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等差数列及其前n项和


等差数列及其前 n 项和

1.等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 a+b 如果 A= ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为 md 的等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1? 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 或 Sn=na1+ d. 2 2 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B 为常数). 7.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最__大__值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最__小__ 值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 若 一 个 数 列 从 第 二 项 起 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 差 都 是 常 数 , 则 这 个 数 列 是 等 差 数 列.( × ) )

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*,都有 2an+1=an+an+2.( √

(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的.( √ ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.( × ) (5)数列{an}满足 an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.( × )

(6) 已知数列 {an} 的通项公式是 an = pn + q( 其中 p , q 为常数 ) ,则数列 {an} 一定是等差数 列.( √ )

1.(2014· 福建)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14 答案 C 3×2 解析 由题意知 a1=2,由 S3=3a1+ ×d=12, 2 解得 d=2, 所以 a6=a1+5d=2+5×2=12,故选 C. 2.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1 等于( A.18 B.20 C.22 D.24 答案 B 解析 因为 S10=S11,所以 a11=0. 又因为 a11=a1+10d,所以 a1=20. 3.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于( A.58 B.88 C.143 D.176 答案 B 11?a1+a11? 11?a4+a8? 解析 S11= = =88. 2 2 )

)

)

4.(2013· 课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值 为________. 答案 -49 10 解析 由题意知 a1+a10=0,a1+a15= . 3 10 两式相减得 a15-a10= =5d, 3 2 ∴d= ,a1=-3. 3
3 2 ?na +n?n-1?d?=n -10n =f(n), ∴nSn=n· 1 3 2 ? ?

x3-10x2 令 f(x)= ,x>0, 3

1 f′(x)= x(3x-20). 3 20 令 f′(x)=0 得 x=0(舍)或 x= . 3 20 当 x> 时,f(x)是单调递增的; 3 20 当 0<x< 时,f(x)是单调递减的. 3 故当 n=7 时,f(n)取最小值,f(n)min=-49. ∴nSn 的最小值为-49.

题型一 等差数列基本量的运算 例1 (1)在数列{an}中,若 a1=-2,且对任意的 n∈N*有 2an+1=1+2an,则数列{an}前 10 ) 5 D. 4

项的和为(

5 A.2 B.10 C. 2

(2)(2013· 课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等 于( )

A.3 B.4 C.5 D.6 答案 (1)C (2)C 1 解析 (1)由 2an+1=1+2an 得 an+1-an= , 2 1 所以数列{an}是首项为-2,公差为 的等差数列, 2 10×?10-1? 1 5 所以 S10=10×(-2)+ × = . 2 2 2 (2)由题意得 am=Sm-Sm-1=2, am+1=Sm+1-Sm=3,故 d=1, m?m-1? 因为 Sm=0,故 ma1+ d=0, 2 m-1 故 a1=- , 2 因为 am+am+1=Sm+1-Sm-1=5, 故 am+am+1=2a1+(2m-1)d =-(m-1)+2m-1=5, 即 m=5.

思维升华 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其 中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用, 而 a1 和 d 是等差数列的两个 基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. (1)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于( A.12 B.13 C.14 D.15 1 (2)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6 等于( 2 A.16 B.24 C.36 D.48 S3 S2 (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是( 3 2 1 A. B.1 C.2 D.3 2 答案 (1)B (2)D (3)C 5?a1+a5? 解析 (1)由题意得 S5= =5a3=25,故 a3=5,公差 d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+ 2 5×2=13. (2)∵S4=2+6d=20,∴d=3,故 S6=3+15d=48. n?a1+an? Sn a1+an S3 S2 (3)∵Sn= ,∴ = ,又 - =1, 2 n 2 3 2 得 a1+a3 a1+a2 - =1,即 a3-a2=2, 2 2 ) ) )

∴数列{an}的公差为 2. 题型二 等差数列的性质及应用 例2 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( )

A.63 B.45 C.36 D.27 (2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数 列的项数为( )

