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江苏省2012届高三数学 全真模拟卷卷14


江苏省 2012 届高三全真模拟卷数学卷 14
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

C A 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x || x ? 1|? 1} ,则 U =
2 2



. ▲ .

2. 在平面直角坐标系中,双曲线 8kx ? ky ? 8 的离心率为

z?
3. 复数 4.等差数列 值是

2 ? mi 1? i

(m ? R)

是纯虚数,则 m ?



.

{an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 ? a7 ? 4 , a6 ? a8 ? ?2 ,则当 S n 取最大值时 n 的

▲ .

sin ? ? 3cos ? ?5 2 5. 已知 3cos ? ? sin ? ,则 sin ? ? sin ? cos ? =
3 3,则 c = ▲ .



.

6. 已知 a,b,c 是锐角△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,若 a = 3,b = 4,△ABC 的面积为

[0, ] 7. 函数 y ? x ? 2 cos x 在区间 2 上的最大值是

?



.

x2 y 2 ? ?1 2 2 3 8. 椭圆 4 的离心率为 e , (1 ,e) 是圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 的一条弦的中点, 点
则此弦所在直线的方程是 ▲ . 9. 已知在 m 、n 、 1 、 2 表示直线,? 、 ? 表示平面,若 m ? ? ,n ? ? , 1

l

l

l ? ? ,l2 ? ? ,

l1 ? l2 ? M ,则 ? // ? 的一个充分条件是

▲ .

10. 一颗正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷 三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为__▲__. 11. 如下图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C , 使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60? ,再由点

C 沿北偏东 15? 方向走 10 米到位置 D ,测得 ?BDC ? 45? ,
则塔 AB 的高是 ▲ 米 .

用心 爱心 专心

-1-

12.运行如右图所示的程序框图,若输出的结果是 62 , 则判断框中的整数 M 的值是 ▲ .

f ( x) ? x ?
13. 已知函数

1 ? a 2 , g ( x ) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 x ,若存在

?1 , ? 2 ? ? , a ? (a ? 1) ?a ?

?1

?

,使得 | f (?1 ) ? g (? 2 ) |? 9 ,则 a 的取值

范围是 ▲ . 14.已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个 ??? ? ???? ??? ? ? ? AB AC ? ? ???? ??? OA ? ? ? ??? ? ? | AB | cos B | AC | cos C ? ? ? ?, 点,动点 P 满足 OP ?

? ? (0, ??) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本题满分 14 分)



心.

? 1 ?? ?? ? ?? n ? ( 3 cos x, ? ) m ? (sin x, ?1) ,向量 2 ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . 已知向量
(1) 求 f ( x) 的最小正周期 T ; (2) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 ,且 f ( A) 恰是

[0, ] f ( x) 在 2 上的最大值,求 A, b 和 ?ABC 的面积 S .
16. (本小题共 14 分) 在如图所示的多面体中,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的 所有棱长均为 2,四边形 ABCD 是菱形。 (1)求证:平面 ADC1⊥平面 BCC1B1 (2)求该多面体的体积。
D

?

C1

A1

B1 C

A

B

17. (本小题满分 15 分) 已知圆 C: x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象限,半
2 2

径为 2 .
用心 爱心 专心 -2-

(1)求圆 C 的方程; (2)已知不过原点的直线与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线的方程. 18. (本小题满分 15 分) 已知公差大于零的等差数列 (1)求数列

{an } 的前 n 项和为 S ,且满足: a3 ? a4 ? 117 , a2 ? a5 ? 22 .
n

{an } 的通项公式 an ; {bn } 是等差数列,且
bn ? Sn n ? c ,求非零常数 c;
2Tn ? 3bn ?1 ? 64bn (n ? 9)bn ?1 .

(2)若数列

{b } T (3)若(2)中的 n 的前 n 项和为 n ,求证:

19. (本小题满分 15 分) 在一次数学实践活动课上,老师给一个活动小组安排了这样的一个任务:设计一个方案,将 一块边长为 4 米的正方形铁片,通过裁剪、拼接的方式,将它焊接成容积至少有 5 立方米的 长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后,立刻设计了一 个方案,如下图所示,按图 1 在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后,将剩下的部 分焊接成长方体(如图 2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到 的最大容积,最大容积是多少?是否符合要求?若不符合,请你帮他们再设计一个能符合要 求的方案,简单说明操作过程和理由.

