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导与练重点班2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理


第6节

正弦定理和余弦定理及其应用

【选题明细表】 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与面积相关的问题 判断三角形的形状 实际问题与综合问题 基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2015 石景山区模拟)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=4,b=4 A=30°,则 B 等于( B ) (A)60° (B)60°或 120° (C)30° (D)30°或 150° 解析:因为 a=4,b=4 ,A=30°, , 题号 1,6,8,10 4,11,13 2,5,7 3,9,12,14,15,16

由正弦定理

=

? sin B=

= ,因为 B 是三角形的内角,且 b>a,所以 B=60°

或 120°. 2.(2015 长沙二模)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“a=2bcos C”是 “△ABC 是等腰三角形”的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:法一 a=2bcos C? sin A=2sin Bcos C? sin(B+C)=2sin Bcos C? sin Bcos C-cos Bsin C=0? sin(B-C)=0,因为-π <B-C<π , 所以 B-C=0,所以 B=C; 反之,若 A=B≠C, 即 a=b≠c,则由 a=2bcos C,可得 cos C=, 即 C=,与 A=B≠C 矛盾. 所以“a=2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件. 法二 由余弦定理,a=2bcos C? a=2b× ? b=c;反之,同方法一.

3.张华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75°方向 上,则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( B ) (A)2 km (B)3 km (C)3 km (D)2 km

1

解析:

画出示意图如图,由条件知 AB=24× =6.在△ABS 中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=

180°-75°=105°,所以∠ASB=45°,由正弦定理知 故选 B.

=

,所以 BS=

=3

.

4.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 ,则 BC 的长为( B )

(A)

(B)

(C)2

(D)2

解析:S=AB·ACsin 60°=×2× AC= , 所以 AC=1, 2 2 2 所以 BC =AB +AC -2AB·ACcos 60°=3, 所以 BC= .
2 2

5.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,且 sin B=sin C, 则△ABC 的形状为( D ) (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 解析:因为 bcos C+ccos B=asin A, 2 所以由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin A, 2 所以 sin(B+C)=sin A, 2 sin A=sin A,sin A=1, 即 A=. 2 2 又因为 sin B=sin C, 2 2 所以由正弦定理得 b =c ,即 b=c, 故△ABC 为等腰直角三角形. 6.(2016 合肥质检)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a, 3sin A=5sin B,则角 C 等于( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:因为 3sin A=5sin B,

2

所以由正弦定理可得 3a=5b, 所以 a=b. 因为 b+c=2a, 所以 c=b, 所以 cos C= 因为 C∈(0,π ), 所以 C= . =-.

7.设△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且( . 解析:由题得 2B=A+C,3B=π 得 B=, 设 AC 中点 D,则( + )· =2 · =0,

+



=0,则△ABC 的形状是





得 a=c.

所以△ABC 为等腰三角形, 又因为 B=, 所以△ABC 为等边三角形. 答案:等边三角形 8.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若+=6cos C,则 + 的值是 .

解析:由+=6cos C 及余弦定理得 所以 a +b =c . 所以 答案:4 9.(2016 河北质检)在△ABC 中,tan + = ( + )= ·
2 2 2

=6·

,

=

=

=

=4.

=2sin C,若 AB=1,则 AC+BC 的最大值为

.

解析:因为 tan

=2sin C,

3

所以

=2sin C?

=2sin C?

=2sin C,

因为 A+B+C=π , 所以 A+B=π -C, 所以 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, 所以 =2sin C,

因为 0<C<π , 所以 sin C≠0, 所以 cos C=,所以 C=. 因为 = = = ,所以 AC+BC= sin B+ sin A= sin(π -A)+ sin A= ( cos A+sin

A+2sin A)=

sin(A+ ? ),其中 0< ? <且 tan ? = ,

所以当 sin(A+ ? )=1 时,AC+BC 取得最大值,为

.

答案: 10.(2015 黑龙江四校联考)△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是 a,b,c,且满足 csin A+ acos C=0.

(1)求 C 的值; (2)若 cos A=,c=5 解:(1)因为 csin A+ 2Rsin Csin A+2R 由 sin A≠0, 所以 tan C=,又 C∈(0,π ), ,求 sin B 和 b 的值. acos C=0,由正弦定理得

sin Acos C=0,

所以 C= . (2)由 cos A=,A∈(0,), 得 sin A= =,

4

sin B=sin(π -A-C) =sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C =×(-)+×

=

.



=

,

得 b=

=3

-4.