A.13 B.12 C.11 D.10 S2 014 S2 008 (3)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 若 a1=-2 014, - =6, 则 S2 016=________. 2 014 2 008 答案 (1)B (2)A (3)2 016 解析 (1)由{an}是等差数列,得 S3,S6-S3,S9-S6 为等差数列. 即 2(S6-S3)=S3+(S9-S6), 得到 S9-S6=2S6-3S3=45,故选 B. (2)因为 a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146, a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180,

又因为 a1+an=a2+an-1=a3+an-2, 所以 3(a1+an)=180,从而 a1+an=60, n?a1+an? n· 60 所以 Sn= = =390,即 n=13. 2 2 Sn (3)由等差数列的性质可得{ }也为等差数列,设其公差为 d. n 则 故 S2 014 S2 008 - =6d=6,∴d=1. 2 014 2 008 S2 016 S1 = +2 015d=-2 014+2 015=1, 2 016 1

∴S2 016=1×2 016=2 016. Sn 思维升华 在等差数列{an}中,数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成等差数列;{ }也是等差数 n 列.等差数列的性质是解题的重要工具. (1)设数列{an}是等差数列,若 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+?+a7 等于( A.14 B.21 C.28 D.35 (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=30,则 S30=________. 答案 (1)C (2)60 解析 (1)∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4, ∴a1+a2+?+a7=7a4=28. (2)∵S10,S20-S10,S30-S20 成等差数列, ∴2(S20-S10)=S10+S30-S20, ∴40=10+S30-30,∴S30=60. 题型三 等差数列的判定与证明 3 1 1 例 3 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= (n∈N*). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. 1 (1)证明 因为 an=2- (n≥2,n∈N*), an-1 1 bn= (n∈N*), an-1 所以 bn+1-bn= = 1 1 - an+1-1 an-1 )

1 1 an 1 - = - =1. 1 an-1 an-1 an-1 ?2- ?-1 an

1 5 又 b1= =- . 2 a1-1

5 所以数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 7 (2)解 由(1)知 bn=n- , 2 1 2 则 an=1+ =1+ . bn 2n-7 2 设 f(x)=1+ , 2x-7 7 7 则 f(x)在区间(-∞, )和( ,+∞)上为减函数. 2 2 所以当 n=3 时,an 取得最小值-1,当 n=4 时,an 取得最大值 3. 思维升华 等差数列的四个判定方法: (1)定义法:证明对任意正整数 n 都有 an+1-an 等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an+1=an+an+2 后,可递推得出 an+2-an+1=an+1 -an=an-an-1=an-1-an-2=?=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列. (3)通项公式法:得出 an=pn+q 后,得 an+1-an=p 对任意正整数 n 恒成立,根据定义判定 数列{an}为等差数列. (4)前 n 项和公式法:得出 Sn=An2+Bn 后,根据 Sn,an 的关系,得出 an,再使用定义法证明 数列{an}为等差数列. (1)若{an}是公差为 1 的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( A.公差为 3 的等差数列 C.公差为 6 的等差数列 B.公差为 4 的等差数列 D.公差为 9 的等差数列 ) )

1 2 1 1 (2)在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N*),则该数列的通项为( 2 an+1 an an+2 1 A.an= n 2 C.an= n+2 答案 (1)C (2)A 解析 (1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2) =(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2) =2+2×2=6, ∴{a2n-1+2a2n}是公差为 6 的等差数列. 2 1 1 (2)由已知式 = + 可得 a an+1 an+2 n B.an= 2 n+1

3 D.an= n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 - = - ,知{ }是首项为 =1,公差为 - =2-1=1 的等差数列,所以 = an a1 a2 a1 an an+1 an an+2 an+1

1 n,即 an= . n

等差数列的前 n 项和及其最值 典例:(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前 10 项的和 S10 等于 ( )