图2 图1 20. (本小题满分 16 分)已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0, b ? 1) ,在区间 ?2, 3? 上
2

f ( x) ?
有最大值 4,最小值 1,设 (Ⅰ)求 a, b 的值;

g ( x) x .

(Ⅱ)不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1,1] 上恒成立,求实数 k 的范围;
x x

f (| 2 x ? 1 |) ? k (
(Ⅲ)方程 附加题部分

2 ? 3) ? 0 | 2 ?1| 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围.
x

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-3-

21.B.选修 4—2:矩阵与变换(本小题 10 分)
?1 A?? ? ?1 已知矩阵 2? 4? ?

,向量

? ?? ? 4

?7 ? ? ?.

(1)求 A 的特征值 ?1 、 ?2 和特征向量 ?1 、 ? 2 ; (2)计算 A ? 的值.
5

21.C.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题 10 分)
? ? ( ? ? R) C 4 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? , 曲线 C 2 的极坐标方程为 , 曲线 C1 , 2 ?

相交于

A , B 两点.

(1)把曲线 C1 , C 2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长度. 23. (本小题 10 分) 在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断 正确的概率为 p ,判断错误的概率为 q ,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现记“该 明星答完 n 题后总得分为 S n ” .

(1)当

p?q?

1 2 时,记 ? ?| S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望及方差;

1 2 p ? ,q ? 3 3 时,求 S 8 ? 2且S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 的概率. (2)当

24. (本小题 10 分) 已知数列 ?

an ?

的前 n 项和为 S n ,通项公式为

an ?

n ? S2 n , ? 1 1 f ( n) ? ? ? S 2 n ? S n ?1 ,n ? 2 , n,

(1)计算 f (1), f (2), f (3) 的值; (2)比较 f (n) 与 1 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.

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-4-

参考答案 1、 (?? , 0] ? [2 , ??)

3 2 或3 2、 4

3、-2

4、6

2 5、 5

?
6、 13 7、 6

? 3

8、 4 x ? 6 y ? 7 ? 0 13、 ?1,4?

9、

m // l1 且 n // l2

1 10、 12

11、 10 6

12、5

14、 (垂心)

?? ? ?? 1 f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ? 2 ????2 分 15、解: (1)

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 2 6 ????6 分
因为 ? ? 2 ,所以

?

T?

2? ?? 2 ????7 分

f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 2 6 (2) 由(Ⅰ)知:

?

? ? ? 5? x ? [0, ] ? ? 2x ? ? 2 时, 6 6 6
2x ?
由正弦函数图象可知,当

?
6

?

?
2 时 f ( x) 取得最大值 3

2A ?
所以

?
6

?

?
2,

A?

?
3 ????8 分 12 ? b 2 ? 16 ? 2 ? 4b ? 1 2 ∴ b ? 2 ???12 分

由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos A ∴
2 2 2

1 1 S ? bc sin A ? ? 2 ? 4sin 60? ? 2 3 2 2 从而 ????14 分

10 3 16、(2) 3

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-5-

17. 解: (Ⅰ)由 x ? y ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为
2 2

(?

D E ,? ) 2 2 ????1 分

∵圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称

(?
∴点

D E ,? ) 2 2 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 ??????3 分

D 2 ? E 2 ? 12 ?2 4 即 D+E=-2,------------①且 -----------------②
又∵圆心 C 在第二象限 由①②解得 D=2,E=-4 ∴所求圆 C 的方程为: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ??????8 分
2 2

∴ D ? 0, E ? 0

?????6 分

(Ⅱ)? 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设: x ? y ? ? ???10 分
2 2 ? 圆 C: (x ? 1) ? (y ? 2) ? 2

? 圆心 c(?1, 2) 到切线的距离等于半径 2 ,

?1 ? 2 ? ? ? 2 2 即
?? ? ?1或? ? 3 .

???????13 分

所求切线方程 x ? y ? 1或x ? y ? 3 ? 0 .????????15 分 18.解: (1) ∴

{an } 为等差数列,∵ a3 ? a4 ? a2 ? a5 ? 22 ,又 a3 ? a4 ? 117 ,

a3 , a4 是方程 x 2 ? 22 x ? 117 ? 0 的两个根

a ? a4 ,∴ a3 ? 9 , a4 ? 13 又公差 d ? 0 ,∴ 3



? a1 ? 2d ? 9 ? ?a1 ? 3d ? 13

?a1 ? 1 ? d ?4 ∴?



an ? 4n ? 3 ,

(2)由(1)知,

Sn ? n ?1 ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n 2 ,



bn ?

