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n次方程式


§ 4?5

n 次方程式

(甲) n 次方程式的引入與解的意義
(1)由 n 次多項式到 n 次方程式 f(x)= a n x n +a n?1 x n?1 +…+a 1 x+a 0 是 n 次多項式, 方程式 f(x)=0 稱為 n 次(多項)方程式。 x 例如:3x? 35 =0,x 2 ?3x?54=0,(1+ 100

) 3 =1.2 分別是 1 次、2 次、3 次方程式。 (2)方程式的根: 一個數 x 0 若滿足 f(x 0 )=0,就稱 x 0 為方程式 f(x)=0 的根或解。有時特別強調 x 0 為複數、實數、有理數或整數, x 0 又稱為複數根、實根、有理根或整數根。 (3)實根的幾何解釋: 例如: (1)y=f(x)=x 2 ?3x?4 的圖形,如右圖所示: 圖形與 x 軸相交於兩點(?1,0)、(4,0), 其橫坐標?1 與 4 就是 x 2 ?3x?4=0 的實根。 (2)y=g(x)=x 2 +x+1 的圖形,如右圖所示: 1 3 圖形與 x 軸沒有交點,因為 y=g(x)=(x+ 2 ) 2 + 4 , 所以沒有任何實數 x,使得 g(x)=0,故 g(x)=0 沒有實根。 ?1? 3i 方程式 x 2 +x+1=0 的解 x= 。 2
(?1,0)

y
(4,0)

O

x

y

O

x

一般而言,n 次多項式 y=f(x)的圖形是一條波浪形、平滑的連續曲線。 若該曲線和 x 軸相交,那麼交點 P(x 0 ,f(x 0 ))的橫坐標 x 0 必滿足 f(x 0 )=0,所以 x 0 是方程式 f(x)=0 的一個實根,如果該曲線與 x 軸沒有交點,此時任何實數均 不是方程式 f(x)=0 的根,因此方程式 f(x)=0 無實根。 實係數 n 次方程式 f(x)=0 的實根? ?n 次函數 y=f(x)的圖形與 x 軸交於點(?,0)

(乙)n 次方程式的基本概念
討論 n 次方程式,就是要處理下面三個問題: 有沒有解? 有多少解? 如何找出解?

~4?5?1~

有沒有解的問題: 一個實係數的 n 次方程式,不一定有實數解。例如 x 2 +1=0 就沒有實數解, 為此我們引進了複數,在複數系中,x 2 +1=0 有兩個複數根 i 及?i。但就一般 的 n 次方程式,在複數系中,是不是一定有根呢?這個存在性的問題,在 西元 1799 年時,德國數學家高斯 (Gauss 1777?1855)在他的博士論文中證明 了在複數系中,n 次方程式一定有根,它所討論的方程式不限於實係數而是 複數的係數,但實數亦可看作是複數,所以這個結果亦可 用到實係數的 n 次方程式。我們將高斯的結果寫成下列的定理: 代數基本定理:每一個 n 次方程式,只要 n?1,就至少有一個複數根。 有了代數基本定理之後,我們不用擔心是否要為了找根而要一直擴展數系, 因為它告訴我們,一個複係數的 n 次方程式,在複數系中,一定有複數根。 所以我們只要將數系擴展到複數系,就解方程式而言就足夠了。

有沒有公式解: 另一個存在性的問題就是 n 次方程式有無求公式解 (將係數加減乘除開根號)的 方法? 先來看一看幾個例子: n=1 時 n=2 時 ax+b=0 的解是
2

b x= ? a 。

ax +bx+c=0 的解是

? b ? b 2 ? 4ac x= 2a

至於 n=3 或 4 的公式解,一度曾經是數學競技鬥智的焦點。期間頗多戲劇化 的 情 節 發展。結果三次方程式由卡丹 (Carden)於 1545 年公佈其 解法於其著作 「Ars Magna」中,而據傳說此解法是由 Tartaglia 教給 Carden,並以保守此秘 密為條件,不料 Carden 竟然背信,將解法公佈,並據為己有,可見 Carden 此 人 為 達 目 的 不 擇 手 段 。 至 於 四 次 方 程 式 的 公 式 解 是 由 Carden 的 弟 子 斐 拉 利 (Ferrari 1522?1565)所提出的。 但是對於五次方程式的堡壘,卻久攻不下,這個問題持續了兩三百年,直到 1832 年,一位法國青年 Galois 在其決鬥前夕,在它的遺書中,這位偉大的青年 數學家引進了「群」的理論,證明了:五次及五次以上的方程式,不可能有公 式解。從此數學家才解除了尋找公式解的惡夢。

