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2016厦门演艺职业学院高职招考数学模拟试题(附答案解析)


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2016 厦门演艺职业学院高职招考数学模拟试题(附答案解 析)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.复数 A.-1

的值是 B.1 C.-32 (

( D.32 )

/>


2.tan15°+cot15°的值是

A.2

B.2+

C.4

D.

3.命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件; 命题 q:函数 y= A.“p 或 q”为假 C.p 真 q 假 的定义域是(-∞,-1 ∪[3,+∞ .则 B.“p 且 q”为真 D.p 假 q 真 ( )

4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两 点,若△ABF2 是真正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( )

A.

B.

C.

D.

5.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β是不重合的平面,有下列命题: ①若 m α ,n∥α ,则 m∥n;

②若 m∥α ,m∥β,则α ∥β; ③若α ∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β; ④若 m⊥α ,m⊥β,则α ∥β.

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其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 ( ) D.3

6.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级 且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为 ( )

A.

B.

C.

D. )

7.已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f—1(x),则函数 y= f—1(1-x)的图象是 (

8.已知 a、b 是非零向量且满足(a-2b) ⊥a,(b-2a) ⊥b,则 a 与 b 的夹角是 ( )

A.

B.

C.

D.

9.若(1-2x)9 展开式的第 3 项为 288,则

的值是





A.2

B.1

C.

D.

10.如图,A、B、C 是表面积为 48π的球面上三点,

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AB=2,BC=4,∠ABC=60°,O 为球心,则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是( A.arcsin C.arcsin B.arccos D.arccos )

11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则 ( )

A.f(sin

)<f(cos

)

B.f(sin1)>f(cos1)

C.f(cos

)<f(sin

)

D.f(cos2)>f(sin2)

12.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流 的没岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离 比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运 货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用分别是 a 万元/km、2a 万元/km, 那么修建这两条公路的总费用最低是( A.(2 -2)a 万元 )

B.5a 万元

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C.(2 +1) a 万元 D.(2 +3) a 万元

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2-6x-2y-15=0 所截得的弦长等于 .

(x≠0), 14.设函数 f(x)=

a

(x=0).

在 x=0 处连续,则实数 a 的值为

.

15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响.有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9;

②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14. 其中正确结论的序号是 确结论的序号). 16.如图 1,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各 切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时,其容积最大. (写出所有正

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, sin2x),x∈R.

(Ⅰ)若 f(x)=1-

且 x∈[-



],求 x;

(Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|< 的图象,求实数 m、n 的值.

)平移后得到函数 y=f(x)

18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少 答对 2 题才算合格. (Ⅰ)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

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19.(本小题满分 12 分)

在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三 角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的距离. ,M、N 分别为 AB、SB 的中点.

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20.(本小题满分 12 分) 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐 年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年 初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况 下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+ )万元(n 为正整数).

(Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元, 进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An、Bn 的表达 式; (Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯 利润超过不进行技术改造的累计纯利润?

21.(本小题满分 14 分)

已知 f(x)=

(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A;

(Ⅱ)设关于 x 的方程 f(x)=

的两个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数

m,使得不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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22.(本小题满分 12 分)

如图,P 是抛物线 C:y=

x2 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q.

(Ⅰ)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S,与 y 轴交于点 T,试求 的取值范围.

参考答案及解析
一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B

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二、13.4 三、 17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本 技能,考查运算能力.满分 12 分. 14.1/2 15.1,3 16.2/3

解:(Ⅰ)依题设,f(x)=2cos2x+

sin2x=1+2sin(2x+

).

由 1+2sin(2x+

)=1-

,得 sin(2 x +

)=-

.

∵-

≤x≤

,∴-

≤2x+



,∴2x+

=-



即 x=-

.

(Ⅱ)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象,即函数 y=f(x)的图象.

由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+

)+1.

∵|m|<

,∴m=-

,n=1.

18.本小题主要考查概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ 的概率分布如下: ξ P 甲答对试题数ξ 的数学期望 0 1 2 3

Eξ =0×

+1×

+2×

+3×

=

.

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(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则

P(A)=

=

=



P(B)=

=

=

.

因为事件 A、B 相互独立, 方法一: ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

P(

)=P(

)P(

)=1-

)(1-

)=

.

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P=1-P(

)=1-

=

.

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 方法二: ∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P=P(A· )+P( ·B)+P(A·B)=P(A)P( )+P(

.

)P(B)+P(A)P(B)

=

×

+

×

+

×

=

.

答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

.

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19.本小题主要考查直线与直线,直线与平面, 二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)取 AC 中点 D,连结 SD、DB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴AC⊥SD 且 AC⊥BD, ∴AC⊥平面 SDB,又 SB ∴AC⊥SB. (Ⅱ)∵AC⊥平面 SDB,AC ∴平面 SDB⊥平面 ABC. 过 N 作 NE⊥BD 于 E,NE⊥平面 ABC, 过 E 作 EF⊥CM 于 F,连结 NF, 则 NF⊥CM. ∴∠NFE 为二面角 N-CM-B 的平面角. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面 ABC. 又∵NE⊥平面 ABC,∴NE∥SD. 平面 ABC, 平面 SDB,

∵SN=NB,∴NE=

SD=

=

=

,且 ED=EB.

