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2015高中数学 第1部分 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2


知识点一

理解教材新知
题型一 题型二

知识点二

第 1 部 分

第 二 章

2.3 2.3.2

突破 常考 题型

题型三

跨越高分障碍
随堂即时演练

应用落实体验

课时达标检测

2.3.2

平面与平面垂直的判定

二面角 [提出问题] 随手打开一本书,发现每两书页之间所在的平面也形成一 个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水 平面成适当的角度 问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点?

提示:可以是锐角、直角、钝角、平角.
问题2:两平面形成的角可以为0°角吗? 提示:可以.

问题3:两平面成角的范围是什么?
提示:[0°,180°].

[导入新知] 二面角

两个半平面 (1)定义:从一条直线出发的_____________ 直线AB 所组成的图形叫做二面角(如图).__________
半平面 α 和 β 叫做二面角的面. 叫做二面角的棱,_______________

α-AB-β ,在 α,β 内,分别取点 P、Q 时, 记法:___________ α-l-β 或 P-AB-Q ;当棱记为 l 时,可记作__________ 可记作_____________
P-l-Q ______________.

(2)二面角的平面角: ①定义:在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,如图所

半平面 α 和 β 内 分别作垂直于棱 示,以点 O 为垂足,在__________________
l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做

二面角的平面角 . __________________
直角 的二面角. ②直二面角:平面角是_______

[化解疑难] 对于二面角及其平面角的理解 (1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图 形, 二面角的大小通过其平面角的大小表示, 体现了由空间图 形向平面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角,不是 两条直线的夹角,因此,二面角 θ 的取值范围是 0° ≤θ≤180° .

平面与平面垂直 [提出问题]

建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂
直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再 沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直.

问题1:由上述可知当直线与平面垂直时,过此直线可

作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系?
提示:垂直. 问题2:若要判断两平面是否垂直,根据上述问题能否 得出一方法? 提示:可以,只需在一平面内找一直线垂直于另一平面 即可.

[导入新知] 1.面面垂直的定义

(1)定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是 直二面角 ,就说这两个平面互相垂直. ___________
(2)画法:

α⊥β 记作:__________.

2.两平面垂直的判定

垂线 ,则这两 (1)文字语言:一个平面过另一个平面的______
个平面垂直. (2)图形语言:如图. (3)符号语言:AB⊥β,AB∩β=B,AB?α?α⊥β.

[化解疑难] 对面面垂直的判定定理的理解 (1)该定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”. (2)定理的关键词是“过另一面的垂线”,所以应用的关

键是在平面内寻找另一个面的垂线.
(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征:线线垂直 ?线面垂直?面面垂直,这体现了立体几何问题求解的转化 思想,应用时要灵活把握.

面面垂直的判定
[例 1] 如图所示,已知∠BSC=90° ,∠BSA=∠CSA

=60° ,又 SA=SB=SC.

求证:平面 ABC⊥平面 SBC.

[证明]

法一:(利用定义证明)

∵∠BSA=∠CSA=60° ,SA=SB=SC, ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形, 则有 SA=SB=SC=AB=AC, 令其值为 a,则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三 角形.

取 BC 的中点 D,如图所示, 连接 AD,SD,则 AD⊥BC,SD⊥BC, ∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角. 在 Rt△BSC 中,∵SB=SC=a, 2 BC 2 ∴SD= a,BD= = a. 2 2 2 2 在 Rt△ABD 中,AD= a, 2 在△ADS 中,∵SD2+AD2=SA2, ∴∠ADS=90° ,即二面角 A-BC-S 为直二面角,故平面 ABC⊥平面 SBC.

法二:(利用判定定理) ∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60° , ∴SA=AB=AC, ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心. ∵△SBC 为直角三角形, ∴点 A 在△SBC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点, ∴AD⊥平面 SBC. 又∵AD?平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 SBC.

[类题通法]

证明面面垂直的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面 角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另 一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;

(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,
则另一个也垂直于此平面.

[活学活用] 1. (2012· 新课标全国高考)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧 1 棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 2 的中点. (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分, 求这两部分体积的比.

解:(1)证明:由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所 以 BC⊥平面 ACC1A1. 又 DC1?平面 ACC1A1,所以 DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45° ,所以∠CDC1=90° ,即 DC1 ⊥ DC. 又 DC∩BC = C,所以 DC1 ⊥平面 BDC. 又 DC1 ? 平面 BDC1,故平面 BDC1⊥平面 BDC. (2)设棱锥 B-DACC1 的体积为 V1,AC=1,由题意得 1 1+ 2 1 V1= × ×1×1= . 3 2 2 又三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1. 故平面 BDC1 分此棱柱所得两部分体积的比为 1∶1.

二面角
[例 2] 已知 D,E 分别是正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱

AA1 和 BB1 上的点,且 A1D=2B1E=B1C1.求过 D,E,C1 的平 面与棱柱的下底面 A1B1C1 所成的二面角的大小.

