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2016届高三数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第20课 导数的综合应用


第20课 导数的综合应用
(本课对应学生用书第41-42页)

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1. 最值与不等式 (1) a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max; (2) a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min; (3) a≥f(x)有解?a≥f(x)min; (4) a≤f(x)有解?a≤f(x)max.

2. 实际应用题 (1) 解题的一般步骤,理解题意,建立函数模型,使用导数方法求解函数模型, 根据求解结果回答实际问题. (2) 注意事项:注意实际问题的定义域;实际问题中的函数多数是单峰函数 (即在定义域内只有一个极值点的函数),这样的极值点也是最值点.

1. (选修1-1P84习题1改编)已知某质点运动方程为s=t3-t+2(s的单位是m,t的单 位是s),则该质点在t=2 s时刻的瞬时速度为 [答案]11 [解析]s'=3t -1,所以t=2 s时刻的瞬时速度为11 m/s.
2

m/s.

2. (选修2-2P26习题12改编)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是 y=-x+8,则f(5)+f'(5)= .

1

(第2题) [答案]2 [解析]由题图知f(5)=3,f'(5)=-1,故f(5)+f'(5)=2.

1 3. (选修2-2P34习题4改编)设函数f(x)= 3 x-lnx(x>0),则y=f(x)的最小值



.

[答案]1-ln 3
1 1 [解析] 由f'(x)= 3 - x =0,得 x=3,所以f(x)在(0,3) 上单调递减,在(3,+∞ ) 上单调

递增,所以f(x)min=f(3)=1-ln 3.

4. (选修1-1P84习题3改编)做一个容积为256的方底无盖水箱,为使它的用料最 省(全面积最小),则它的高为 [答案]4
1024 256 2 2 [解析]设高为 h,底边长为x,则x h=256,所以S=4hx+x =4x· x +x = x +x2,则
2 2

.

1024 2 S'=- x +2x.令S'=0,得x=8.当x=8时,S最小,此时h=4,经验证符合题意.

5. (选修1-1P81例2改编)设计一种体积为V0的圆柱形饮料罐,为了使它的用料最 省,则它的高为
3

.

[答案]

4V0 ?

[解析]设圆柱的高为H,底面半径为R,则表面积为S(R)=2π RH+2π R2.又π R2H=V0,

2

V0 V0 2V0 2V0 3 2 2 则H= ? R ,故S(R)= R +2π R2,所以S'(R)=- R +4π R.令S'(R)=0,解得R= 2? .

4V0 V0 3 2 此时,S最小,H= ? R = ? .

3


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