当前位置:首页 >> 高三数学 >>

第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积


第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积

空间几何体的三视图 【教师备用】 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图 可以是( B )

解析:由题意知,选项 A,C 中所给的几何体的正视图、 俯视图不符合要 求,选项 D 中所给几何体的侧视图不符合要求.故选 B. 1.(2014 福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能 是( A ) (A)圆柱 (C)四面体 (B)圆锥 (D)三棱柱

解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能 是圆柱. 故选 A.

2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形, 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三 棱锥 A BCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三 角形.故选 D.

3. (2014 湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中,一个四面体 的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为 ①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )

(A)①和②

(B)③和①

(C)④和③

(D)④和②

解析:在空间直角坐标系 O xyz 中作出棱长为 2 的正方体,在该正方体 中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图 为②.故选 D.

空间几何体的表面积与体积 4.(2015 新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余 部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( D )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截 去了正方体的一个角.设正方体的棱长为 1,则正方体的体积为 1,截 去的三棱锥的体积为 V1= × ×1×1×1= ,故剩余部分的体积为 V2= , 所求比值为 = . 5. (2015 大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画的 是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( A )

(A)32+4π (C)12+

(B)24+4π (D)24+

解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为 2,2,3,球的半径为 1,故其表面积为 2×2×2+2×3×4+4×π ×12 =32+4π ,故选 A. 6.(2015 河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何 体的体积为 ,则其俯视图的面积为( B )

(A)π +2 (B)2π +4 (C)2π +6 (D) π +4 解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥, 因为 V= × ×π a2×4+ × ×2a×a×4 = a2(π +2)= ,

所以 a2=4,所以俯视图的面积为 π a2+ ·2a·a=2π +4,故选 B.

多面体与球的切接问题 【教师备用】 (2015 东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所 示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三 角形,则此三棱锥外接球的表面积为( B )

(A)16π

(B)9π

(C)4π

(D)π

解析:由三视图可知立体图形如图所示.

由三视图知顶点 A 在底面 BCD 上的射影 E 为 BD 中点,AE⊥底面 BCD,BC ⊥CD,BC=CD=2,BD=2 ,AE=2, 设 O 为外接球球心,AO=R,OE=2-R, 则 AB= = ,

在 Rt△BOE 中 R2=(2-R)2+( )2,得 R= , 因为 S=4π R2, 所以此三棱锥外接球的表面积为 9π . 【教师备用】 (2015 甘肃兰州第二次监测)已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的各个顶点都在球 O 的球面上,若球 O 的表面积为 16π ,且 AB∶AD∶ AA1= ∶1∶2,则球心 O 到平面 ABCD 的距离为( B ) (A)1 (B) (C) (D)2

解析:设外接球 O 的半径为 R,则 4π R2=16π , 所以 R=2, 由题意知长方体的对角线为球的直径, 又 AB∶AD∶AA1= ∶1∶2, 设 AD=x,AB= x,AA1=2x, 则 x2+( x)2+(2x)2=42, 解得 x= , 球心 O 到平面 ABCD 的距离为 AA1=x= ,选 B. 7.(2015 江西上饶三模)从点 P 出发的三条射线 PA,PB,PC 两两成 60° 角,且分别与球 O 相切于 A,B,C 三点,若 OP= ,则球的体积为( C ) (A) (B) (C) (D)

解析: 设 OP 交平面 ABC 于 O′,

由题得△ABC 和△PAB 为正三角形, 所以 O′A= AB= AP, 因为 AO′⊥PO,OA⊥PA, 所以 = , = , = , 所以 OA= = × =1,

即球的半径为 1, 所以其体积为 π ×13= π .选 C. 8.(2015 东北三校第一次联合模拟)三棱柱 ABC A1B1C1 各顶点都在一个 球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2 ,AA1=4,则这个球的 表面积为 .

解析:在△ABC 中,∠ACB=120°,CA=CB=2 , 由余弦定理可得 AB=6, 由正弦定理可得△ABC 外接圆半径 r=2 , 设此圆圆心为 O′,球心为 O, 在 Rt△OAO′中,球半径 R= 故球的表面积为 S=4π R2=64π . 答案:64π =4,

一、选择题 1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可 能是( D )

解析:根据几何体的三视图知识求解.