[ 解]

如图所示,在平面 AA1B1B 内

延长 DE 和 A1B1 交于点 F,则 F 是平面 DEC1 与平面 A1B1C1 的公共点.于是 C1F 为这两个平面的交线.

因而,所求二面角即为二面角 D-C1F-A1. ∵A1D∥B1E,且 A1D=2B1E, ∴E,B1 分别为 DF 和 A1F 的中点. ∵A1B1=B1C1=A1C1=B1F, ∴FC1⊥A1C1. 又∵CC1⊥平面 A1B1C1,FC1?平面 A1B1C1, ∴CC1⊥FC1.

又∵A1C1,CC1 为平面 AA1C1C 内的两条相交直线, ∴FC1⊥平面 AA1C1C. ∵DC1?平面 AA1C1C, ∴FC1⊥DC1. ∴∠DC1A1 是二面角 D-C1F-A1 的平面角. 由已知 A1D=A1C1,则∠DC1A1=45° . 故所求二面角的大小为 45° .

[类题通法] 解决二面角问题的策略

清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,
通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大 小的方法为:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说 明所作角是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角 所在的三角形算出角的三角函数值,其中关键是“作”.

[活学活用] 2. 如图所示,在△ABC 中,AB⊥BC,SA⊥平面 ABC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC,SC 于点 D,E,又 SA=AB, SB=BC,求二面角 E-BD-C 的大小.

解:∵E 为 SC 中点,且 SB=BC, ∴BE⊥SC.又 DE⊥SC, BE∩DE=E,∴SC⊥平面 BDE, ∴BD⊥SC.又 SA⊥平面 ABC, 可得 SA⊥BD,SC∩SA=S, ∴BD⊥平面 SAC,从而 BD⊥AC,BD⊥DE, ∴∠EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角. 设 SA=AB=1.△ABC 中, ∵AB⊥BC, ∴SB=BC= 2, AC= 3,∴SC=2.在 Rt△SAC 中,∠DCS=30° , ∴∠EDC=60° ,即二面角 E-BD-C 为 60° .

线面、面面垂直的综合问题
[例 3] 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 a

的正方形,侧棱 PD=a,PA=PC= 2a,求证: (1)PD⊥平面 ABCD; (2)平面 PAC⊥平面 PBD; (3)二面角 P-BC-D 是 45° 的二面角.

[证明]

(1)∵PD=a,DC=a,PC= 2a,

∴PC2=PD2+DC2. 则 PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD.又∵AD∩DC=D,且 AD,DC? 平面 ABCD, ∴PD⊥平面 ABCD.

(2)由(1)知 PD⊥平面 ABCD,又∵AC?平面 ABCD, ∴PD⊥AC. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. 又∵BD∩PD=D,且 PD,BD?平面 PBD, ∴AC⊥平面 PBD. 又∵AC?平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 PBD.

(3)由(1)知 PD⊥BC, 又∵BC⊥DC, 且 PD, DC 为平面 PDC 内两条相交直线, ∴BC⊥平面 PDC. ∵PC?平面 PDC, ∴BC⊥PC. 则∠PCD 为二面角 P-BC-D 的平面角. 在 Rt△PDC 中,∵PD=DC=a, ∴∠PCD=45° , 即二面角 P-BC-D 是 45° 的二面角.

[类题通法] 本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等 诸多知识点的一道综合题,解决这类问题的关键是转化: 线线垂直?线面垂直?面面垂直.

[活学活用] 3. △ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE =CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA.

证明:(1)设 BD=a,作 DF∥BC 交 CE 于 F, 则 CF=DB=a.因为 CE⊥面 ABC, 所以 BC⊥CF,DF⊥EC, 所以 DE= EF2+DF2= 5a. 又因为 DB⊥面 ABC, 所以 DA= DB2+AB2= 5a, 所以 DE=DA.

(2)取 CA 的中点 N,连接 MN,BN, 1 则 MN 綊 CE 綊 DB. 2 所以四边形 MNBD 为平行四边形,所以 MD∥BN. 又因为 EC⊥面 ABC,所以 EC⊥BN,EC⊥MD. 又 DE=DA,M 为 EA 中点,所以 DM⊥AE. 所以 DM⊥平面 AEC,所以面 BDM⊥面 ECA. (3)由(2)知 DM⊥平面 AEC,而 DM?面 DEA, 所以平面 DEA⊥平面 ECA.

7.线、面垂直的综合应用
[典例] (12分)如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB

=90° ,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三 角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)求二面角D-AP-C的正弦值; (3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积.

