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江苏省江阴市华士、成化、山观三校2015-2016学年高二上学期期中联考数学试题


2015-2016 学年度秋学期江阴市三校高二期中联考 数学试题 (考试时间:120 分钟 总分 160 分)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案直接填在答题卡相应位置 ....... 上 . .
1.命题: “ ?x ? 0, x ? 2 ? 0 ”的否定是 2.椭圆 4 x ? 3 y ? 12 的焦距为
2 2
2

▲ .





3.方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? a ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是 4.已知命题 p : x ? 2 ,命题 q : x ? 4 ,则 p 是 q 的 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) ▲



. 不必要” 、

条件. (选填“充分

5.若直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0 与 l 2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 平行,则实数 a 的值为 6.右焦点坐标是 (2,0) ,且经过点 (?2,? 2 ) 的椭圆的标准方程为 ▲ . 7.圆锥的体积为 2 2 ? ,底面积为 ? ,则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为 3 8.过点 (5,2) ,且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是
2 2





▲ . ▲





9.与圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 外切于原点,且半径为 2 5 的圆的标准方程为 ▲ . ① ? ? ? ,? ? ? ? l, m ? l ; ③ ? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? ; ② n ? ?, n ? ? , m ? ? ; ④ m ? ? ,? ? ? , ? ? ? .

. 充分条件为

10.设 ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面, l 、 m 、 n 是三条不同的直线,则 m ? ? 的一个

11. 如图所示, A, B 分别是椭圆的右、上顶点, C 是 AB 的三等分点(靠近点 B ),F 为椭圆的右焦点, OC 的延长线交椭圆于点 M ,且 MF ? OA ,则椭圆的离心率为 ▲ . 12.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 3 ,底面边长为 6 ,则这个球的表 面积是 ▲ .
2 2 13. 已知圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 和两 点 A(?m,0), B(m,0)(m ? 0) , 若圆 C 上不存在 点 P , 使得

?APB 为直角, 则实数 m 的取值范围是
2 2





14.已知圆 C : x ? y ? 2ax ? 2(a-1)y ? 1 ? 2a ? 0 (a ? 1) 对所有的 a ? R 且 a ? 1 总存在直线 l 与圆 C 相切,则直线 l 的方程为 ▲ .

二、解答题(本大题共有 6 小题,满分 90 分.需写出文字说明、推理过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? ( x, y) | x ? ( y ? 1) ? 1 , B ? ( x, y) |
2 2

?

?

?

3x ? y ? 4m ,命题 p : A ? B ? ? ,命题 q :

?

方程

x y ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆. 2m 1 ? m

2

2

(1) 若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;

(2) 若“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC , PA ? AC , AB ? BC .设 D , E 分别为 PA , AC 中点. (1)求证: DE // 平面 PBC ; (2)求证: BC ? 平面 PAB ; (3)试问在线段 AB 上是否存在点 F ,使得过三点 D , E , F 的平面内的任 一条直线都与平面 PBC 平行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在, 请说明理由.

P

D E

C

A B

17. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的顶点 B(?1,?3) , AB 边上的高 CE 所在直线的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 , BC 边上中线 AD 所在直线的 方程为 8x ? 9 y ? 3 ? 0 . 求:(1)点 A 的坐标; (2)直线 AC 的方程.

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(2, ?2) , B(1,1) 两点,且圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 C 的标准方程; (2)过圆 C 内一点 P(1,?1) 作两条相互垂直的弦 EF , GH ,当 EF ? GH 时,求四边形 EGFH 的面积. (3)设直线 l 与圆 C 相交于 P, Q 两点, PQ ? 4 ,且 ?POQ 的面积为

2 ,求直线 l 的方程. 5

19. (本小题满分 16 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a , E 为棱 AB 上的一动点. (1)若 E 为棱 AB 的中点, ①求四棱锥 B1 ? BCDE 的体积 ②求证:面 B1DC ? 面 B1DE A1 D A E B (2)若 BC1 // 面 B1DE ,求证: E 为棱 AB 的中点. D1 B1 C1

C

20. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

x2 y2 2 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M (1, ) ,离心率 e ? 2 a b 2 2

F1、F2 为椭圆的左右焦点.
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设圆 T 的圆心 T (0, t ) 在 x 轴上方,且圆 T 经过椭圆 C 两焦点. 点 P 为椭圆 C 上的一动点, PQ 与圆 T 相切于点 Q . ①当 Q(? ,? ) 时,求直线 PQ 的方程; ②当 PQ 取得最大值为

1 2

1 2

5 时,求圆 T 方程. 2

参考答案
一、填空题(本大题共有 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1. ?x ? 0, x ? 2 ? 0 5. a ? ?1 2. 2 6. 3. a ? 7.