解的個數: 一次方程式恰有一個根,二次方程式如果重根算是兩個,那麼二次方程式就 恰有兩個根。 一般而言,如果計算重根的個數, (重根算二個、三重根算三個, …)那麼根 據代數基本定理以及因式定理,我們 可推得以下定理:

~4?5?2~

定理:n 次方程式就恰有 n 個根。

(丙)多項方程式解的性質:
例子: x 2 ?5x+6=0 ? x=2 或 3 ?1? 3 i x 2 +x+1=0 ?x= 2 3 2 x ?x +4x?4=0 ?(x?1)(x 2 +4)=0 ?x=1,2i,?2i x 4 +5x 2 +4=0 ? (x 2 +1)(x 2 +4)=0 ? x=i ,?i,2i,?2i [討論]:能否造出一個實係數的二次方程式以 1?i 為它的一個虛根? 否造出一個只含一個虛根 1?i 的實係數二次方程式?

(1)實係數 n 次方程式虛根成對: 定理一:若 f(x)=a n x n +a n?1 x n?1 +…+a 1 x+a 0 為一實係數 n 次多項式,z 為一個複數, 則 f ( z) ? f ( z) 。 引理 1:若 z 1 ,z 2 為二複數,則(a) z1 ? z2 ? z1 ? z 2 (b) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 。 證明:

引理 2: z n ? ( z) n ,其中 n 為正整數。 證明:

[定理一證明]:

~4?5?3~

定理二:設 f(x)=a n x n +a n?1 x n?1 +…+a 1 x+a 0 =0 為一實係數 n 次方程式, 若 z 為 f(x)=0 的一根,則共軛虛數 z 亦為 f(x)=0 的一根。 [證明]:

[討論]:(a)若 f(x)=0 為一個 3 次的實係數方程式,是否一定有實根呢? (b)若 f(x)=0 為一個 4 次的實係數方程式,是否一定有實根呢? 一般的情形: (a)若 f(x)=0 為一個奇數次的實係數方程式,一定有實根。 (b)若 f(x)=0 為一個偶數次的實係數方程式,一定有偶數個實根。 (可能沒有實根) (2)有理根成對: 先舉一個例子: 設 f(x)=x 4 ?6x 3 +7x 2 +6x?2 (a)驗證 2+ 3是有理係數 f(x)=0 的一個無理根。 (b)取 g(x)=[x?(2+ 3)][x?(2? 3)]=x 2 ?4x+1,請問 f(x)是否能被 g(x)整除? (c)請問 2? 3是否為 f(x)=0 的另一個無理根。

~4?5?4~

一般情形: 設 f(x)為有理係數多項式,a,b 為有理數,且 b 為無理數 若 x=a+ b 為 f(x)=0 之一根,則 x=a? b 亦為其根。 [證明]:

[例題1] 設 f(x)=anxn+an?1xn?1+…+a1x+a0=0 為一實係數 n 次方程式: (1)若 f(2?3i)=?4+5i,求 f(2+3i)=? (2)若 f(?1+6i)= ?5,求 f(?1?6i)=? Ans:(1)?4?5i (2)?5

[例題2] 實係數方程式 x4?5x3?2x2+14x?20=0 有一根 1+ i ,則求方程式所有的根。 Ans:1+i,1?i,?2,5

[例題3] 設 a,b 為實數,若 2i?1 為 x4+3x3+(a+1)x2+ax+b=0 的一根,則求 a,b 之值。 Ans:a=7,b=5

~4?5?5~

[例題4] 若 a,b 為有理數,若 1? 2 為 x4+ax3?6x2+bx+1 之一根求 a,b 之值,並解此方 程式。 Ans:a=0,b=0;1? 2 ,?1? 2

