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山东省师范大学附属中学2016届高三数学最后一模试题理(新)


2016 年山东师大附中高考模拟试题(A 卷) 数学(理工类)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分.考试结束后,将本试卷和答题卡一 并交回. 注意事项: 1.答题前, 考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦

干净后,再选涂其他答案的标 号;非选择题答案使用 0.5 毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整 ,笔迹 清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损. 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分。共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x || x ? 1 |? 2} N ? ? x | A. ?? 1,3? B. ?? 1,3?

? ?

5 ? ? 1? ,则 M ? N 等于 x ?1 ?
D. ?? 1,4?

C. ?? 1,4?

2. 已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 A. 2 3 下列说法正确的是 B. 3

2?i 为纯虚数,则复数 z ? (2a ? 1) ? 2i 的模等于 a?i
C. 6 D. 11

A. 离散型随机变量 X ~ B?4,0.1? ,则 D? X ? ? 0.4 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后, 平均值与方差均没有变化 C.采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16, 27,38, 49 的同学 均被选出,则该班学生人数可能为 60 D.某糖果厂用自动打包机打包,每包的重量 X (kg ) 服从正态分布 N ?100,1.44? ,从该糖 厂进货 10000 包,则重量少于 96.4kg 一般不超过 15 包 4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体. 它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合 (牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅 助线.当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是

[ 学

5.命题 p : x, y ? R, x ? y ? 2 ,
2 2

命题 q : x, y ? R, | x | ? | y |? 2 ,则 p是q的 什么条件 A.充分非必要条件 C.必要充分条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 D.306

6.执行如图所示的程序框图, ,则输出的 S 是 A.18 B.50 C.78 5.函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图象如图所示, 2?

为了得 到 g ? x ? ? cos ? x 的图象,则只要将 f ? x ? 的图象

? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 6
A.向右平移

? 个单位 12 ? D. 向左平移 个单位 12
B. 向右平移

8.用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不在左右两端,2,4, 6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数 为 A.432 B.288 C.216 D.144 9.设函数 f ( x) ? ax 2 ? b(a ? 0) ,若

?

2 0

f ( x)dx ? 2 f ( x0 ) , x0 ? 0 ,则 x0 等于
D.3

A.

3 3

B.

2 3 3

C.

3 2

10. 设函数 f ( x ) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [ ? 1.2]=-2 , f ( x ? 1), x ? 0 ?

[1.2] =1,[1] =1, 若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f ( x) 的图象恰有三个不同的交点, 则k
的取值范围是

A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11 . 已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到 ( x, y ) 的四组观测值并制作了 相应的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线 方程为 ? y ? bx ? 60 ,其中 b 的值没有写上.当 x 等于

x
y

18
24

13
34

10
38

?1

64

?5 时,预测 y 的值为
12. 直线 l : ax ?

1 y ? 1 ? 0 与 x, y 轴的交点分别为 A, B , 直线 l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 的交点为 a 1 C , D . 给 出 下 面 三 个 结 论 : ① ?a ? 1, S?AOB ? ; ② ?a ? 1,| AB |?| CD | ; ③ 2 1 ?a ? 1, S?COD ? ,则所有正确结论的序号是 2

13.四边形 ABCD 中, AC ? BD 且 AC ? 2, BD ? 3 ,则 AB ? CD 的最小值为 14.设 F1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, P 是双曲线右支上一点, a 2 b2

??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? 满 足 OP ? OF2 ? PF2 ? 0 ( O 为 坐 标 原 点 ) , 且 3 PF1 ? 4 PF2 , 则 双 曲 线 的 离 心 率

?

?





15.定义在 ? 0, ??? 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? 0 , f ? ? x ? 为f ? x ? 的导函数, 且 2 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 3 f ? x ? 对x ? ? 0, ??? 恒成立,则

f ? 2? 的取值范围是 f ? 3?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 是

a , b , c , 已 知 cos 2 A ? ? ,
F E

1 3

c ? 3,sin A ? 6 sin C .
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 若角 A 为锐角,求 b 的值及 ?ABC 的面积. 17.(本题满分 12 分)四边形 ABCD 是菱形, ACEF 是矩 形, 平面ACEF ? 平面ABCD

D G A C

B

AB ? 2 AF ? 2, ?BAD ? 600 , G 是 BE 的中点
(I)证明: CG / / 平面BDF (II)求二面角 E ? BF ? D 的余弦值