1 2

4. 必要不充分 8. 2 x ? y ? 12 ? 0 12. 16 ?

x2 y2 ? ?1 8 4

2 ? 3

9. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 20 10. ②、③ 13.

11.

5 5

(0,4) ? (6,??)

14. y ? ? x ? 1

二、解答题(本大题共有 6 小题,满分 90 分. ) 15. 解:(1) 由命题 p 为真命题,则 d ? 解得 m ?

3 ? 0 ? 1 ? (?1) ? 4m ( 3 ) 2 ? 12

? 1?????3 分

1 3 或m ? ? ?????5 分 4 4 ? 2m ? 0 1 ? (2) 若命题 q 为真命题,则 ? 1 ? m ? 0 ? 0 ? m ? ?????8 分 3 ?2 m ? 1 ? m ? ∵ “ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假 ∴ p , q 一真一假?????9 分 1 3 若 p 真 q 假,则 m ? 或 m ? ? ????11 分; 3 4 1 若 p 假 q 真,则 0 ? m ? ?????13 分 4 1 3 1 综上: m 的取值范围为 m ? 或 m ? ? ,或 0 ? m ? ?????14 分 3 4 4
16 证明: (1)因为点 E 是 AC 中点,点 D 为 PA 的中点,所以 DE ∥ PC . 又因为 DE ? 面 PBC , PC ? 面 PBC , 所以 DE ∥平面 PBC . ????.4 分

(2)因为平面 PAC ? 面 ABC , 平面 PAC ? 平面 ABC = AC ,又 PA ? 平面 PAC , PA ? AC ,所以

PA ? 面 ABC .所以 PA ? BC .
又因为 AB ? BC ,且 PA ? AB = A , 所以 BC ? 面 PAB ??? 9 分

(3)当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D , E , F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行.?.10 分 取 AB 中点 F ,连 EF ,连 DF . 由(Ⅰ)可知 DE ∥平面 PBC . 因为点 E 是 AC 中点,点 F 为 AB 的中点, 所以 EF ∥ BC .又因为 EF ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , 所以 EF ∥平面 PBC .

又因为 DE ? EF = E , 所以平面 DEF ∥平面 PBC , 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行. 故当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D , E , F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行.??.14 分 17 解: (1)? CE ? AB ,且直线 CE 的斜率为

1 ∴直线 AB 的斜率为 ? 3 , 3 ∴直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?3( x ? 1) 即 3x ? y ? 6 ? 0 ??3 分 ?3x ? y ? 6 ? 0 ? x ? ?3 由? 解得 ? , ∴ A(?3,3) ??7 分 ?8x ? 9 y ? 3 ? 0 ?y ? 3

3 ? a? ?8a ? 9b ? 3 ? 0 ? (2)设 D ( a, b) ,则 C (2a ? 1,2b ? 3) ∴有 ? ?? 2 ?2a ? 1 ? 3(2b ? 3) ? 1 ? 0 ? ?b ? ?1 ∴ C (4,1) ??12 分 x?3 y ?3 ∴直线 AC 的方程为: 即 2 x ? 7 y ? 15 ? 0 ??14 分 ? 4 ? 3 1? 3
18. 解:(1)因为 A(2, ?2) , B(1,1) ,所以 k AB ? ?3 ,AB 的中点为 ( , ? ) , 故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 由?

3 2

1 2

1 1 3 ? ( x ? ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,????2 分 2 3 2
????3 分 ????4 分 ????5 分 ???6 分

? x ? 3y ? 3 ? 0 ,解得圆心坐标为 (0, ?1) . ?x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2 2 2 2

所以半径 r 满足 r ? 1 ? (?1 ?1) ? 5 . 故圆 C 的标准方程为 x ? ( y ? 1) ? 5 . (2)∵ EF ? GH ∴ C 到直线 EF , GH 的距离相等,设为 d 则 2d ? 1 ? d ?