Sn 2n 2 ? n ? n?c n?c

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-6-

∴ ∵

b1 ?

1 6 15 b2 ? b3 ? 1? c , 2?c , 3?c ,

{bn } 是等差数列,∴ 2b2 ? b1 ? b3 ,∴ 2c 2 ? c ? 0 ,
c?? 1 2 ( c ? 0 舍去) ,



bn ?
(3)由(2)得

2n 2 ? n ? 2n 1 n? 2 ,

2Tn ? 3bn ?1 ? 2(n 2 ? n) ? 3(2n ? 2) ? 2(n ? 1) 2 ? 4 ? 4 , n ? 1 时取等号 .

64bn 64 ? 2n 64n 64 ? ? 2 ? ?4 (n ? 9)bn ?1 (n ? 9) ? 2(n ? 1) n ? 10n ? 9 n ? 9 ? 10 n , n ? 3 时取等号 15 分
2Tn ? 3bn ?1 ?
(1)、(2)式中等号不可能同时取到,所以

64bn (n ? 9)bn ?1 .

19. 解:(1)设切去正方形边长为 x,则焊接成的长方体的底面边长为 4-2x,高为 x , 2 3 2 所以 V1= (4-2x) ·x = 4(x -4x + 4x) (0<x<2) .???.. ???..2 / 2 ∴V1 = 4(3x -8x + 4),???.. ???.. ???.. 3 令 V1 = 0,即 4(3x -8x + 4) = 0,解得 x1 = ∵ V1 在(0,2)内只有一个极值, ∴ 当x = 2 128 128 时,V1 取得最大值 . <5,即不符合要求. ?.?. ?. 6 3 27 27
/ 2

2 ,x2 = 2 (舍去) .--------4 3

(2)重新设计方案如下: 如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图②,将切下的小正方形 焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一 个长方形,长为 3,宽为 2,此长方体容积 V2 = 3×2×1 = 6,显然 V2>5. 故第二种方案符合要求.

图① 图② ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?.12 注:第二问答案不唯一.

图③

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-7-

20.解:(Ⅰ)(1) g ( x) ? a ( x ? 1) ? 1 ? b ? a
2

g ( x)在 ? 2, 3? 当 a ? 0 时, 上为增函数
? g (3) ? 4 ?9a ? 6a ? 1 ? b ? 4 ?a ? 1 ? ? ?? ? g (2) ? 1 ? 4a ? 4a ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 故?


a ? 0时,g ( x)在 ? 2, 3?

上为减函数

? g (3) ? 1 ?9a ? 6a ? 1 ? b ? 1 ?a ? ?1 ? ? ? ? ? g (2) ? 4 ? 4a ? 4a ? 1 ? b ? 4 ?b ? 3 故?
? b ? 1 ? a ? 1 b ? 0 即 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 .
(Ⅱ)方程 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 化为
x x

f ? x? ? x ?

1 ?2 x .

2x ?

1 ? 2 ? k ? 2x x 2

1? (

1 2 1 1 ) ?2 x ? k ?t 2 x x 2 2 ,令 2 , k ? t ? 2t ? 1 1 t ? [ ,2] 2
∴k ? 0 记 ? (t ) ? t ? 2t ? 1
2

∵ x ? [?1,1] ∴ ∴

? (t ) min ? 0

f (| 2 x ? 1 |) ? k (
(Ⅲ)方程

2 ? 3) ? 0 | 2 ?1| 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围.
x

| 2 x ? 1 | 2 ?(2 ? 3k ) | 2 x ? 1 | ?(1 ? 2k ) ? 0 , | 2 x ? 1 |? 0
令 | 2 ? 1 |? t , 则方程化为 t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k ) ? 0 ( t ? 0 )
x 2

| 2x ?1| ?
∵方程
x

1 ? 2k ? (2 ? 3k ) ? 0 | 2x ?1| 有三个不同的实数解,

∴由 t ?| 2 ? 1 | 的图像知,

t 2 ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k ) ? 0 有两个根 t1 、 t 2 ,
且 0 ? t1 ? 1 ? t 2 或 0 ? t1 ? 1 , t 2 ? 1

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-8-

记 ? (t ) ? t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k )
2

?? (0) ? 1 ? 2k ? 0 ? ? (1) ? ?k ? 0 则?



