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四川成都树德中学高2014级第一期12月阶段性考试数学试题


成都树德中学高 2014 级第一期 12 月阶段性考试数学试题
命题人:常勇 一、选择题(每小题中有且只有一个选项正确,每小题 5 分,共 50 分). 1.已知 M ? 0, a, a ? 1 , 1 ? M ,则实数 a 为(
2

C. ? k? ? , k? ? ? (k∈Z) 3 6 ? ?

?
<

br />4?

5? ?

D. 选项 A、B、C 都不正确 ).

?

?

10. 若 2sin2 ? ? 2sin2 ? ? sin ? ? 0 ,则函数 y ? sin2 ? ? 2sin2 ? 的值域为( A. ? 0, ? 2

). D. 1 或 2 或? 2 . ). D. sinx

A.

1

B.

0 或 2 或? 2 B.

C.

? 2
C. ).

? 1? ? ?

B. 0, ? ?

? 3? ? 8?

C. ? , ? ? 32 2 ?

? 3 3?

D. ?

? 3 3? ,? ? 32 8 ?

2.已知函数 f(x)在定义域上满足 f(x)f(y)=f(x+y),则 f(x)可能是( A.

二、填空题(填最简结果,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P ? 4, y ? 是角 ? 终边上一点,且

a x (a ? 0, a ? 1)

x loga (a ? 0, a ? 1)

x?

3.若 a ? 20.5 , b ? log π 3 , c ? log 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c

2 ,则( 5

C. c ? a ? b D. b ? c ? a 2 4.点 P 从(0,1)出发,沿单位圆逆时针方向运动 π 弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标为 ( 3 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? B.?-

sin ? ? ?
).

2 5 ,则 y=_____. 5

12.已知 tan(? ? ? ) ?

? ?

3 1? ,- ? 2 2?

3? ? 1 C.?- ,- ? 2 ? ? 2

D.?-

? ?

3 1? , ? 2 2? ) .

4 ? ,其中 ? ? ? ? ,则 cos ? =__________________. 3 2

13.已知 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图象如图所 示,则 f(x)=___________. 14.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f ( x ? 2) ? ? f(105.5)=________. 15.给出下列命题: ①函数 f ( x ) ? cos(2 x ? ②若 sin(2 x1 ?

5.已知 M、N 为集合 I 的非空真子集, 且 M、N 不相等, 若 N ? ?C1M ? ? ?, 则M ? N ? ( A. M B. N C.I D. ? ).

1 ,当 2 ? x ? 3 时,f(x)=x,则 f ( x)

?4π ? 6.如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图象关于点? ,0?中心对称,那么 ? 的最小值为( ? 3 ?
A. ?

? 6

B. ?

? 3

C.

π 3

D.

? 6

?
4

) 的周期是

? ; 2

7.已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x ? 0

?
3

,则下列结论正确的是(

).

) ? sin(2 x2 ?

?
3

) ? 0 ,则 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍;

A.f(x)是偶函数 B.f(x)的值域为[-1,+∞) C.f(x)是周期函数 D.f(x)是增函数 1 ? ? ? 8.已知 cos(75 ? ? ) = ,则 sin(? ? 15 ) ? cos(105 ? ? ) 的值是( 3 1 A. 3 B.0 1 C.- 3 2 D.- 3

③若函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ).

?
3

) ? a 在区间 ?0, ? ? 有两个不同零点 x1、x2 ,则 x1 +x2 ?

?
6



7? ; 6

④已知函数 y ? log 1 (ax 2 ? 2 x ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .
2

其中正确命题的序号有

.(把你认为正确的命题的序号都填上).

9.已知函数 f(x)= cos(2 x ? ? ) , 其中 ? 为实数.f ? x ? ? f ( ) 对 x∈R 恒成立, 且 f ( ) ? f (? ) ,

?

?

6

2

则 f(x)的单调递减区间是 ( A. ?2k? , 2k? ? ? ? (k∈Z)

). B. ? k? ? , k? ? (k∈Z) 12 12 ? ? ?
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?

?

5? ?

三、解答题(要求有清晰的过程,共 75 分) 16.(本小题 12 分)计算下列式子的值. (1) cos 0 ? sin ? ?

(1)求函数 f ( x ) 的周期. (2)求函数 y ? f (2 x ?

2 4 ? 5 ? ? ? ? cos ? ? tan ? . 3 3 ? 6 ?
? 2 2 3

?

? ?? ) 在区间 ? 0, ? 上的值域. 6 ? 4?

? 27 ? (2) ( 3 ? 1) ? (3 ? ? ) ? ? ? ? ? 8 ?
0

? lg 25 ? 2 lg 2 .

20. (本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

17.(本小题 12 分) (1)设 tan ? ? 2 ,求式子 (2)设 sin ? ? cos ? ?