[解题流程]

(1)证面面垂直
求三棱锥的体积

(2)求二面角的正弦值

(3)

△ABC是直角三角形且BC⊥AC,△PDB是

正三角形,D为AB的中点,PD=DB=10
对于(1),由△ABC是直角三角形以及△PDB 是正三角形,寻找线线垂直; 对于(2),先找出二面角的平面角,再求值; 对于(3),关键是由垂直找到三棱锥的高

?1?证 AP⊥PB―→AP⊥平面 PBC―→AP⊥ BC―→BC⊥平面 PAC―→平面 PAC⊥平面 ABC ?2?证∠BPC 是二面角 D-AP-C 的平面 BC 角―→BC⊥PC―→sin∠BPC=PB 1 ?3?证 DM 綊 PA―→又由 PA⊥平面 PBC―→ 2 1 DM⊥平面 PBC―→S△BCM= S△PBC―→VM-BCD 2 =VD-BCM―→得出结论

[规范解答] (1)证明:∵D 是 AB 的中点,△PDB 是正三角形, AB=20, 1 ∴PD= AB=10,∴AP⊥PB. 2 又 AP⊥PC,PB∩PC=P, ∴AP⊥平面 PBC.(2 分) 又 BC?平面 PBC, ∴AP⊥BC.
[名师批注] 解答?1?的过程中,若漏掉 AP⊥平面PBC,BC⊥平面 PAC,而直接得出线线垂直 或面面垂直,依据就不够充

又 AC⊥BC,AP∩AC=A, 分. ∴BC⊥平面 PAC. 又 BC?平面 ABC, ∴平面 PAC⊥平面 ABC.(4 分)

(2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB,

若没有说明∠BPC是二面

∴∠BPC是二面角D-AP-C 角D-AP-C的平面角, 的平面角. 则解析不完整,要扣分, 由(1)知BC⊥平面PAC,则BC 因此,在求二面角时,一 ⊥PC, 定要说明哪个角是二面角 BC 2 ∴sin∠BPC=PB = .(8分) 5

的平面角

(3)∵D为AB的中点,M为PB的中点, 1 ∴DM綊 PA,且DM=5 3, 若DM⊥平面PBC漏掉,即 2 没有明确三棱锥的高,也是 由(1)知PA⊥平面PBC, ∴DM⊥平面PBC, 1 ∵S△BCM= S△PBC=2 21, 2

不严谨,在求解三棱锥体积 时,要明确底面以及三棱锥

的高灵活运用等体积转化法
求解.

1 ∴VM-BCD=VD-BCM= ×5 3×2 21=10 7.(12分) 3

[活学活用] 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA ⊥平面ABCD,PD∥MA,E,G,F分别为MB,PB,PC的 中点,且AD=PD=2MA. (1)求证:平面EFG⊥平面PDC; (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.

解:(1)证明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA,所以 PD⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD,所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥DC.又PD∩DC= D,因此BC⊥平面PDC. 在△PBC中,因为G,F分别为PB,PC的中点, 所以GF∥BC,因此GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG,所以平面EFG⊥平面PDC.

(2)因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,不妨 1 8 设MA=1,则PD=AD=2,所以VP-ABCD= S正方形ABCD· PD= . 3 3 由于DA⊥平面MAB,且PD∥MA,所以DA的长即为点P 1 1 2 到平面MAB的距离.三棱锥VP-MAB= × ×1×2×2= , 3 2 3 所以VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4

[随堂即时演练] 1.在二面角αlβ的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角αlβ 的平面角,则必须具有的条件是( A.AO⊥BO,AO?α,BO?β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO?α,BO?β D.AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β )

答案:D

2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是 ( A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?β C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β )

解析:A与D中α也可与β平行,B中不一定α⊥β,故选C.

答案:C

3. 如图所示,检查工件的相邻两个面是否垂 直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一

个面上,另一边在工件的另一个面上转动,
观察尺边是否和这个面密合就可以了,其 原理是_____________________.
解析:如图:因为OA⊥OB,OA⊥ OC,OB?β,OC?β且OB∩OC=O, 根据线面垂直的判定定理,可得OA⊥ β.又OA?α,根据面面垂直的判定定 理,可得α⊥β.

答案:面面垂直的判定定理

4.(2013· 聊城高一检测)若P是△ABC所在平面外一点,而△ PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA= 6 ,那么二 面角P-BC-A的大小为________.

解析:取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面 角P-BC-A的平面角,OP=OA= 3 ,PA= 6 ,所以 △POA为直角三角形,∠POA=90° .

答案:90°

5.在四面体ABCD中,BD=

2 a,AB=AD=CB=CD=AC

=a,求证:平面ABD⊥平面BCD.
证明:如图所示,∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形, ∴取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,BD⊥CE. ∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角. 在△ABD中, AB=a,

1 2 BE= BD= a, 2 2 AE= 2 AB -BE = a. 2
2 2

2 同理CE= a. 2 2 在△AEC中,AE=CE= a,AC=a, 2 由于AC2=AE2+CE2, ∴AE⊥CE,即∠AEC=90° , ∴平面ABD⊥平面BCD.


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