A.45 B.60 C.75 D.90 (2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则 S110=________. (3)已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. (4)(2014· 北京)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时,{an}的前 n 项和最大. 思维点拨 (1)求等差数列前 n 项和,可以通过求解基本量 a1,d,代入前 n 项和公式计算, 也可以利用等差数列的性质:a1+an=a2+an-1=?; (2)求等差数列前 n 项和的最值,可以将 Sn 化为关于 n 的二次函数,求二次函数的最值,也可 以观察等差数列的符号变化趋势,找最后的非负项或非正项. 解析 (1)由题意得 a3+a8=9, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×9 ∴S10= = = =45. 2 2 2 (2)方法一 设数列{an}的公差为 d,首项为 a1, ×9 d=100, ?10a +102 则? 100×99 ?100a + 2 d=10,
1 1

?a = 100 , 解得? 11 ?d=-50.
1

1 099

110×109 所以 S110=110a1+ d=-110. 2 ?a11+a100?×90 方法二 因为 S100-S10= =-90, 2 所以 a11+a100=-2, ?a1+a110?×110 ?a11+a100?×110 所以 S110= = 2 2 =-110. (3)因为等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,代入求和公式得, n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=20n- ×2 2 2 21 21 =-n2+21n=-(n- )2+( )2, 2 2

又因为 n∈N*,所以 n=10 或 n=11 时,Sn 取得最大值,最大值为 110. (4)∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0. ∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴数列的前 8 项和最大,即 n=8. 答案 (1)A (2)-110 (3)110 (4)8 温馨提醒 (1)利用函数思想求等差数列前 n 项和 Sn 的最值时,要注意到 n∈N*; (2)利用等差数列的性质求 Sn,突出了整体思想,减少了运算量.

方法与技巧 1.等差数列的判断方法 (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn (A,B 为常数)?{an}是等差数列. 2.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通 过建立方程(组)获得解. 3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量. 4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a,a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d; (3)a-d,a+d,a+3d 等,可视具体情况而定. 失误与防范 1.当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函数,当公差 d=0 时,an 为常数. 2.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函数,且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差 d 等于( A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 答案 C )

? ?a1+?a1+6d?=-8, 解析 方法一 由题意可得? ?a1+d=2, ?

解得 a1=5,d=-3. 方法二 a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4, ∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3. 2.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+?+a101=0,则有( A.a1+a101>0 C.a3+a99=0 答案 C 解析 由题意,得 a1+a2+a3+?+a101 = a1+a101 ×101=0. 2 B.a2+a100<0 D.a51=51 )

所以 a1+a101=a2+a100=a3+a99=0. 3.设数列{an},{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37 等于( A.0 B.37 C.100 D.-37 答案 C 解析 设{an},{bn}的公差分别为 d1,d2, 则(an+1+bn+1)-(an+bn) =(an+1-an)+(bn+1-bn) =d1+d2, ∴{an+bn}为等差数列, 又 a1+b1=a2+b2=100, ∴{an+bn}为常数列,∴a37+b37=100. 4.等差数列{an}中,已知 a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 n 项和 Sn 的最大值为( A.S4 B.S5 C.S6 D.S7 答案 B
? ? ?a4+a7=a5+a6<0, ?a5>0, 解析 ∵? ∴? ?a5>0, ? ? ?a6<0,

)

)

∴Sn 的最大值为 S5. 5.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12, 则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是( A.24 B.48 C.60 D.84 答案 C 解析 由 a1>0,a10· a11<0 可知 d<0,a10>0,a11<0, )

∴T18=a1+?+a10-a11-?-a18 =S10-(S18-S10)=60.
2 6.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 -4,则 an=________.

答案 2n-1 解析 设等差数列的公差为 d,
2 ∵a3=a2 2-4,∴1+2d=(1+d) -4,

解得 d2=4,即 d=± 2. 由于该数列为递增数列,故 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a5+a7=4,a6+a8=-2,则当 Sn 取最大值时,n 的 值是________. 答案 6 解析 依题意得 2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;又数列{an}是等差数列,因此在该 数列中,前 6 项均为正数,自第 7 项起以后各项均为负数,于是当 Sn 取最大值时,n=6. 1 1 1 8.已知数列{an}中,a1=1 且 = + (n∈N*),则 a10=________. an+1 an 3 答案 1 4

1 1 1 解析 由已知 = +(10-1)× =1+3=4, a10 a1 3 1 ∴a10= . 4 9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7. 10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1<0,S2 015=0.