(練習1) f(x)為實係數多項式,已知 f(3+5i)=7?2i,則 f(3?5i)=? Ans:7+2i (練習2) f(x)=x 4 ?8x 3 +25x 2 ?30x+8,試求 f(2+i)=?f(2?i)=? Ans:6i,?6i (練習3) 已知 2+i 為 f(x)=x 4 ?4x 3 +8x 2 ?12x+15 的一根,求 f(x)=0 所有的根。 Ans:2?i,? 3 i (練習4) 設 f(x)為實係數三次多項式,且 f(i)=0 (i= ?1 ),則函數 y=f(x)的圖形 與 x 軸有幾個交點? (A)0(B)1(C)2(D)3(E)因 f(x)而異。 Ans:(B) (練習5) 設實係數多項式 f(x)=2x 3 +3x 2 +mx+n,若 f(i?1)=0,則數對(m,n)=? Ans:(2,?2) (練習6) 設 a 為有理數,若 2+ 3 為 x 4 ?4x 3 +2x 2 ?4x+a 之一根,則 a=? Ans:a=1 (3)根與係數的關係: [例題5] 設三次方程式 ax3+bx2+cx+d=0 之三根為?,?,? ,試求根與係數之關係: (1)? +? +? = (2)??? +??? +??? = (3)????? = 。 b Ans:(1)?a c (2)a d (3)?a

~4?5?6~

[例題6] 設四次方程式 ax4+bx3+cx2+dx+e=0 之四根為? ,? ,? ,? 試求根與係數的關係 , : (1)四根之和,(2)任意相異兩根乘積之和,(3)任意相異三根乘積之和,(4)四 根之積。 b c ?d e Ans:(1)?a (2)a (3) a (4)a

[討論]:一般的 n 次方程式根與係數的關係:

(練習7) 設方程式 2x 3 +3x?5=0 的三根為 ?、?、?,求下列各式的值: 1 1 1 (a) + + (b)?2 +? 2 +? 2 ? ? ? 3 Ans:(a) 5 (b)?3 (練習8) 已知方程式 x 4 ?x 3 ?56x 2 +ax+b=0 的根中,有二根的比為 2:3,而另二根 的差為 1,求整數 a,b 之值。 Ans:a=36,b=720

(丁)解根的方法:
(1)整係數的 n 次方程式找有理根: (a)一次因式檢驗定理: 設 f(x)=a n x n +a n?1 x n?1 +…+a 1 x+a 0 為一個整係數 n 次多項式,若整係數一次式 ax?b 是 f(x)的因式,且 a,b 互質,則 a|a n 且 b|a 0 。 (b)有理根檢驗定理: 設 f(x)=a n x n +a n?1 x n?1 +…+a 1 x+a 0 =0 為一個整係數 n 次方程式, b 若 x ? 為 f(x)=0 之一有理根,a,b 為整數且互質,則 a|a n 且 b|a 0 。 a
~4?5?7~

1 [例題1] 解方程式 2x4+x3?21x2?2x+6=0。Ans:3,2 ,?2+ 2 ,?2? 2

[例題2] 設 f(x)=12x4?56x3+89x2?56x+12=0 1 f(x) (1)令 x+ =t,將 2 =0 化為 t 的方程式。 x x (2)試解出 t,再解出 x。 5 13 1 23 Ans:(1)12t2?56t+65=0 (2)t=2, 6 ,x=2,2,3,2

[例題3] 設 a,b,c 為整數 且 x4+ax3+bx2+cx+9=0 之四根為相異之有理數 求 a,b,c 之值。 , , Ans:a=0,b= ?10,c=0

[例題4] 證明: 3 2 為無理數。

~4?5?8~

(練習9) 試求方程式 f(x)=6x 4 +5x 3 +3x 2 ?3x?2=0 之有理根。

2 ?1 Ans: 3 , 2

(練習10) 解下列方程式: (1)2x 3 +7x 2 ?7x?5=0 (2)3x 4 +x 3 ?8x 2 +x+3=0 (3)(x+1)(x+3)(x+5)+(x+7)+15=0 1 ? 3 ? 29 ? 7 ? 13 Ans:(1)x=? 2 或 (2)x=1,1,或 2 6 (3) x=?2,?6,?4? 6 [提示:方程式可化為 (x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+15=0?(x 2 +8x+7)(x 2 +8x+15)+15=0,令 y=x 2 +8x ?(y+7)(y+15)+15=0,解 y,再解 x。]

(練習11) 設整係數方程式 x 4 +3x 3 +bx 2 +cx+10=0 有四個相異有理根,則其最大根 為 。 Ans:2 (練習12) 設 p,q 為自然數,且 f(x)=x 5 ?2px 4 +x 3 ?qx 2 +x?2 有整係數一次因式,則求 p,q 之值。 Ans:p=1,q=2 (練習13) 證明: 3 5 為無理數。