由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间 无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项 D. 2.(2015 河南模拟)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的 正方形,且其体积为 ,则该几何体的俯视图可以是( D )

解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是 ,知底面积是 , 所以底面是一个半径为 1 的四分之一圆,故选 D. 3.(2015 河南六市第二次联考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 其中侧视图是一个边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是 ( B )

(A)2 cm3 (B)

cm3 (C)3

cm3 (D)3 cm3

解析:由三视图可知几何体如图所示,

其侧面 PCB 与底面垂直,且△PCB 为边长为 2 的正三角形, 底面为直角梯形,上底为 1,下底为 2,高为 2, 所以四棱锥的体积为 V= × ×(1+2)×2× ×2= . 【教师备用】 (2015 怀化二模)某几何体的三视图如图所示,且该几 何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是( D )

(A)2 (B)

(C)

(D)3

解析:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图所示.

V= ×

×2×x=3? x=3.故选 D.

【教师备用】 (2015 太原市高三模拟)已知某几何体的三视图如图所 示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为( B )

(A)4π

(B)2π

(C)

(D)

解析: 由正视图可知该几何体的高为 H=3,其俯视图如图,

OA=OB=2,AC= ,AC⊥OB, 所以∠AOB= ,弧 AB 的长为 , 所以扇形面积为 S= ×2× = , 所以几何体的体积为 V=3× =2π . 选 B. 【教师备用】 (2015 宁夏石嘴山高三联考)一个四棱锥的三视图如图 所示,那么这个四棱锥的表面积是( A )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:由三视图可知,其直观图如图,

S△ABC= ×1×2=1, S△ABE= ×2×2=2, S△ACD= ×1× 可知 AD⊥DE,AD= S△ADE= × × = , S 梯形 BCDE= ×(1+2)×1= , 故其表面积为 S=1+2+ + + = 选 A. 4. (2015 黑龙江高三模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正 视图、侧视图、俯视图都如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边 长为 1 的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( B ) . = , = ,DE= ,

(A)π

(B)3π

(C)4π

(D)6π

解析:由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,且正方 体的棱长为 1,所以内接正方体的对角线长为 ,即球的直径为 ,所 以球的表面积为 S=4π ×( )2=3π ,故选 B. 5.(2015 辽宁沈阳高三一模)已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中,所有棱的长 都为 3,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( B ) (A)9π (B)21π (C)33π (D)45π

解析:如图,因为所有棱的长都为 3, 所以 OO1= , OA 即为其外接球的半径 R, 又 AO1= × ×3= , 所以 R2=O +A =( )2+( )2= , 所以 S 球=4π R2=21π .选 B. 6.(2015 贵州省适应性考试)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),该四面体 的体积为( A ) (A) (B) (C)1 (D)2

解析:如图所示,正方体棱长为 1,

依题意知,该四面体为 OABC, 其体积为 V=1×1×1-4× × ×1×1×1 =1=. 选 A. 【教师备用】 (2015 郑州第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所 示,且三个三角形均为直角三角形,则 xy 的最大值为( C )

(A)32 (B)32

(C)64 (D)64

解析:设三棱锥的高为 h,则根据三视图可得

所以 x2+y2=128, 因为 x>0,y>0,所以 x2+y2≥2xy,所以 xy≤64, 当且仅当 x=y=8 时取“=”号, 故 xy 的最大值为 64.选 C.

