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创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件文


第 1讲

三角函数的图象与性质

高考定位

三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点

内容,主要从以下两个方面进行考查: 1.三角函数的图象, 主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以

选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三
角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答 题的形式考查.

真题感悟
1.(2016· 全国Ⅰ卷)若将函数
? π? y=2sin?2x+6?的图象向右平移 ? ?

1 个周期后,所得图象对应的函数为( ) 4 ? ? π? π? A.y=2sin?2x+4? B.y=2sin?2x+3? ? ? ? ? ? ? π? π? C.y=2sin?2x-4? D.y=2sin?2x-3? ? ? ? ?

解析

函数

? π? y = 2sin ?2x+6? 的 周 期 为 ? ?

π,将函数 y=

? π? 1 π ? ? 2sin 2x+6 的图象向右平移 个周期即 个单位,所得函数 4 4 ? ?



? ? ? π? π? π? y=2sin?2?x-4?+6?=2sin?2x-3?,故选 ? ? ? ? ? ?

D.

答案 D

2.(2016· 全国Ⅱ 卷)函数 y =Asin(ωx + φ) 的部分图象如图所示,

则(

)

? π? A.y=2sin?2x-6? ? ? ? π? C.y=2sin?x+6? ? ?

? π? B.y=2sin?2x-3? ? ? ? π? D.y=2sin?x+3? ? ?

解析

?π ? π?? 由图可知,T=2?3-?-6??=π,所以 ? ?? ?

ω=2,由五点作

π π π 图法可知 2×3+φ=2,所以 φ=-6,所以函数的解析式为 ? π? y=2sin?2x-6?,故选 A. ? ?

答案 A

3.(2016· 全国Ⅱ卷)函数 f(x)=cos ( A.4
解析
? -2?sin ?

?π ? 2x+6cos?2-x?的最大值为 ? ?

) B.5
由 f(x)=cos

C.6

D.7
x=

?π ? 2x+6cos?2-x?=1-2sin2x+6sin ? ?

3?2 11 x-2? + ,所以当 sin x=1 时函数的最大值为 5, 2 ?

故选 B.

答案 B

4.(2016· 江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象
与y=cos x的图象的交点个数是________. 解析 如下: 在区间[0,3π]上分别作出y=sin 2x和y=cos x的简图

由图象可得两图象有7个交点. 答案 7

考点整合 1.常用三种函数的易误性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

? π - 在? ? 2+2kπ, ? ? π ? + 2 k π ?(k∈Z) 2 ?

在[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)上单

单 调 性

? π - 在? ? 2+kπ, ?

上单调递增;
?π 在? ?2+2kπ, ? ? 3π ? + 2 k π ?(k∈Z) 2 ?

调递增; 在[2kπ, π+kπ? ? ?(k∈Z)上 2 ? π+2kπ](k∈Z) 单调递增 上单调递减

上单调递减 对称中心:(kπ, 对 称 性 0)(k∈Z); π 对称轴:x=2+ kπ(k∈Z) 对称中心:
?π ? ? ? ?2+kπ,0? ? ?

对称中心:
? kπ ? ? ? ? 2 ,0?(k∈Z) ? ?

(k∈Z); 对称轴:x= kπ(k∈Z)

2.三角函数的常用结论 (1)y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数; π 当 φ=kπ+2(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ π +2(k∈Z)求得. π (2)y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+2(k∈Z)时为奇函数; 当 φ = kπ(k∈Z) 时为 偶函数;对称轴方程可由 ωx + φ = kπ(k∈Z)求得. (3)y=Atan(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.

3.三角函数的两种常见变换

热点一 三角函数的图象 [微题型1] 三角函数的图象变换
【例 1-1】 (2016· 长沙模拟)某同学用“五点法”画函数 f(x)
? π? =Asin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?在某一个周期内的图象时, 列表 ? ?

并填入了部分数据,如下表:

ωx+φ x Asin(ωx+φ)

0

0

π 2 π 3 5

π

3π 2 5π 6 -5



0

(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度, 得 到 y=g(x)的图象.若 θ 的最小值.
?5π ? y=g(x)图象的一个对称中心为?12,0?,求 ? ?



π (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- .数据补 6

全如下表:
ωx+φ X Asin(ωx+φ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 12π 0

且函数表达式为

? π? f(x)=5sin?2x-6?. ? ?

(2)由(1)知 得

? π? f(x)=5sin?2x-6?, ? ?

? π? g(x)=5sin?2x+2θ-6?. ? ?