(2)無理根的問題: 利用整係數一次因式檢驗定理,可解決有理根的問題,但是就一般的方程式而 言,要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一件容易的事情。 例如:f(x)=x 5 +3x 2 ?7x+2=0,由於它是整係數的 5 次多項式,所以一定有實根, 先考慮是否有理根,根據牛頓定理,x=?1,?2 逐一代入多項函數 f(x)中,去看 f(x)值的變化: x ? 2 ?1 1 2

f ( x) ? 4 11 ? 1 32 可以看出,f(x)=0 並無有理根,因為它一定有實根,所以它的實根必為無 理根。通常我們無法直接求出 f(x)=0 無理根的形式,只能求得它的近似值。從 上面的資料我們可以掌握一些重要的訊息:
當 x 從?2「連續地」變化到?1 時,對應的函數值 f(x)也從?4「連續地」變化 到 11。所以函數值 f(x)在?4 與 11 之間一定會有等於 0 的情形發生,換句話說, 在?2 與?1 之間一定有一個數?,f(?)=0;同理,在?1 與 1 之間會有一個數?,1 與 2 之間會有一個數?分別使得 f(?)=0,f(?)=0。 推廣這個概念可得以 下的定理:
~4?5?9~

勘根定理: 設 f(x)=0 為實係數 n 次多項方程式,a,b 是兩個實數, 若 f(a)?f(b)<0,則在 a,b 之間至少有一個 f(x)=0 的實根。 [定理的說明]: (a,f(a))

x (b,f(b))

注意:?從觀察圖形可知,當 f(a)?f(b)<0 時,則 a,b 之間的根必有奇數個根。 ?從圖形的觀察,當 f(a)?f(b)>0 時,f(x)=0 在 a,b 之間可能有根,也可能 無根,但若有根一定是偶數個根。 [例題7] 試問在那些連續整數之間,f(x)=12x3?8x2?23x+11=0 有實根? Ans:?2 與?1,0 與 1,1 與 2

[例題8] 設 f(x)=x3+2x?5,g(x)=2x2?3,證明:方程式 f(x)g(x)=0 在 1 與 2 之間至少存 在一實根。

~4?5?10~

[例題9] 設 a 是一個固定的正數,試證明:方程式 xn=a (n 為自然數)恰有一正實根。

(練習14) f(x)=12x 3 ?8x 2 ?23x+11=0 在 0 與 1 之間有一實根,試求其近似值到小數 點以下第二位。(第三位四捨五入)Ans:0.47 (練習15) 討論方程式 x 3 +x?5=0 是否有實根?有多少個實根? Ans:此方程式有一實根。 (練習16) f(x)=2x 3 +7x 2 +3x?3,試證:在 0 與 1 之間,存在一定數 k,使得 f(k)=5k+1。 [Hint:令 g(x)=f(x)?(5x+1),證明 g(x)=0 在 0 與 1 之間有實根 k]

綜合練習
(1) 解下列方程式: (a)x2+|2x?1|=0 (b)2x3+3x2+11x+5=0 (c)2x4?x3?9x2+13x?5=0。

(2) 已知方程式 x4?5x3?2x2+14x?20=0 之一根為 1+i,試解出此方程式其它的根。 (3) 設整係數方程式 x4+3x3+bx2+cx+10=0 有四個相異有理根,試求 b,c 的值。 (4) 設 a,b 為實數,a?0,若方程式 ax3+x2+bx+1=0 之一根為 2+ 2 i,試求 a,b 的值。 (5) 已知方程式 x4+ax3+ax2+11x+b=0 有二根 3,?2,求 a,b 的值及其它兩根。 (6) 找出方程式 x4?x3?9x2+2x+12=0 所有實根的位置是在那些連續整數之間。 (7) 二次方程式 ax2?(a?1)x?6=0 有一根介於 1 與 2 之間 另一根介於?1 與?2 之間 , , 求實數 a 之範圍。 (8) 設 f(x)與 g(x)為實係數多項式,用 x2?3x+2 除 f(x)得餘式 3x?4,用 x?1 除 g(x) 得餘式5,且 g(2)= ?3。 (a)試求以 x?1 除 f(x)+ g(x)的餘式。 (b)試證明:f(x)?g(x)=0 在1與2之間有實根。
~4?5?11~