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在正△ABC 中,由平几知识可求得 EF= MB= ,

在 Rt△NEF 中,tan∠NFE=

=2

, .

∴二面角 N—CM—B 的大小是 arctan2

(Ⅲ)在 Rt△NEF 中,NF=

=



∴S△CMN=

CM·NF=

,S△CMB=

BM·CM=2

.

设点 B 到平面 CMN 的距离为 h,

∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面 CMB,∴

S△CMN·h=

S△CMB·NE,

∴h=

=

.即点 B 到平面 CMN 的距离为

.

解法二:(Ⅰ)取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC,

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∴AC⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC,平面 SAC∩平面 ABC=AC ∴SO⊥面 ABC,∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A(2,0,0),B(0,2 S(0,0,2 ∴ ∵ ),M(1, ,0),C(-2,0,0), ,0),N(0, =(0,2 ,2 ,2 , ). ), )=0,

=(-4,0,0), ·

=(-4,0,0)·(0,2

∴AC⊥SB. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 =(3, ,0), =(-1,0, ).设 n=(x,

y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

·n=3x+ 则 取 z=1,则 x= ·n=-x+ ∴n=( ,- ,1),

y=0, ,y=z=0, ,

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又 =(0,0,2 )为平面 ABC 的一个法向量,

∴cos(n,

)=

=

.

∴二面角 N-CM-B 的大小为 arccos (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得 CMN 的 一个法向量, =(-1,

. ,0),n=( ,- ,1)为平面

∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=

=

.

20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识,考查运用数学 知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)依题设,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2;

Bn=500[(1+

)+(1+

)+…+(1+

)]-600=500n-

-100.

(Ⅱ)Bn-An=(500n-

-100) -(490n-10n2)

=10n2+10n-

-100=10[n(n+1) -

-10].

因为函数 y=x(x+1) -

-10 在(0,+∞)上为增函数,

当 1≤n≤3 时,n(n+1) -

-10≤12-

-10<0;

当 n≥4 时,n(n+1) -

-10≥20-

-10>0.

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∴仅当 n≥4 时,Bn>An. 答:至少经过 4 年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的 累计纯利润. 21.本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及 分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.

解:(Ⅰ)f'(x)= ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,

=



∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 (x)=x2-ax-2, ①

方法一:

(1)=1-a-2≤0, ① -1≤a≤1, (-1)=1+a-2≤0. ∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:

≥0, ① 或 (-1)=1+a-2≤0

<0,

(1)=1-a-2≤0

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0≤a≤1 -1≤a≤1. ∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 或 -1≤a≤0

(Ⅱ)由

=

,得 x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根,

x1+x2=a,
∴ 从而|x1-x2|= = .

x1x2=-2,
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= ≤3.

要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2), 方法一: ②

g(-1)=m2-m-2≥0, ② g(1)=m2+m-2≥0,

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m≥2 或 m≤-2. 所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒 成立,其取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时,

m>0, ② 或

m<0,

g(-1)=m2-m-2≥0 m≥2 或 m≤-2.

g(1)=m2+m-2≥0

所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成 立,其取值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的 基本 思想和综合解题能力.满分 12 分. 解:(Ⅰ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意 x1≠0,y1>0,y2>0.

由 y=

x 2,



得 y'=x. ∴过点 P 的切线的斜率 k 切= x1,

∴直线 l 的斜率 kl=-

=-



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∴直线 l 的方程为 y- 方法一:

x12=-

(x-x1),

联立①②消去 y,得 x2+ ∵M 是 PQ 的中点

x-x12-2=0.

x 0=


=-



y0=

x 12-

(x0-x1).

消去 x1,得 y0=x02+

+1(x0≠0),

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+ 方法二:

+1(x≠0).

由 y1 =

x12,y2=

x22,x0=



得 y1-y2=

x 12 -

x 22=

(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),

则 x 0=

=kl=-



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∴x1=- ,

将上式代入②并整理,得

y0=x02+

+1(x0≠0),

∴PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+

+1(x≠0).

(Ⅱ)设直线 l:y=kx+b,依题意 k≠0,b≠0,则 T(0,b). 分别过 P、Q 作 PP'⊥x 轴,QQ'⊥y 轴,垂足分别为 P'、Q',则

.

y= 由

x2
消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0. ③

y=kx+b

y1+y2=2(k2+b), 则 y1y2=b2. 方法一:



|b|(

)≥2|b|

=2|b|

=2.

∵y1、y2 可取一切不相等的正数,

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∴ 方法二: 的取值范围是(2,+ ).



=|b|

=|b|

.

当 b>0 时,

=b

=

=

+2>2;

当 b<0 时,

=-b

=

.

又由方程③有两个相异实根,得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0, 于是 k2+2b>0,即 k2>-2b.

所以

>

=2.

∵当 b>0 时,

可取一切正数,

∴ 方法三:

的取值范围是(2,+

).

由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP,



=

.

则 x1y2-bx1=x2y1-bx2,即 b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).

于是 b=

=-

x1x2.

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=

=

+

=

+

≥2.



可取一切不等于 1 的正数,



的取值范围是(2,+

).


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