18(本小题满分 12 分)用部分自然数构造如图的数表:用 aij (i ? j ) 表示第 i 行第 j 个数 ( i, j ? N ? ) ,使得 ai1 ? aii ? i. 每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之 和, a(i ?1) j ? ai? j ?1? ? aij ? i ? 2, j ? 2? .设第 n ( n ? N ? )行的第二个 数为 bn (n ? 2) , (1)写出第 7 行的第三个数; (2)写出 bn ?1 与 bn 的关系并求 bn ? n ? 2? ; (3)设 cn ? 2 ?bn ?1? ? n 证明:

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? c2 c4 c6 c2 n 2
1 ,甲胜丙、 2

19.(本题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每 局比赛结束时,负的一 方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为 乙胜丙的概率都为

2 ,各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当裁判. 3

(1)求第 3 局甲当裁判的概率; (2)记前 4 局中乙当裁判的次数为 X ,求 X 的概率分布与数学期望. 20(本题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ? xe ? ae
x 2x

? a ? R?

(I)当 a ?

1 时,求证: f ? x ? ? 0 e

(II)若函数 f ? x ? 有两个极值点,求实数 a 的取值范围
2 21(本题满分 14 分)抛物线 C1 : x ? 2 py? p ? 0?的焦点 F 是 C 2 : y ?

1 2 x ? 1 的顶点,过 F 2

点的直线 l1 , l2 的斜率分别是 k1 , k 2 , 且k1 ? k 2 ? ?2 ,直线 l1 与 C1 , C2 交于 A, C , M ,直线 l 2 与

C1 , C2 交于 B, D, N
(I)求抛物线 C1 的方程,并证明: M , N 分别是
B

AC, BD 的中点,且直线 MN 过定点
(II)①求 ?MFN 面积的最小值 ②设 ?ABF, ?MNF , ?CDF 面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , 求证: S2 ? 4S1 ? S3
2
F C
10 5

A N

M

D

5

10

15

2016 年山东师大附中高 考模拟试题(A 卷) 数学(理工类)答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D B A A

7 D

8 B

9 B

10 D

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11) 【答案】 70 解析 :由已知, x ?

18 ? 13 ? 10 ? 1 24 ? 34 ? 38 ? 64 ? 10 , y ? ? 40 ,所以 4 4
D

? ? ?2 x ? 60 ,当 x ? ?5 时, y ? ? 70 . 40 ? 10b ? 60, b ? ?2 , y
(12) 【答案】①③

13 4 解析:设 AC, BD 相交于 O,
(13) 【答案】 ?

A

O

C

AB ? CD ? OB ? OA OD ? OC ? OB ? OD ? OA ? OC
? ? ?| OB || OD | ? | OA || OC |?
?? | OB | ? | OD | ?2 ? | OA | ? | OC | ? 2 ? 13 ? 9? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??1 ? ? ? ? 2 2 4 ? ? ? ? ? 4? ? ?? ?
(14) 【答案】5 【解析】 取 PF2 的中点 M , 则由 OP ? OF2 ? PF2 ? 0 , 得 2OM ? PF2 ? 0 ,即 PF 1 ? PF 2 ? 0,
B

?

??

?

?

?

???? ???? ? 即 PF ,设 PF 1 ? PF 2 ,由 3 PF 1 ? 4x, PF 2 ? 3x, F 1F2 ? 2c ,则 1 ? 4 PF2

?4x?2 ? ?3x?2 ? 4c2 ,即 x ? 2 c ,由双曲线的定义,得 2a ? PF1 ? PF2
5
则椭圆 的离心率 e ?

?

1 2 c ,a ? c, 5 5

c ?5 a

(15) 【答案】 ?

?4 8 ? , ? ? 9 27 ?
f ? x? xf ' ? x ? ? 2 f ? x ? , g '? x? ? ? 0, g ? x ? 递增 2 x x3

解析:设 g ? x ? ?

?

f ? 2 ? f ? 3? f ? 2 ? 4 ? ? ? 4 9 f ? 3? 9

设 h ? x? ?

f ? x? xf ' ? x ? ? 3 f ? x ? , h '? x? ? ? 0, h ? x ? 递减 3 x x4

?

f ? 2? f ? 3? f ? 2 ? 8 f ? 2? 4 8 ,所以 ? ? ? ? ? 8 27 f ? 3? 27 27 f ? 3? 9
1 3 ,且 0 ? A ? ? ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

cos 2 A ? 1 ? 2sin 2 A ? ?
(16)解:(Ⅰ) 因为 所以 sin A ?

6 .--------------------------2 分 3

因为 c ? 3,sin A ? 6 sin C , 由正弦定理

a c ? ,得 a ? 6 ? c ? 6 ? 3 ? 3 2 .???????6 分 sin A sin C

(Ⅱ) 由 sin A ?

6 ? 3 . , 0 ? A ? 得 cos A ? 3 2 3

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 . -------9 分 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍负) . 所以 S?ABC ?