(2)令 ? ? 1 ,将函数 y ? f ( x) 的横坐标缩短为原来的

1 ? sin ? cos ? 的值; sin 2 a ? cos 2 ?

1 ? 倍,再把所得函数的图像向左平移 个单 2 6

位,最后再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足:

1 ,求式子 sin ? ? cos ? 的值. 2

y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

18.(本小题 12 分)海水受日月的引力作用,在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地,早潮叫 潮,晚潮叫汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋。下 面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格: 时刻 水深 0:00 5.0 3:00 7.5 6:00 5.0 9:00 2.5 12:00 5.0 15:00 7.5 18:00 5.0 21:00 2.5 24:00 5.0 21.(本小题 14 分)已知 f ( x ) ? log a

x?2 (a ? 0, a ? 1) ,且 f(x)是奇函数. bx ? 2

(1)求 b 的值. (2)判断函数 f(x)在 (2, ??) 的单调性,并说明理由。 (3) 已 知 函 数

f ( x ) ? log a

x?2 (0 ? a ? 1) 的 定 义 域 为 bx ? 2

? m, n?

, 值 域 为

选用函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 来模拟港口的水深与时间的关系。 (1)求函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的解析式. (2)如果一条货船的吃水深度是 5 米,安全条例规定至少有 1.25 米的安全间隙(船底与洋底的距离), 则该船一天之内在港口内呆的时间总和为多少小时?

? ?loga a(n ? 1),loga a(m ? 1)? ?. ①求 a 的取值范围;②求证: 2 ? m ? 4 ? n ;

?? ? sin(2? ? x )cos(? ? x )cos ? ? x ? 2 ? ?. 19. (本小题 12 分)已知 f ( x ) ? 9 ? ? cos( ? x )sin ? ? ? ? x ? tan(? ? x ) ? 2 ?
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树德中学高 2014 级第一期 12 月阶段性考试数学试题
…………………………………………密…………………………………………封……………………………线………………………………………

18、 (12 分)

答题卷
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 三、解答题 16、 (12 分) 12、 13、 14、 15、

座位号:

19、 (12 分)

考号:

17、 (12 分)

班级:

姓名:

2014-12

高一数月 12

第 3 页共 4 页

20、 (13 分)

21、 (14 分)

2014-12

高一数月 12

第 4 页共 4 页

树德中学高 2014 级第一期 12 月阶段性考试数学试题 参考答案
一、选择题 CAABA DBDCA 二、填空题 11. 14. -8 2.5 12. ?

? f ( x) ? 2.5sin(

?
6

x) ? 5 ——————————6 分

(2)令 f ( x) ? 2.5sin(

?
6

x) ? 5 ? 5 ? 1.25 ——————————8 分

x ??0,24?
?1 ? x ? 5或13 ? x ? 17 ——————————10 分

3 5

13. 2sin?2x+

? ?

π? 3? ?

? 该船一天之内在港口内呆的时间总和为:(5-1)+(17-13)=8 小时. ——————12 分
?? ? sin(2? ? x )cos(? ? x )cos ? ? x ? ?2 ? f ( x) ? 19. 解: 9 ? ? cos( ? x )sin ? ? ? ? x ? tan(? ? x ) ? 2 ?

15. ①③④

三、解答题 16.解:(1)原式= 1 ?

1 1 ? ? 3 ? 3 .——————————6 分 2 2
4 4 ? 2 ? ? ? .——————————12 分 9 9
(1) T ?

?

(2) 原式= 1 ? (? ? 3) ? 17.解:(1) 又 tan ? ? 2

( ? sin x ) ? ( ? cos x ) ? ( ? sin x ) cos x ? ( ? cos x ) ? ( ? tan x )

? ? sin x ——————————4 分

1 ? sin ? cos ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? tan 2 ? ? 1 ? tan ? ? ? ———4 分 sin 2 a ? cos 2 ? sin 2 a ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1

2? ? 2? ——————————6 分 1

1 ? sin ? cos ? 22 ? 1 ? 2 7 ? ? .——————————6 分 ? 2 sin a ? cos2 ? 22 ? 1 3
(2)

(2) y ? f (2 x ?

?
6

) ? ? sin(2 x ?

?
6

) ——————————7 分

sin ? ? cos ? ?

1 2 1 4

0? x? ?

?
4

?
6

? 2x ?

?
6

?

? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ?

2? ——————————9 分 3

3 ——————————8 分 8

1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ——————————11 分 2 6 ? ?1 ? ? sin(2 x ?
20. 解(1)

?

7 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ——————————10 分 4

1 1? ? ) ? ? ,即所求值域为: ? ?1, ? ? ——————————12 分 6 2 2? ?

7 ——————————12 分 ? sin ? ? cos ? ? ? 2
18.解:(1)由 ? 由 T ? 12 ?

x ? [?

? 2?
4 , 3

], ? ? 0.