因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ-6=kπ,解得 x= 2 +12-θ,k∈Z.
?5π ? 由于函数 y=g(x)的图象关于点?12,0?成中心对称, ? ?

kπ π 5π kπ π 令 2 +12-θ=12,解得 θ= 2 -3,k∈Z. π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值6.

探究提高

在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先

周期变换.变换只是相对于其中的自变量 x而言的,如果x的系数 不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

[微题型2] 由三角函数图象求其解析式
【例 1-2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0, ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 f
?π? ? ?的值为______. ?3?

3T 11π π 解析 根据图象可知,A=2, = - , 4 12 6 ?π ? 2π 所以周期 T=π,由 ω= T =2.又函数过点?6,2?, ? ? ? ? π 所以有 sin?2×6+φ?=1,而 0<φ<π. ? ? ? π? π 所以 φ=6,则 f(x)=2sin?2x+6?, ? ? ?π? ?2π π? 因此 f ?3?=2sin? 3 +6?=1. ? ? ? ?

答案 1

探究提高 已知图象求函数 y=Asin??ωx+φ??(A>0, ω>0)的解 析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点 或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点 法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口, 可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

?

?

【训练 1】 (2016· 安徽“江南十校”联考)已知函 π 数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部 2 分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式;

(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标 1 π 缩短到原来的 倍,再把所得的函数图象向左平移 个单位 2 6 ? π? 长度,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在区间?0,8?上 ? ? 的最小值.



(1)设函数 f(x)的最小正周期为 T,由题图可知

2π T 2π π π A=1,2= 3 -6=2,即 T=π,所以 π= ω ,解得 ω=2, ? ? π π 故 f(x)=sin(2x+φ).由 0=sin?2×6+φ?可得3+φ=kπ,k∈Z, ? ? π π π 即 φ=kπ-3,k∈Z,因为|φ|<2,所以 φ=-3, ? π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin?2x-3?. ? ? ? ? π? π? π ?π 5π? (2)根据条件得 g(x)=sin?4x+3?, 当 x∈?0,8?时, 4x+3∈?3, 6 ?, ? ? ? ? ? ? π 1 所以当 x=8时,g(x)取得最小值,且 g(x)min=2.

热点二 三角函数的性质 [微题型1] 由三角函数的性质求参数
【例 2-1】 (1)已知 ω>0,函数 调递减,则 ω 的取值范围是(
?1 5? A.?2,4? ? ? ?1 3? B.?2,4? ? ? ? ? π? ?π f(x)=sin?ωx+4?在?2,π?上单 ? ? ? ?

)
? 1? C.?0,2? ? ?

D.(0,2]

(2)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)
?π π? 在区间?6,2?上具有单调性, 且 ? ?

f

?π? ?2π? ?π? ? ?=f ? ?=-f ? ?, 则 ?2? ?3? ?6?

f(x)的最

小正周期为________.

解析

π π 3 (1)由 2kπ+ ≤ωx+ ≤2kπ+ π,k∈Z, 2 4 2

且 ω>0, π? 5 ? 1? 1? 得ω?2kπ+4?≤x≤ω?2kπ+4π?,k∈Z. ? ? ? ? π 5π 取 k=0,得4ω≤x≤4ω, ?π ? 又 f(x)在?2,π?上单调递减, ? ? π π 5π 1 5 ∴4ω≤2,且 π≤4ω,解之得2≤ω≤4.

(2)由

?π π? T π π ? ? f(x)在 6,2 上具有单调性,得2 ≥ 2 -6, ? ?

π 2π ?π? ?2π? 2+ 3 2π 即 T≥ 3 ; 因为 f ?2?=f ? 3 ?, 所以 f (x)的一条对称轴为 x= 2 ? ? ? ? ?π? ?π? 7π =12;又因为 f ?2?=-f ?6?,所以 f(x)的一个对称中心的横坐 ? ? ? ? π π 2+6 π 1 7π π π 标为 = .所以 T= - = ,即 T=π. 2 3 4 12 3 4

答案 (1)A (2)π

探究提高

此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键

是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再
根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证.

[微题型2] 考查三角函数的对称性、单调性
【例 2-2】 (2016· 大理 5 月模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) +
? π? 3cos(ωx+φ)?ω>0,0<|φ|<2?为奇函数, 且函数 ? ?

y=f ( x)

π 的图象的两相邻对称轴之间的距离为2. ?π? (1)求 f ?6?的值; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移6个单位后,得到函数 y= g(x)的图象,求函数 g(x)的单调递增区间.



