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2015年四川省绵阳市高2012级第三次诊断性考试文科数学试题(word精较版)含标准答案


绵阳市高 2012 级第三次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BCBAC DCACB 10.提示:当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意. 设 AB 中点为 P(2,t ) ,于是 k AB ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 4 2 ? 2 ? ? . 2 x1 ? x2 y1 ? y 2 t y1 y 2 ? 4 4

∴ 可设直线 AB 的方程为 y ? t ?

2 ( x ? 2) , t

2 ? ? y ? t ? ( x ? 2), t 联立方程: ? 消去 x 得: y 2 ? 2ty ? 2t 2 ? 8 ? 0 , ? y 2 ? 4 x, ?
∴ y1+y2=2t,y1y2=2t2-8, ∴ AB ? (1 ?

t2 4 ? t2 )( 4t 2 ? 8t 2 ? 32) ? (32 ? 4t 2 ) 4 4

由 k AB ? k MP ? ?1 ? k MP ? ? ,得 MP:y ? t ? ? ( x ? 2) ,

t 2

t 2

0) , 令 y ? 0 时,得 M (4 ,
∴ MP ? (4 ? 2) 2 ? (0 ? t ) 2 ? 4 ? t 2 , 于是 S△MAB ?

1 1 AB ? MP ? (4 ? t 2 ) 8 ? t 2 . 2 2 1 1 (12 ? m 2 ) ? m ? ? m3 ? 6m , 2 2

令 m ? 8 ? t 2 ,则 S ?

3 3 S ? ? ? m 2 ? 6 ? ? (m ? 2)(m ? 2),S ? ? 0 ? 0 ? m ? 2,S ? ? 0 ? m ? 2, 2 2
∴ 当 m ? 2 时, (S△MAB)max=8,此时 t 2 ? 4 . 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.4 12.

7 3

13.208

14.8

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ )由题意有

(0.02 ? 0.015 ? x ? 0.005) ? 20 ? 1 ,
解得 x ? 0.01 . ∵ 低于 60 分的频率为 0.005 ? 20 ? 0.01 ? 20 ? 0.3 , ∴ 被抽查的学生有 6 ? 0.3 ? 20 人,即 n=20. ………………………………4 分

40? 分数组的学生有 20 ? (0.005 ? 20) ? 2 人, ?40 , 60? 分数组的学 (Ⅱ)由(Ⅰ )知, ?20 ,

生有 4 人, 记这 6 人分别为 a1 、 a2 , b1 、 b2 、 b3 、 b4 ( a 、 b 表示不同分类组), 从中随机选取 2 人,不同的选法有:

a1 a2 、 a1 b1 、 a1 b2 、 a1 b3 、 a1 b4 、a2 b1 、a2 b2 、a2 b3 、a2 b4 、b1 b2 、b1 b3 、b1 b4 、 b2 b3 、 b2 b4 、 b3 b4 共 15 种,
2 人在同一分数组的选法有: ………………………………9 分 ………………11 分

a1 a2 、 b1 b2 、 b1 b3 、 b1 b4 、 b2 b3 、 b2 b4 、 b3 b4 共 7 种,
∴ 2 人在同一分数组的概率 P ?

7 . 15

……………………………………12 分

17.(Ⅰ ) 证明:连接 B1C 交 BC1 于 O,连接 OD. ∵ O,D 分别为 B1C 与 AC 的中点,

? OD 为△AB1C 的中位线, ? OD//AB1.
又∵ AB1 ? 平面 BDC1,OD ? 平面 BDC1, ∴ AB1//平面 BDC1. ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)解:连接 A1B,作 BC 的中点 E,连接 DE,如图. ∵ A1C1=BC1,∠A1C1B=60?, ∴ △A1C1B 为等边三角形. ∵ 侧棱 BB 1⊥底面 A 1B 1C1, ∴ BB1⊥A1B1,BB1⊥B1C1, ∴ A1C1=BC1=A1B= A1B1 ? BB1 = 2 2 .………7 分 ∴ 在 Rt△ BB1C 1 中, B1C 1= BC1 ? BB1 =2, 于是,A1C12= B 1C 1 + A1B12,
2
2 2
2 2