2 ???7 分 2 1 ∴ EF ? GH ? 2 5 ? ? 3 2 ???8 分 2 1 2 ∴四边形 EGFH 的面积 S ? ? (3 2 ) ? 9 ???9 分 2 1 2 1 (3)设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d1 ,因为 S ? ? 4 ? d 1 ? ? d 1 ? . 2 5 5 1 1 ①当直线 l 与 x 轴垂直时,由坐标原点 O 到直线 l 的距离为 知,直线 l 的方程为 x ? 5 5 1 或 x ? ? ,经验证,此时 PQ ? 4 ,不适合题意; ????11 分 5 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , |b| 1 ? ,得 k 2 ? 1 ? 25b2 (*) 由坐标原点到直线 l 的距离为 d1 ? ,??12 分 k 2 ?1 5
又圆心到直线 l 的距离为 d 2 ?

|1 ? b | k 2 ?1

,所以 PQ ? 2 5 ? d2

2

(1 ? b)2 ? 2 5? 2 ?4, k ?1

即 (1 ? b)2 ? k 2 ? 1

(**) ,

????13 分

3 ? k ? ? ? ? 4 由(*) , (**)解得 ? .???15 分 1 ? b? ? ? 4 综上所述,直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0 .
19. 证明(1)①∵正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ∴ B1 B ? 平面 BEDC

???16 分

1 1 a a3 ? (a ? ) ? a ? a ? ???2 分 3 2 2 4 ②取 B1 D 的中点 O ,设 BC1 ? B1C ? F ,连接 OF , ???3 分
∴ VB1 ? BCDE ? 因为 O , F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF // DC ,且 OF ?

1 DC , 2
D1 A1 O D A E B B1 F C C1

1 DC , 2 从而 OF // EB, OF ? EB ,即四边形 OEBF 是平行四边形, 所以 OE // BF , ?????5 分 因为 DC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BCC1B1 , 所以 BC1 ? DC , 所以 OE ? DC ???? 7 分
又 E 为 AB 中点,所以 EB // DC ,且 EB ? 又 BC1 ? B1C ,所以 OE ? B1C 且 DC, B1C ? 面 B1DC , DC ? B1C ? C , 所以 OE ? 面 B1DC , 又 OE ? 面 B1DE , 所以面 B1DC ? 面 B1DE . (2)同上可证得, OF // DC ,且 OF ? 又 EB // DC ,从而 OF // EB 所以 E, B, F , O 四点共面 ∴ EO // B1C ∴四边形 OEBF 是平行四边形, ∴ OF ? EB ? ???10 分 ???? 9 分 ???? 8 分

1 DC 2
???12 分 ???14 分

∵ BC1 // 面 B1DE , B1C ? 面 EBFO ,面 EBFO ? 面 B1DE ? OE

1 1 DC ∴ EB ? AB 2 2

∴ E 为棱 AB 的中点 ???16 分 (注:学生用其他方法解答请酌情给分,如连接 BD1 亦需证明与 B1 D 为何相交于 O )

c 2 ? ? a ? 2c ∴ b ? a 2 ? c 2 ? c ?????1 分 a 2 1 1 1 1 2 ∵椭圆 C 过点 M (1, ) ,∴ 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? c ? 1 ?????2 分 a 2b 2c 2c 2 ∴ a ? 2, b ? 1 ?????3 分
20.解: (1) ∵ e ?

x2 ? y 2 ? 1 ?????4 分 2 (2) 圆 T 半径 r ? t 2 ? 1 ,圆 T 方程为 x 2 ? ( y ? t ) 2 ? t 2 ? 1(t ? 0) ?????5 分
∴椭圆 C 的标准方程

∵ PQ 与圆 T 相切于点 Q

∴ QT ? PQ

①把 Q(? ,? ) 代入圆 T 方程,解得 t ? 求得 kQT

1 1 2 2 ? 2 ?????7 分

1 ?????6 分 2

1 3 x ? ?????8 分 2 4 (3)设 P( x0 , y0 ) (?1 ? y0 ? 1)
∴直线 PQ 的方程为 y ? ? ∵ QT ? PQ 又 ∴ PQ ? PT ? QT ? x0 ? ( y0 ? t ) ? (t ? 1)
2 2 2 2 2 2

x0 2 ? y0 ? 1 2

2

∴ PQ ? ?( y0 ? t ) ? (t ? 1) ?????10 分
2 2 2

当 t ? 1 时,且当 y0 ? ?1 时, PQ2 的最大值为 2t ,则 2t ? ( 当 0 ? t ? 1 时, 且当 y0 ? ?t 时,

5 2 5 5 ) ? ? t ? (舍)?12 分 2 4 8

5 1 ? t ? (合)???15 分 4 2 1 1 2 5 2 综上 t ? ,圆 T 方程为 x ? ( y ? ) ? ????16 分 2 2 4
2 PQ2 的最大值为 t 2 ? 1 ,则 t ? 1 ?

(注:不讨论 t 的取值范围,直接说当 y0 ? ?t 时 PQ2 取最大值,得到 t ?

1 ,一律扣 4 分) 2


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