? ?? (0) ? 1 ? 2k ? 0 ? ? ? (1) ? ?k ? 0 ? 2 ? 3k ? 0 ? 2 ?1 ? ∴k ? 0

附加题参考答案

f (? ) ?
21.B 解: (1)矩阵 A 的特征多项式为

? ?1
1

?2

? ? 4 ? ? 2 ? 5? ? 6 ? 0
?1? ? ? .???5 分

得 ?1 ? 2, ?2 ? 3 ,当

?1 ? 2时, 解得?1 ? ? ? 1

?2? ? ? ,当

?2 ? 3时, 解得? 2 ? ? ? 1

? 2m ? n ? 7 得m ? 3, n ? 1 ? ? ? m?1 ? n? 2 得 ?m ? n ? 4 (2)由 .
5 5 5 5 由(2)得: A ? ? A (3?1 ? ? 2 ) ? 3( A ?1 ) ? A ? 2

????????7 分

?2? ?1? ? 435? ? 3(?15?1 ) ? ?25? 2 ? 3 ? 25 ? ? ? 35 ? ? ? ? ? ?1 ? ?1? ?339 ?
21.C.解: (1)曲线 C 2 :
?? ?
4 ( ? ? R )表示直线
2 2

??????10 分

y ? x ??????????2 分
即 ( x ? 3) ? y ? 9 .? 6 分
2 2

2 曲线 C1 : ? ? 6 cos? ,即 ? ? 6 ? cos? ,所以 x ? y ? 6 x

(2) ? 圆心(3,0)到直线的距离

d?

3 2 2 ,r

? 3 所以弦长 AB = 3
1

2.

???10 分

? ? ?| S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ? 2 ; 22. (1)

????????????1 分

1 3 1 1 1 1 1 P (? ? 1) ? 2C 3 ( ) ? ( ) 2 ? P (? ? 3) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? 2 2 4, 2 2 4 . ???????3 分 故
所以 ξ 的分布列为:

?
P

1

3

3 4

1 4

用心 爱心 专心

-9-

3 1 3 E? =1× 4 +3× 4 = 2 ;??????????????????????5 分 且
(2)当 S8=2 时,即答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误的题数是 3 题,?6 分 又已知 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题; 若第一题正确和第二题回答错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对题.
1 2 30 ? 8 80 80 3 3 P ? (C6 ? C5 ) ? ( )5 ? ( )3 ? 8 ? 7 (或 ) 3 3 2187 .????10 分 3 3 此时的概率为

?8 分

24. (1)由已知

f (1) ? S 2 ? 1 ?

1 3 ? 2 2,

f (2) ? S 4 ? S1 ?

1 1 1 13 ? ? ? 2 3 4 12 ,

1 1 1 1 19 f (3) ? S6 ? S 2 ? ? ? ? ? 3 4 5 6 20 ;

??3 分

(2)由(Ⅰ)知 f (1) ? 1, f (2) ? 1 ;下面用数学归纳法证明: 当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . (1)由(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (n) ? 1 ; (2)假设 n ? k (k ? 3) 时, f (n) ? 1 ,即 ??5 分

f (k ) ?

1 1 1 ? ?? ? ?1 k k ?1 2k ,那么 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2

f (k ? 1) ?

1 1 1 ? 1 1 1 ?1 ?? ? ? ??? ? ? ?? 2k ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? k k ?1 k ? 2 2k ? (2k ? 1) 2k ? (2k ? 2) 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? ?1? ? ? ??? ? ? ?1? 2k (2k ? 1) 2k (2k ? 2) ? 2k ? 1 2k ? ? 2k ? 2 2k ? ?1? 1 1 ? ?1 2k (2k ? 1) k (2k ? 2) ,所以当 n ? k ? 1 时, f (n) ? 1 也成立.??8 分

由(1)和(2)知,当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . 所以当 n ? 1 ,和 n ? 2 时, f (n) ? 1 ;当 n ? 3 时, f (n) ? 1 . ??10 分

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- 10 -


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