A1

A

D B1 C1 O C E B

∴ ∠A1B1C1=90?,即 A1B1⊥B 1C 1, ∴ A1B1⊥面 B1C1CB. 又∵ DE//AB//A1B1, ∴ DE⊥面 B1C1CB,即 DE 是三棱锥 D-BCC1 的高.……………………9 分 ∴

1 1 1 1 1 1 1 2 VD ? BCC1 ? ? S BCC1 ? DE = ? ? BC1 ? BC ? AB = ? ? 2 ? 2 ? ? 2 = . 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3

∴ V ? VA1B1C1 ? ABC ? VD ? BC1C ? S?A1B1C ? BB1 ?

1 2 ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? 2 3 10 . ……………………………………………………………………12 分 3 1 5 ? 1 1 1 1 18.解:(Ⅰ ) 由图象知, A ? 6 6 ? ,故 b ? ? ? ? , 2 2 6 2 3
=

T 2? ? ? 2? ? ? ? ,即 T ? ? ,于是由 ? ? ,解得 ? ? 2 . 2 3 6 2 ?


1 ? 1 1 ? ? sin(2 ? ? ? ) ? ? ,且 ? ? (? , ) , 2 6 3 6 2 2

解得 ? ?

?
6



∴ f ( x) ? 由 2k? ?

1 ? 1 sin(2 x ? ) ? . …………………………………………………4 分 2 6 3
≤ 2x ?

?
2

?
6

≤ 2k? ?

?
2

,k ?Z,

解得 k? ?

?
3

≤x≤ k? ?

?
6

,k ?Z,

即 f ( x) 在 R 上的单调递增区间为 [k? ? (Ⅱ)由条件得: f ( x0 ) ?

?

,k? ? ],k ? Z .………………6 分 3 6

?

1 ? 1 ? 2 sin(2 x0 ? ) ? ? 0 ,即 sin(2 x0 ? ) ? . 2 6 3 6 3

∵ f ( ) ? f (0) ? 0 且 f ( x) 在 (0 , ) 上是增函数,

?

?

6

6

? 3 1 ? 1 ? ? ? >0, f ( x) 在 ( , ) 上是减函数, f ( ) ? >0, f ( ) ? 4 4 3 6 6 6 4
∴ x0 ? (0 , ) ,

?

6

∴ 2 x0 ?

?

? ( , ) , …………………………………………………………9 分 6 6 2

?

?

∴ cos(2 x0 ?

?
6

) ? 1 ? sin2 (2 x0 ?

?
6

)?

5 , …………………………………10 分 3

∴ cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ?

?

)? ] 6 6

?

? cos(2x0 ? ) cos ? sin(2x0 ? ) sin 6 6 6 6
? 15 ? 2 . …………………………………………………………12 分 6

?

?

?

?

19.解:(Ⅰ )设数列{an}公差为 d,

3? 2 ? d ? 6, ?a1 ? 1, ?S ? 3a1 ? 由题设得 ? 3 解得 ? 2 ?d ? 1, ? ?a4 ? a1 ? 3d ? 4,
∴ 数列{an}的通项公式为: an ? n (n∈N*). ………………………………5 分
n * ? ?2 ,n ? 2k,k ?N , (Ⅱ) 由(Ⅰ )知: bn ? ? …………………………………6 分 * ? ?2n,n ? 2k ? 1,k ?N .