1 5 2 . bc sin A ? 2 2
F

???????12 分

(17)解析: (I) 证法一: 设 AC ? BD ? O , BF 的中点为 H ,因为 G 是 BE 的中点,

E

GH / / EF / / AC , GH ?

1 AC ? OC 2
A

D H G O C

? OCGH 是平行四边形? CG / / OH

CG ? 平面BDF , OH ? 平面BDF

B

CG / / 平面BDF
证法二:因为 G 是 BE 的中点,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2CG ? CB ? CE ? DA ? AF ? DF
? CG / / DF

CG ? 平面BDF , DF ? 平面BDF

?CG / / 平面BDF
(II) 设 EF 的 中点为 N , ACEF 是矩形, ON ? AC ,

平面ACEF ? 平面ABCD ,?ON ? 面ABCD ?ON ? AC, ON ? BD
四边形 ABCD 是菱形,? AC ? BD 以 O 为原点, OB 所在直线为 x 轴, OC 所在直线为 Y 轴, ON 所在直线为 Z 轴 建立空间 直角坐标系

AB ? 2, AF ? 1, ?BAD ? 600

? ? ??? ? ??? ? DB ? ? 2, 0, 0 ? , BF ? ? ?1, ?
??

B ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , F 0, ? 3,1 , E 0, 3,1 , D ? ?1, 0, 0 ? ??? ? 3,1 , EF ? 0, ?2 3, 0

?

? ?

?

?

?

?
?? ?

平面 BEF 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,平面 BDF 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ?

?? ??? ? ?? ? n ? EF ?0 ? ? 1 ? ?2 3 y1 ? 0 ?? 令 z1 ? 1, n1 ? ?1,0,1? ? ? ?? ??? ?n1 ? BF ? 0 ? ?? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ? ?? ? ??? ? ?? ? ? 2 x2 ? 0 ? ?n2 ? DB ? 0 ? ? ? n ?? ? ??? ? ? ? 2 ? 0,1, 3 ? x ? 3 y ? z ? 0 n ? BF ? 0 ? ? ? 2 2 2 ? 2 设二面角 E ? BF ? D 的大小为 ?

?

?

则 cos ? ?| cos ? n1 ,n2 ?|?

?? ??? ?

3 6 ? 4 2?2

(18) 解析(1)第 7 行的第三个数为 41;-------------------------------2 分 (2)由已知得 bn?1 ? bn ? n ,-------------------------------------4 分

?当n ? 2时,b3 ? b2 ? 2, b4 ? b3 ? 3,?, bn?1 ? bn ? n ,
bn?1 ? b2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? bn?1 ? 1 ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? ? 1 ?
又 ? bn ? 1 ? 分 (3)由(2) cn ? 2 ?bn ?1? ? n ? n2 ,

n ? n ? 1? 2

n(n ? 1) ? n ? 2 ? . --------------------------------------------7 2

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2? 2 ? ? ? ? c2 k 4k 4k ? 1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

-----------------------9 分

1 1 1 1 1? 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2 c4 c6 c2 n 2 ? 3 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? 2 n ? 1 2n ? 1 ?
1? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? -------------------------------------------------------2 ? 2n ? 1 ? 2
--12 分

(19)解: (1)第 2 局中可能是乙当裁判,其概率为 所以第 3 局甲当裁判的概率为

1 2 ,也可能是丙当裁判,其概率为 , 3 3

1 1 2 1 4 ? ? ? ? . 3 3 3 2 9
(2) X 可能的取值为 0,1, 2 .

????????6 分 ????????7 分

2 1 2 2 ? ? ? ; ????????8 分 3 2 3 9 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 17 p( X ? 1) ? ? ( ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ; ????????9 分 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 27 1 2 1 1 1 4 p( X ? 2) ? ? ( ? ? ? ) ? . ????????10 分 3 3 2 3 3 27 p( X ? 0) ?
所以 X 的数学期望

2 17 4 25 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? . 9 27 27 27
(20)(本题满分 13 分)

????????12 分

x 2x x x x 解(I) f ? x ? ? xe ? ae ? e x ? ae ? e ? 0 ,只需证:当 a ?

?

?

1 时,x ? ae x ? 0 即可 e

--------------------------------1 分

g ? x ? ? x ? aex , g ' ? x ? ? 1? aex ? 0
所以 e ?
x

1 1 ,? x ? ln --------------------------------------------------2 分 a a

1? ? ? 1 ? x ? ? ??,ln ? , g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 递增;x ? ? ln , +? ? , g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 递减 ------4 分 a? ? ? a ?
1 ln 1 1 ? 1? g ? x ? ? g ? ln ? ? ln ? ae a ? ln ? 1 ? ln e ? 1 ? 0 a a ? a?