? A ? B ? 7.5 ? A ? 2.5 . ——————————2 分 ?? ? ? A ? B ? 2.5 ? B ? 5
?? ?

? ? x ? [?

?
4

?,

2? ?] 3

2?

?
6

函数 y=f(x)在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,且ω >0,

?

. ——————————4 分

由 f (3) ? 7.5, 且0 ? ? ? ? ? ? ? 0
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? ? ? ?? 4 ? ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 2? ? [? ? , ? ] ? ? ? , ? .即 ? ? ? 4 3 2 ? 2 2? ? 3 ?? ? 0 ? ?
?0 ? ? ? 3 4
——————————4 分

经检验,b=1 时满足题意.

?b ? 1
——————————3 分

— — — — — — —3分

(2)由(1)知 f ( x ) ? log a 令u ?

x?2 (a ? 0, a ? 1) . x?2

x?2 , x ? (2, ?? ), y ? log a u. x?2 x?2 4 ? 1? 为增函数. — — — — — — —4分 x?2 x?2

易知 x ? (2, ?? ), u ?

(2)由ω =1,则 f(x)=2sinx.

1 将函数 y ? f ( x) 的横坐标缩短为原来的 倍得 y ? 2sin(2 x ) . ————————5 分 2
再把所得函数的图象向左平移

又 0 ? a ? 1 时, y ? loga u 在定义域上为减函数;

a ? 1 时, y ? loga u 在定义域上为增函数。—————————5 分

? ? ? 个单位得 y ? 2sin 2( x ? ) ? 2sin(2 x ? ) . ——6 分 6 3 6
? ) +1. 3

?当0 ? a ? 1时,f ( x )在(2,+? )为减函数. 当a >1时,f ( x )在(2,+? )为增函数.
——————————6 分

最后再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin (2 x ?

? g(x)=2sin (2 x ?

? ) +1. ——————————7 分 3
5 3 ? 或 x ? k? ? ? .k ? Z . ——————————8 分 12 4

?m ? 2 ?0 ? (3)①易知 ? m ? 2 ,则 m ? 2,n ? 2. ——————————7 分 ? ?m ? 1 ? 0
函 数

令 g(x)=0,得 x ? k? ?

f ( x ) ? log a

x?2 (a ? 0, a ? 1) 的 定 义 域 为 bx ? 2

? m, n?

, 值 域 为

? 相邻两个零点间的距离为

? 2? 或 .——————————9 分 3 3

? ?loga a(n ? 1),loga a(m ? 1)? ?.
又由(2)知 f ( x )在(2,+?)为减函数.
*

若 b-a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间 a, ? ? a , a,2? ? a 分别恰有 3,5,…,2m+1 个零点.

?

??

? ?a, m? ? a? (m ? N

). 上

? log a

? 在区间 ? a,14? ? a ? 上恰有 29 个零点.
? 在区间 ?14? ? a, b? 上至少有一个零点,则 b ? a ? 14? ?
又在区间 ?

m?2 n?2 ? f ( x )max ? log a a( m ? 1) , log a ? fmin ( x ) ? log a a( n ? 1) .———8 分 m?2 n? 2
x?2 ? log a a ( x ? 1) .在(2,+∞)内有二不等实根 x ? m、n . x?2
2

?
3

∴关于 x 的方程 log a .—————————11 分

∴关于 x 的二次方程 ax ? (a ? 1) x ? 2(1 ? a) ? 0 在(2,+∞)内有二异根 m、n——10 分

5? ? ? ? 5? ,14? ? ? 上恰有 30 个零点. ——————————12 分 12 3 ? ? 12 ?

? b-a 的最小值为 14? ?
21. 解. (1)

?
3

?

43? .——————————13 分 3 x?2 (a ? 0, a ? 1) ,且 f(x)是奇函数. bx ? 2

f ( x ) ? log a

?0 ? a ? 1 ? ? ? (a ? 1)2 ? 8a (a ? 1) ? 0 ? 1 1 ? ?? a ?1 ? 0 ? a ? .则 0 ? a ? . ——————————12 分 9 9 ?2 ?? 2 a ? ? ? 4a ? 2(a ? 1) ? 2(1 ? a ) ? 0
②令Φ( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 2(1 ? a) .
2

?x ? 2 x?2 ?x ? 2 x ? 2 ?x ? 2 x ? 2 ? log a ? log a ( ? ) ? 0.即 ? =1 ?bx ? 2 bx ? 2 ?bx ? 2 bx ? 2 ? bx ? 2 bx ? 2 ? 4-x2 ? 4 ? (bx )2 恒成立,即1=b2 , b ? ?1. ? ? ? ? ? ? ? 2分 ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0.即 log a
2014-12 高一数月 12

Φ(2) ? 4a ? 0, Φ(4) ? 18a ? 2 ? 0 .


2? m ? 4? n.

——————————14 分

第 6 页共 4 页


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