(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值; (2)求 n 的取值集合,使其满足 an≥Sn. 解 (1)设公差为 d,则由 S2 015=0? 2 015×2 014 2 015a1+ d=0?a1+1 007d=0, 2 2 015-n 1 d=- a ,a +a = a, 1 007 1 1 n 1 007 1 n n 2 015-n ∴Sn= (a1+an)= · a 2 2 1 007 1 = a1 (2 015n-n2). 2 014

∵a1<0,n∈N*, ∴当 n=1 007 或 1 008 时,Sn 取最小值 504a1. 1 008-n (2)an= a, 1 007 1 1 008-n a1 Sn≤an? (2 015n-n2)≤ a. 2 014 1 007 1 ∵a1<0,∴n2-2 017n+2 016≤0, 即(n-1)(n-2 016)≤0, 解得 1≤n≤2 016. 故所求 n 的取值集合为{n|1≤n≤2 016,n∈N*}. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) a11 11.已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn>0 的 n a10 的最大值为( )

A.11 B.19 C.20 D.21 答案 B a11 解析 ∵ <-1,且 Sn 有最大值, a10 ∴a10>0,a11<0,且 a10+a11<0, 19?a1+a19? ∴S19= =19· a10>0, 2 20?a1+a20? S20= =10(a10+a11)<0, 2 故使得 Sn>0 的 n 的最大值为 19. 12.(2013· 辽宁)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;

?an? p3:数列? n ?是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. ? ?

其中,真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 答案 D

) B.p3,p4 D.p1,p4

解析 由于 p1:an=a1+(n-1)d,d>0, ∴an-an-1=d>0,命题 p1 正确. 对于 p2:nan=na1+n(n-1)d, ∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d 与 0 的大小和 a1 的取值情况有关. 故数列{nan}不一定递增,命题 p2 不正确. an a1 n-1 an an-1 -a1+d 对于 p3: = + d,∴ - = , n n n n n-1 n?n-1? an 当 d-a1>0,即 d>a1 时,数列{ }递增, n 但 d>a1 不一定成立,则 p3 不正确. 对于 p4:设 bn=an+3nd, 则 bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0. ∴数列{an+3nd}是递增数列,p4 正确. 综上,正确的命题为 p1,p4. Sn 2n-3 a9 13. 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 + a3 的值为________. b8+b4 19 41

答案

解析 ∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 + = + = = . 2b6 b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 = = = = , T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41

a6 19 ∴ = . b6 41 14.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. (1)求 a 及 k 的值; Sn (2)设数列{bn}的通项 bn= ,证明数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. n 解 (1)设该等差数列为{an},则 a1=a,a2=4,a3=3a,

由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2, k?k-1? k?k-1? 所以 Sk=ka1+ · d=2k+ ×2=k2+k. 2 2 由 Sk=110,得 k2+k-110=0, 解得 k=10 或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10. n?2+2n? (2)由(1)得 Sn= =n(n+1), 2 Sn 则 bn= =n+1, n 故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列{bn}是首项为 2,公差为 1 的等差数列, n?2+n+1? n?n+3? 所以 Tn= = . 2 2 1 3an 15.已知数列{an}中,a1= ,an+1= . 2 an+3 (1)求 an; n?3-4an? 1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn· =1,求证: ≤Sn<1. an 2 3an (1)解 由已知得 an≠0,则由 an+1= , an+3 得 即 an+3 1 = , an+1 3an 1 1 1 1 - = ,而 =2, a1 an+1 an 3

1 1 ∴{ }是以 2 为首项,以 为公差的等差数列. an 3 n+5 1 1 ∴ =2+ (n-1)= , an 3 3 3 ∴an= . n+5 n?3-4an? (2)证明 ∵bn· =1, an 1 则由(1)得 bn= , n?n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+?+bn=(1- )+( - )+( - )+?+( - )=1- 关于 n 单调递增, 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 1 ∴ ≤Sn<1. 2


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