众数为 45,极差为 68-12=56. 2.(2012· 济南调研)如图是 2012 年在某大学自主招生面试环节中, 七位 评委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分 后,所剩数据的平均数和方差分别为( A.84,4.84 C.85,1.6 ) )

B.84,1.6 D.85,4

1 解析:选 C 依题意得,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 80+ 5 1 ×(4×3+6+7)=85,方差为 ×[3× (84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6. 5

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