(1)f(x)=sin(ωx+φ)+ 3cos(ωx+φ)
? 3 ? 2 cos(ωx+φ)?

?1 =2? sin(ωx+φ)+ ?2 ? π? =2sin?ωx+φ+3?. ? ?

因为 f(x)为奇函数,所以

? π? f(0)=2sin?φ+3?=0, ? ?

π π 又 0<|φ|< ,可得 φ=- ,所以 f(x)=2sin ωx, 2 3 2π π 由题意得 ω =2· 2,所以 ω=2. ?π? π ? ? 故 f(x)=2sin 2x.因此 f 6 =2sin 3= 3. ? ?

π (2)将 f(x)的图象向右平移6个单位后, ? π? 得到 f ?x-6?的图象, ? ? ? ? ? ? π? π ?? π? 所以 g(x)=f ?x-6?=2sin?2?x-6??=2sin?2x-3?. ? ? ? ? ?? ? ?

π π π 当 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z), π 5π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递增, 12 12 ? π 5π? 因此 g(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ?

探究提高

对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间

的求解,其基本方法是将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数

增区间( 或减区间 ) ,求出的区间即为y =Asin(ωx +φ) 的增区
间 ( 或减区间 ) ,但是当 A > 0 , ω < 0 时,需先利用诱导公式 变形为 y =- Asin( - ωx - φ) ,则y = Asin( - ωx - φ) 的增区间 即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间.

[微题型3] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)
【例 2-3】 (2016· 张家界模拟)设函数 f(x)=sin2ωx+ 2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 (1)求函数 f(x)的最小正周期;
?π ? ? π? (2)若 y=f(x)的图象经过点?4,0?, 求函数 f(x)在 x∈?0,2?上 ? ? ? ? ?1 ? ω∈?2,1?. ? ?

的值域.



(1)因为 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ
? π? 2ωx+λ=2sin?2ωx-6?+λ,由直线 ? ?

=-cos 2ωx+ 3sin

x

=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, 可得

? π? sin?2ωπ-6?=± 1, ? ?

π π k 1 所以 2ωπ-6=kπ+2(k∈Z),即 ω=2+3(k∈Z).



?1 ? ω∈?2,1?,k∈Z,所以 ? ?

5 k=1,故 ω= . 6

6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5

(2)由 即

?π ? y=f(x)的图象过点?4,0?,得 ? ?

f

?π? ? ?=0, ?4?

?5 π π? π ? ? λ=-2sin 6×2-6 =-2sin 4 ? ?

=- 2, 2,

即 λ=- 2.故
? π? ∵x∈?0,2?, ? ?

?5 π? f(x)=2sin?3x-6?- ? ?

5 π ? π 2π? ∴3x-6∈?-6, 3 ?, ? ? ∴函数 f(x)的值域为[-1- 2,2- 2].

探究提高

求三角函数最值的两条思路:(1)将问题化为y=

Asin(ωx+φ)+B的形式,结合三角函数的性质或图象求解; (2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式,借助二

次函数的性质或图象求解.

【训练 2】 (2016· 山东卷)设 f(x)=2 3sin(π-x)sin x- (sin x-cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 π 2 倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3个单 ?π? 位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g?6?的值. ? ?



(1)f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2

=2 3sin2x-(1-2sin xcos x) = 3(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x- 3cos 2x+ 3-1
? π? =2sin?2x-3?+ ? ?

3-1.

π π π π 5π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z), 得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). ? π 5π? 所以 f(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ? ? ? ? π 5π? ?或?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z)?. 12 12? ? ? ?

(2)由(1)知

? π? f(x)=2sin?2x-3?+ ? ?

3-1,

把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 坐标不变). 得到
? π? y=2sin?x-3?+ ? ?

3-1 的图象.

π 再把得到的图象向左平移 个单位, 3 得到 y=2sin x+ 3-1 的图象, 即 g(x)=2sin x+ 3-1. 所以
?π? g?6?=2sin ? ?

π + 3-1= 3. 6

1.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象 求解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= T . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 φ.

2.运用整体换元法求解单调区间与对称性 类比 y=sin x 的性质, 只需将 y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ” 看成 y=sin x 中的“x”,采用整体代入求解. π (1)令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z),可求得对称轴方程; (2)令 ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标; (3)将 ωx+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+φ)的单调区间, 注意 ω 的符号.

3.函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用的求解思路
第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把 待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B(一角一函数)的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性 质求 y = Asin(ωx + φ) + B 的单调性及奇偶性、最值、对

称性等问题.


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