所以当 a ?

1 1 时,x ? ae x ? 0 从而当 a ? 时, f ? x ? ? 0 ------------------6 分 e e

x 2x x x (II) f ' ? x ? ? ? x ? 1? e ? 2ae ? e x ? 1 ? 2ae

?

?

函数 f ? x ? 有两个极值点,等价于 y ? f ' ? x ? 有两个变号零点

x ?1 有两个不相同的根-----------------------------------7 分 ex x ?1 ?x 设 h ? x? ? x , h '? x? ? x e e
即方程 2a ?

x ?? ??,0? , h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 递增;x ??0, ??? , h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 递减--------9 分 h ? x ?max ? h ? 0? ? 1, h ? ?1? ? 0 ---------------------------------------10 分 x ? ?1, h ? x ? ? 0, x ? ??, h ? x ? ? 0, x ? ??, h ? x ? ? ??
当 0 ? 2a ? 1即0 ? a ? 方程 2a ? 分 (21) 解: (1) C 2 : y ?

x ?1 有两个不相同的根 , 函数 f ? x ? 有两个极值点 ----------------------13 ex

1 时,y ? 2a与y ? h ? x ? 有两个交点 2

1 2 x ? 1 的顶点 F ? 0,1? ,抛物线 C1 : x2 ? 4 y --------------2 分 2

直线 l1 : y ? k1 x ? 1, l2 : y ? k2 x ? 1

? y ? k1 x ? 1 ? x2 ? 4k1 x ? 4 ? 0 ? 2 x ? 4 y ?

,


B

A? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ?

A N

M

F C
10 5

D

5

10

15

x1 ? x2 ? 4k1 , x1x2 ? ?4
----------------------3 分

--------------------------------------



x1 ? x2 2 ? 1? ? 2k1 , yM ? 2k12 ? 1, 即M ? 2k1 , 2k12 ? 1? ,同理 N ? 2k2 , 2k2 2 1 M , N 两点的坐标满足方程 C 2 : y ? x 2 ? 1 ,--------------------------------5 分 2 xM ?

k MN ?

2 2 ? k2 ? k12 ?

2k2 ? 2k1
2

? k2 ? k1
2

直线 MN : y ? 2k1 ?1 ? ? k1 ? k2 ? ( x ? 2k1 ) ? ? k1 ? k2 ? x ? 2k1 ? 2k1k2

?k1k2 ? ?2? y ? 2k12 ?1 ? ? k1 ? k2 ? x ? 2k12 ? 2k1k2
即 y ? ? k1 ? k2 ? x ? 5 所以直线 MN 过定点 ? 0,5? ----------------------------7 分 (II)① | MN |?

? 2k1 ? 2k2 ?

2

2 ? ? 2k12 ? 2k2 ? ?2 2

? k1 ? k2 ?

2

?1 ? ? k1 ? k 2 ?2 ? ? ?

F 到直线 MN 的距离 d ?

4 1 ? ? x1 ? x2 ?
2

--------------------------------8 分

S?FMN ?

1 | MN | ?d ? 4 2

? k1 ? k2 ?

2

2 ? 4 k12 ? k2 ? 2k1k2

2 ? 4 k12 ? k2 ? 4 ? 4 2 | k1 || k2 | ?4 ? 4 8 ? 8 2 -------------------10 分

②,设 A? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? , B ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ?

x1 ? x2 ? 4k1 , x1x2 ? ?4 , x3 ? x4 ? 2k2 , x3 x4 ? ?4
1 2 2 2 x1 x2 ? 1, y1 ? y2 ? k1 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 4k12 ? 2 , y3 y4 ? 1, y3 ? y4 ? 4k2 ?2 16 1 1 ?AFB ? ? , S1S3 ? | FA || FB | sin ? ? | FC || FD | sin ? 2 2 1 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1?? y3 ? 1?? y4 ? 1? sin 2 ? 4 1 ? ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? 1?? y3 y4 ? y3 ? y4 ? 1? sin 2 ? 4 1 2 2 ? ? 4k12 ? 4 ?? 4k2 ? 4 ? sin 2 ? ? 4 ? k12 ? 1?? k2 ? 1? sin 2 ? -------------12 分 4 1 1 2 2 4 S2 ? | FM |2 | FN |2 sin 2 ? ? ? 4k12 ? 4k14 ?? 4k2 ? 4k 2 sin 2 ? ? 4 4 y1 y2 ?
2 ? 4k12 k2 ?1 ? k12 ??1 ? k22 ? sin 2 ? ? 16 ?1 ? k12 ??1 ? k22 ? sin 2 ?

2 所以 S2 ? 4S1S3

------------------------------14 分


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