【教师备用】 (2015 广西南宁二模)已知如图是一个空间几何体的三 视图,则该几何体的外接球的表面积为( B )

(A)24π

(B)6π

(C)4π

(D)2π

解析:依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥 A BCD,

其中 AB⊥平面 BCD,AB= ,BC=CD= ,BD=2, 将该三棱锥补成一个正方体, 则有(2R)2=( )2+( )2+( )2=6, 所以 R= , 所以外接球的表面积为 S=4π R2=4π ×( )2=6π . 选 B. 【教师备用】 (2015 唐山市一模)某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积为( C )

(A)4

(B)21+

(C)3 +12 (D) +12

解析:根据三视图可知该几何体是正六边形截得的正方体下方的几何 体,因为正方体的棱长为 2, 所以根据分割的正方体的 2 个几何体的对称性得, S1= ×6×22=12, 正六边形的面积为 6× ×( )2=3 , 所以该几何体的表面积为 12+3 .选 C. 二、填空题 7.(2015 广西南宁二模)设甲、 乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积 分别为 V1,V2,若它们的侧面积相等且 = ,则 的值是 解析:设两个圆柱的底面半径分别为 r1,r2,高分别为 h1,h2, 则由题意知, = = · = ,① .

又 2π r1·h1=2π r2·h2, 所以 = , 把②代入①可得, = , 所以 =( )2=( )2= . 答案: 【教师备用】 (2015 辽宁沈阳高三一模)已知某多面体的三视图如图 所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图 为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为 . ②

解析:由三视图知,该几何体是一个四棱锥, 如图所示,其底面是直角梯形, AD=4,AB=4,OA=4,BC=1, 则 OD= CD= = =5, ,

OB= OC=

= =

, = , .

故多面体最长的一条棱长为 答案:

8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为 .

解析:由三视图知,几何体由一个四棱锥与四棱柱组成,则体积 V= ×2×2×1+1×1×2= . 答案: 9.(2015 大连市高三一模)如图,半球内有一内接正四棱锥 S ABCD,该 四棱锥的体积为 ,则该半球的体积为 .

解析:设球的半径为 R,则底面 ABCD 的面积为 2R2, 因为半球内有一内接正四棱锥 S ABCD,

该四棱锥的体积为 , 所以 ×2R2×R= , 所以 R3=2 , 所以该半球的体积为 V= × π R3= π . 答案: π


赞助商链接
相关文章:
数学(文)一轮教学案:第八章第1讲 空间几何体的三视图、...
数学(文)一轮教学案:第八章第1讲 空间几何体的三视图表面积和体积 Word版含解析_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区。第八章 立体几何 第 1 讲 空间...
第8章第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积(考题帮....
第一讲 空间几何体的三视图表面积和体积 题组 1 三视图与直观图 1.[2017 全国卷Ⅰ,7,5 分]某多面体的三视图如图 8-1-1 所示,其中正视图和左视图都由...
2013年立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
2013年立体几何第1讲 空间几何体的三视图表面积体积_高三数学_数学_高中教育_教育专区。空间几何体专题五 立体几何第 1 讲 空间几何体的三视图表面 积及...
...第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积(作业)(Wor...
高三二轮复习(理数) 第1讲 空间几何体的三视图表面积和体积(作业)(Word版,含答案)_理化生_高中教育_教育专区。高三二轮复习(理数) 作业 教案 Word版 含...
数学(理)一轮教学案:第八章第1讲 空间几何体的三视图、...
数学(理)一轮教学案:第八章第1讲 空间几何体的三视图表面积和体积 Word版含解析_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区。第八章 立体几何 第 1 讲 空间...
...训练教师用书:专题5+第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积_...
专题五 第一讲空间几何体的三视图表面积体积 A组 1.(文)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则 这个几何体是 ( B )...
...立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积(...
【2015高考三模数学汇编】专题5 立体几何第1讲 空间几何体的三视图表面积与体积(理卷B)_高中教育_教育专区。专题 5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、...
第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积
第1讲 空间几何体的三视图表面积与体积_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 1 讲 空间几何体的三视图表面积与体积 空间几何体的三视图 【教师备用】 若...
...专题4 第8讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
2018年高考数学(理)二轮复习:第1部分 重点强化专题 专题4 第8讲 空间几何体的三视图表面积和体积_数学_高中教育_教育专区。立体几何 第8讲 空间几何体的三...
...专题四第1讲空间几何体的三视图及表面积和体积的计...
2018年高考数学二轮复习专题四第1讲空间几何体的三视图表面积和体积的计算问题案文_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第1讲 空间几何体的三视图表面积和体积...
更多相关标签: