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河北省衡水中学2013-2014学年度上学期二调考试高三年级数学试卷


本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符 合要求的)

1.设 S n 是等差数列{an}的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8

) ,则

a5 的值为( a3

)

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6

2、如果 f ?(x) 是二次函数, 且 f ?(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线

y ? f (x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是
A. (0,





?
3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

D. [

?
3

,? )

3、在△ABC 中, AB ? BC ? 3 , ?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高,则 AD ? AC 的值等 于( A.0 ) B.

9 4

C.4

D. ?

9 4

4、已知数列

为等比数列,且.

a5 ? 4, a9 ? 64 ,则
C . 16

=(



A .8

B . ? 16

D.?8

5、已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,且 2a4 , a6 , 48 成等差数列,则 ?an ? 的前 8 项和为 ( ) A. 127 B. 255 C. 511 D. 1023

6、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ?

π )的 2

部分图象如右图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将

f ( x) 的图象( )

π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移
x

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12
B.向右平移 ) D.4

7、函数 f ( x) ? 2 | log 0.5 x | ?1 的零点个数为( A. 1 B.2 C. 3

8、设集合 A= x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B= x x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含 有一个整数,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ) C. ? , ?? ?
?

?

?

?

?

? ?

3? ? 4?

B. ? ,

?3 4 ? ? ?4 3 ?

?3 ?4

? ?
?

D. ?1, ?? ?
? ?

9、在△ABC 所在平面上有三点 P、Q、R,满足 PA ? PB? PC ? AB, 则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 ( QA ? QB? QC ? BC, ? RB? RC ? CA , RA A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5
? ? ? ? ? ? ? ?



10、 已知函数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切


线与 x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +…+ log 2013 x2012 的值为( A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012 D.1

11、 定义域为 R 的偶函数 f (x) 满足对 ?x ? R , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 有 且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,
则 a 的取值范围是 ( A. (0, )

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

12、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 ? 0, 2? 上是增函 数 , 若 方 程 f ( x) ? m(m ? 0) , 在 区 间 ? ?8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 =(
A.-12

) B.-8 C.-4 D.4

2013~2014 学年度上学期二调考试 高三年级数学(理科)试卷
第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分)

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位 置) 13、由曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ? 的面积是 14、在等比数列 ?a n ? 中,若 a 7 ? a8 ? a9 ? a10 ?

?
2

所围成的平面图形(图中的阴影部分)

15 , 8


1 1 1 1 9 a8 ? a9 ? ? ,则 ? ? ? ? 8 a 7 a8 a9 a10

15、在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个

三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?



16、 f ? x ?=asin2x+bcos2x , 设 其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ?

?? ? ? 对一切 x ? R ?6?

恒成立,则① f ? 是偶函数;

? 11? ? 12

? 7? ? ?? ? ? ? ? f ? ? ; ③ f ? x ? 既不是奇函数也不 ??0; ② f ? ? 12 ? ?5? ?

④ f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ? ; 3 ? ?

⑤ 存在经过点 ? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象不相交. 以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号) . 三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17、 (本题 10 分)

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2a ,1) ,p=( 2b ? c , cos C ) 且 p // q .求: (1)求 sin A 的值; (2)求三角函数式 18、 (本题 12 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:an= b1 b2 b3 bn + + +…+ n ,求数列{bn}的通项公式; 3+1 32+1 33+1 3 +1

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

anbn (3)令 cn= (n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 4

19、 (本题 12 分) 如图,在△ABC 中, sin

?ABC 3 ,AB=2,点 D 在线段 AC 上,且 AD=2DC, ? 2 3

BD ?

4 3 。 3

(1)求 BC 的长; (2)求△DBC 的面积。

20、 (本题 12 分) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a

1 , 记 1? x

F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x)
(1)求函数 F (x) 的定义域 D 及其零点;

(2)若关于 x 的方程 F ( x) ? m ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

21、 (本题 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x 1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

22、 (本题 12 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? a ln x (I) 若 x=2 是 函 数 f(x) 的 极 值 点 , 1 和 x 0 是 函 数 f (x) 的 两 个 不 同 零 点 , 且

x0 ? (n, n ? 1), n ? N ,求 n 。
(II) 若对任意 b ? ?? 2,?1? , 都存在 x ? (1, e) (e 为自然对数的底数),使得 f ( x) ? 0 成立, 求实数 a 的取值范围。

一、选择题

10、 【解析】函数的导数为 f '( x)=( n ? 1) x n ,所以在 x ? 1 处的切线斜率为 k ? f '(1)=n ? 1 , 所以切线斜率为 y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) ,令 y ? 0 得

xn ?

n ,所以 n ?1

1 2 2012 1 ,所以 x1 x2 ? x2012 ? ? ?? ? = 2 3 2013 2013 log 2013 x1 ? log 2013 x2 ? ? log 2013 x2012 ? log 2013
选 A. , 1 ? ?1 2013

二、填空题 13、 2 2 ? 2 三、解答题 17、解: (I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c ,根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C , 14、 ?