①当 n 为偶数,即 n ? 2k,k ? N* 时,奇数项和偶数项各

n 项, 2

∴ Tn ? [2 ? 6 ? ? ? 2(n ? 1)] ? (22 ? 24 ? 26 ? ? 2n )
n n (2 ? 2n ? 2) 2 2 2 2 [1 ? (2 ) ] n 2 2 n?2 4 ? 2 ? ? ? ? ; 2 2 3 3 1 ? 22

………………………9 分

②当 n 为奇数,即 n ? 2k ? 1,k ? N* 时, n ? 1 为偶数. ∴ Tn ? Tn ?1 ? an ?1 ?

(n ? 1) 2 2 n ? 3 ? 4 (n ? 1) 2 2 n ?1 4 ? ? 2n ?1 ? ? ? . 2 3 2 3 3

? n 2 2 n?2 4 ? ? ,n ? 2k,k ? N *, ? ?2 3 3 综上: Tn ? ? …………………………12 分 2 n ?1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 4 ,n ? 2k ? 1,k ? N *. ? 3 3 ? 2
20.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,则 c=1. 又由 e=

c 3 ? ,可解得 a= 3 , a 3 y2 x2 ? ? 1 .……………………………………………3 分 3 2

∴ b2=a2-c2=2, ∴ 椭圆的标准方程为

(Ⅱ) 设过焦点 F1 的直线为 l. ①若 l 的斜率不存在,则 A(0,- 3 ),B(0, 3 ),即|AB|=2 3 , 显然当 N 在短轴顶点(0, 2 )或(0, ? 2 )时,△NAB 面积最大, 此时,△NAB 的最大面积为 ? 2 3 ? 2 ? 6 .……………………………5 分 ②若 l 的斜率存在,不妨设为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 . 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

1 2

? y ? kx ? 1, ? 联立方程: ? y 2 x 2 消去 y 整理得: (2k 2 ? 3) x2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? 1, ? ? 2 ?3


x1 ? x2 ? ?

4k 4 , x1x2 ? ? 2 , 2k 2 ? 3 2k ? 3

则 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

4 3 (k 2 ? 1) .…………………………………………7 分 2k 2 ? 3

∵ 当直线与 l 平行且与椭圆相切时,此时切点 N 到直线 l 的距离最大, 设切线 l? : y ? kx ? m(m ? ? 2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 联立 ? y 2 x 2 消去 x 整理得: (2k 2 ? 3) y 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 6 ? 0 , ? ? 1 , ? 2 ?3
由 ? ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 3)(2m2 ? 6) ? 0 , 解得: m2 ? 2k 2 ? 3(m ? ? 3) .………………………………………………9 分

又点 P 到直线 l 的距离 d ?

m ?1 k2 ?1



∴ S ?PMN ? ∴ S2 ?

2 n ?1 1 1 4 3 (m2 ? 1) 2 3 m ? 1 k ? 1 , ? d ? MN ? ? ? ? 2 2 2m 2 ? 3 2k 2 ? 3 m2 ? 1

12(m ? 1) 2 (k 2 ? 1) .………………………………………………10 分 (2k 2 ? 3) 2
1 2 1 ) (1 ? 2 ) . m m

将 m2 ? 2k 2 ? 3 代入得: S 2 ? 6(1 ? 令t ?

1 3 ? (? , 0) ,设函数 f (t ) ? 6(1 ? t )2 (1 ? t 2 ) , m 3

则 f ?(t ) ? ?12(t ? 1)2 (2t ? 1) , ∵ 当 t∈ ( ? 即 f (t ) 在 ( ?

3 1 1 , ? ) 时, f ?(t ) >0,当 t∈ (? , 0) 时, f ?(t ) <0, 3 2 2
3 1 1 , ? ) 上是增函数,在 (? , 0) 上是减函数. 3 2 2

∴ f (t )min ? f (? ) ? 故 k2 ?

1 2

81 , 8

9 2 1 时,△NAB 面积最大值是 .…………………………………12 分 4 2
9 2 , 4

显然 6 ?

∴ 当 l 的方程为 y ? ?