(9) 設 a<b<c ,若 f(x)=(x?a)(x?b)+(x?b)(x?c)+(x?c)(x?a)=0 有兩實根? ,? , ? <? , 且 比較 a,b,c,? ,? 的大小。 (10) 設 f(x)=x4?3x3?16x2+3x+35,試問 y=f(x)的圖形在下面那個範圍中與 x 軸有交 點?(A)?1<x<0 (B)0<x<1 (C)1<x<2 (D)2<x<3 (E)3<x<4。 (11) 方程式 2x3?3x2+19x?60=0 的根,符合下列那些情形? (A)有一根介於?3 與?4 之間 (B)有一根介於 2 與 3 之間 (C)有 3 個實根 (D)恰有一個有理根 (E)有兩個無理根。 (12) 已知實係數四次多項函數 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,若 f(x)值之正負如下表:且 f(?3+2i)=0。 x 於?4 f(x) 值 下面那些結論是正確的?(A)?3,?2 之間有實根 (B)?1,0 之間恰有一個實根 (C)f(x)=0 有四個實根 (D) f(x)=0 恰有一正根(E) ?3?2i 為 f(x)=0 的根。 (13) y=f(x)為一多項函數,若 f(0)>0,f(1)<1,試證在 0,1 之間存在一實數 c,使得 f(c)=c2 。 (14) 已知方程式 x4?4x3?34x2+ax+b=0 之四根成等差數列,試求 a,b 的值及四個根。 (15) 已知方程式 x4+3x3+x2?5x?12=0,其中有兩根之乘積為?4,試解此方程式。 ? ? ? ? + 小 ?3 ?2 ?1 0

進階問題
(16) 解下列方程式: x2+2 x2+4x+1 5 (a)x4?4x3+x2+4x+1=0 (b) x2+4x+1 + x2+2 = 2 (17) 證明存在一正實數 r,使得 r4+2r+1= 2 。 (18) 設二多項式 f(x)與 g(x),對於二相異實數 a,b 有下列關係 f(a)<g(a),f(b)>g(b), 證明:在 a,b 之間存在一個實數 c 使得 f(c)=g(c)。
? a?b?c ? 2 ? (19) 設 a,b,c 滿足 ?ab ? bc ? ca ? ?5 , 求以 a,b,c 為三根的三次方程式 並解出 a,b,c , 。 ? abc ? ?6 ?

(c)2x2?6x?5 x2?3x?1 =5

~4?5?12~

(20) 令 f(x)=x4?4x3+11x2?14x+10,並設? ,? ,? , ?是方程式 f(x)=0 的四根。 (a)試求以??1,??1,??1, ??1 為四根的四次方程式 g(x)=0。 (b)先求 g(x)=0 的四根,再求 f(x)=0 的四根。

綜合練習解答
?1 ?1? 19i ?5 (1) (a)?1+ 5 ,1? 3 (b) 2 , (c) 1,1,1, 2 (2) 1?i,5,?2(3) b=?11, 2 ?5 ?23 c=?3 (4) a= 24 ,b= 12 (5) a=?3,b=6,1,1 (6) ?3 與?2,?2 與?1,1 與 2,3 與 7 4 (7) 2<a< 2 (8) (a)4 (b) 證明 f(x)=0 或 g(x)=0 在1與2之間有實根即可。 (9) a< ? <b< ? <c (10) (C) (11) (B)(D) (12) (B)(D)(E) (13) [提示:考慮 F(x)=f(x)?x 2 ] ?1? 17i (14) a=76,b=105,4 根為?5,?1,3,7 (15) ,?1? 2 i [提示:可令方程 2 1? 5 3? 13 式會化為(x 2 +ax?4)(x 2 +bx+3)=0,展開之後,再比較係數] (16) (a) 2 , 2 (b)0,?8,1,3 (c)5,?2 (17)[提示:令方程式 f(x)=x 4 +2x+1? 2 ,證明 f(x)=0 有一 實根] (18)[提示:考慮 F(x)=f(x)?g(x),證明 F(x)=0 在 a,b 之間有一實根](19) x 3 ?2x 2 ?5x+6=0;(a,b,c)=(1,3,?2)(1,?2,3)(3,1,?2)(3,1,?2)(3,?2,1),(?2,1,3)(?2,3,1) (20) (a)g(x)=x 4 +5x 2 +4 (b)1?i 1?2i

~4?5?13~


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