5 3

15、 4

16. ①②③

1 1 ? 3 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? ,又? 0 ? A ? ? ? A ? ;sinA= 2 2 2 3
5分 (II)原式 ?

? 2 cos 2C 2(cos 2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos 2 C ? 2 sin C cos C , sin C 1 ? tan C 1? cos C

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

),

2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin( 2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3

∴ ? 1 ? 2 sin( 2C ?

?
4

。。。 ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] .。。。10 分

20、解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以函数 F (x) 的定义域为 (?1, 1) ? ?1 ? x ? 0
令 F (x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ? 0 ……(*)方程变为 1? x

log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 0
解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3 ……4 分 经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 ,所以函数 F (x) 的零点为 0 .。。。 。。 6分 (2) m ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 (0 ? x ? 1) 1? x

m ? log a

x 2 ? 2x ? 1 4 4 ? log a (1 ? x ? ? 4) , a m ? 1 ? x ? ?4 1? x 1? x 1? x
4 在区间 (0, 1] 上是减函数,当 t ? 1 时,此时 x ? 1 , t

设 1 ? x ? t ? (0, 1] ,则函数 y ? t ?

y min ? 5 ,所以 a m ? 1 。①若 a ? 1 ,则 m ? 0 ,方程有解;②若 0 ? a ? 1 ,则 m ? 0 ,方
程有解。。。12 分 。。 21. ⑴因为函数 f ( x) ? a x + x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1) , 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 ,…………………………………………2 分 又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 . …………4 分 ⑵由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ?( x) 在 R 上是增函数, 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) .………………………………………………8 分 ⑶因为存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min , 所以只要 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 即可. 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x

(??,0)

0
0
极小值

(0, +?)

f ?( x)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值.

1 1 因为 f (1) ? f (?1) ? ( a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a , a a 1 1 2 1 令 g (a ) ? a ? ? 2ln a( a ? 0) ,因为 g ?(a ) ? 1 + 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , a a a a 1 所以 g (a ) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数. a

而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; 当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) . 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是 增函数, 解得 a ≥ e ; 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 , 当 即

1 1 ? ln a ≥ e ? 1 , 函数 y ? ? ln a a a

1 在 a ? (0,1) 上是减函数,解得 0 ? a ≤ . e 1 综上可知,所求 a 的取值范围为 a ? (0, ] ? [e, +?) .。。。。。。。。。。12 分 。。。。。。。。。。 e

g (b) max ? g (?1) ? x 2 ? x ? a ln x ? 0 在 (1, e)上 有解,
令 h( x) ? x 2 ? x ? a ln x ,只需存在 x0 ? (1, e) 使得 h( x0 ) ? 0 即可, 由于 h' ( x) = 2 x ? 1 ?
a 2x2 ? x ? a ? , x x

令 ? ( x) ? 2 x 2 ? x ? a, x ? (1, e) , ? ?( x) ? 4 x ? 1 ? 0 , ∴ ? ( x) 在(1,e)上单调递增, ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? a ,………9 分

①当 1 ? a≥0 , a≤1 时, ( x) ? 0 , h?( x) ? 0 ,h( x) 在(1, )上单调递增, h( x) ? h(1) ? 0 , 即 即 e ∴ ? 不符合题意. ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, ? (1) ? 1 ? a ? 0 , ? (e) ? 2e 2 ? e ? a 若 a ? 2e2 ? e ? 1 ,则 ? (e) ? 0 ,所以在(1,e)上 ? ( x) ? 0 恒成立,即 h?( x) ? 0 恒成立,∴ h( x) 在(1,e)上单调递减, ∴存在 x0 ? (1, e) ,使得 h( x0 ) ? h(1) ? 0 ,符合题意. 若 2e2 ? e ? a ? 1 ,则 ? (e) ? 0 ,∴在(1,e)上一定存在实数 m,使得 ? (m) ? 0 ,∴在(1,m) 上 ? ( x) ? 0 恒成立,即 h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 在(1,m)上单调递减,∴存在 x0 ? (1, m) ,使得
h( x0 ) ? h(1) ? 0 ,符合题意.

综上所述, a ? 1 时, 当 对任意 b ? ? ?2, ?1? , 都存在 x ? (1, e) , 使得 f ( x) ? 0 成立.…………12 分


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