9 2 2 x ? 1 时,△NAB 的面积最大,最大值为 . 2 4
……………………………13 分

21.(Ⅰ) 解:∵ f ?( x) ? ln x ? 1 , ∴ k ? f ?(e) ? ln e ? 1 ? 2 . 又 f (e) ? e , ∴ f ( x) 在点 (e,f (e)) 处的切线方程为: y ? e ? 2( x ? e) ,即 2 x ? y ? e ? 0 . ………… ……………………3 分 (Ⅱ) 解: h( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ln x ? x ln b ? a(a ? 0,b ? 0) , ∴ h?( x) ? ln x ? 1 ? ln b , 由 h?( x) ? 0 解得 x ?

1 1 ,由 h?( x) ? 0 解得 0 ? x ? , be be

∴ 函数 h( x) 的单增区间是 (

1 1 , ? ?) ,函数 h( x) 的单减区间是 (0 , ) . be be
……………

……………………6 分

(Ⅲ)证明:由 f ( x0 ) ≤ g ( x0 ) 可变为 x0 ln 令 p( x) ? x ln ? a , x ?[ 由 p?( x) ? 0 可得 x ?

x0 ? a ≤0. b

x b

a ? b 3a ? b x , ] ,则 p?( x) ? ln ? 1 . 4 5 b

b b ,由 p?( x) ? 0 可得 0 ? x ? , e e b e

所以 p( x) 在 (0 , ) 单调递减,在 ( , ? ?) 单调递增.………………………7 分 根据题设知: ①若

b e

a ? b 3a ? b b ,可解得 ? (0 , ? 7) . a 4 5

3a ? b b b 3e ≤ ,即 ?[ , 7) 时, e a 5?e 5 a ? b 3a ? b , ] 单调递减, 4 5
3a ? b 3a ? b 3a ? b )? ln ? a ≤0, 5 5 5b

∵ p ( x) 在 [

∴ p( x)min ? p(

b a ? 5 ≤0 对 b ?[ 3e , 即 ln 7) 恒成立. b b a 5 ? e 5? 3? a a 3?
令t ?

b 3e 3?t 5 ≤0, ?[ , 7) , q(t ) ? ln ? a 5?e 5t 3?t
8t ? 9 3e ? 0 ,即 q (t ) 在 [ , 7) 上是减函数; t (t ? 3) 2 5?e

则 q?(t ) ? ?

则 q(t )max ? q(

3e 2?e )? ?0, 5?e 5

b 3? b 3e a ? 5 ≤0 成立.……………………10 分 所以对任意 ?[ , 7) , ln b b a 5?e 5 3? a a
②当

a ? b b 3a ? b b e 3e ,即 ? ( ? ? , ) 时, a 4?e 5?e 4 e 5 b e b 1 b b 3e ln ? a ≤0,即 ≥e,此时 ?[e , ). e e a 5?e a
…………………………………………………

当且仅当 p( x)min ? p( ) ?

…11 分 ③当

a?b b b e ≥ 时, 即 ? (0 , ) 时, e a 4?e 4
a ? b 3a ? b , ] 上单调递减, 4 5 a?b a?b a?b )? ln ? a ≤0, 4 4 4

∵ p ( x) 在 [

∴ p( x)min ? p(

令t ?

b e 1? t 4 ≤0 恒成立. ? (0 , ) ,即 ? (t ) ? ln ? a 4?e 4t 1 ? t
5t ? 1 e ? 0 ,所以 ? (t ) 在 (0 , ) 上是减函数, t (t ? 1) 2 4?e

因为 ? ?(t ) ? ?

故存在无数个 t0 ? (0 ,

e ) ,使得 ? (t0 ) ? 0 , 4?e

如取 t0 ? 1,? (1) ? ln ? 2 ? 0 与 ? (t ) ≤0 恒成立矛盾,此时不成立. 综上所述,e≤

1 2

b <7.…………………………………………………………14 分 a


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