11.(2015 高考陕西卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(a, A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= ,b=2,求△ABC 的面积.

b)与 n=(cos

解:(1)因为 m∥n, 所以 asin Bbcos A=0, sin Bcos A=0,

由正弦定理得 sin Asin B又 sin B≠0, 从而 tan A= ,

由于 0<A<π , 所以 A=. (2)法一 由余弦定理得 2 2 2 a =b +c -2bccos A, 而 a= ,b=2,A=,
2

得 7=4+c -2c, 2 即 c -2c-3=0, 因为 c>0, 所以 c=3. 故△ABC 的面积为 bcsin A= .

法二 由正弦定理得

=

,

5

从而 sin B=

,

又由 a>b 知 A>B, 所以 cos B= .

故 sin C=sin(A+B)=sin(B+) =sin Bcos +cos Bsin = .

所以△ABC 的面积为 absin C=

.

能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2015 济南模拟 ) 在 200 米高的山顶上 , 测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为 30°,60°,则塔高为( C ) (A) m (B) m

(C) 解析:

m (D)

m

如图,设 AB 表示山高,CD 表示塔高,则∠DBC=60°-30°=30°,∠ABC=90°-60°=30°,连接 AC, 在 Rt△BAC 中, cos∠ABC= ,

所以 BC=

=

=

,

在△BDC 中, ∠DBC=30°,∠DCB=90°-60°=30°, 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°, 由正弦定理得, = ,

6

故 DC=

=

.

13.(2016 南宁调研)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 sin 2A+ sin 2B+sin 2C=,△ABC 的面积 S∈[1,2],则下列不等式一定成立的是( B ) (A)ab(a+b)>16 (B)bc(b+c)>8

(C)6≤abc≤12 (D)12≤abc≤24 解 析 : 依 题 意 得 sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C=, 展 开 并 整 理 得 2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=,又 sin(A+B)=sin C,cos C=-cos(A+B),所以 2sin Ccos(A-B)+2sin Ccos C=2sin C[cos(A-B)-cos(A+B)]=,所以 4sin Asin 3 Bsin C=,sin Asin Bsin C=,又 S=absin C=bcsin A=casin B,因此 S = a b c sin Asin Bsin C= a b c .由 1≤S≤2 得 1≤ a b c ≤2 ,即 8≤abc≤16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

,因此选项

C,D 不一定成立.因为 b+c>a>0,所以 bc(b+c)>bc·a≥8,即有 bc(b+c)>8,所以选项 B 一定成 立.因为 a+b>c>0,所以 ab(a+b)>ab·c≥8,即有 ab(a+b)>8,所以选项 A 不一定成立.故选 B. 14.(2014 高考江苏卷)若△ ABC 的内角满足 sin A+ 是 . b=2c, sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值

解析:由正弦定理可得 a+

又 cos C=

=

=



=

,

当且仅当

a=

b 时取等号,所以 cos C 的最小值是

.

答案: 15.某炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面 C 和 D 处,已知 CD=6 km,

7

∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面 B 处时,测量得∠BCD=30°,∠BDC=15°,如图,求 炮兵阵地到目标的距离.

解:在△ACD 中, ∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°, CD=6,∠ACD=45°, 根据正弦定理有 AD= = CD.

同理,在△BCD 中, ∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°, CD=6,∠BCD=30°, 根据正弦定理得 BD= 又在△ABD 中, ∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°, 根据勾股定理有 AB= = CD= CD= (km). = CD.

所以炮兵阵地到目标的距离为

km.
2

16.(2015 高考山东卷)设 f(x)=sin xcos x-cos (x+). (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f()=0,a=1,求△ABC 的面积的最大值. 解:(1)由题意知 f(x)= -

=

-

=sin 2x-. 由-+2kπ ≤2x≤+2kπ ,k∈Z, 可得-+kπ ≤x≤+kπ ,k∈Z; 由+2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,

8

可得+kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 所以 f(x)的单调递增区间是[-+kπ ,+kπ ](k∈Z); 单调递减区间是[+kπ , +kπ ](k∈Z). (2)由 f()=sin A-=0, 得 sin A=, 由题意知 A 为锐角, 所以 cos A= . 由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 即 bc≤2+ bc=b +c ≥2bc, ,
2 2 2 2 2

且当 b=c 时等号成立. 因此 bcsin A≤ .

所以△ABC 面积的最大值为

.

精彩 5 分钟 1.(2015 浏阳一中模拟)已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 cos B=, b=2,sin C=2sin A,则△ABC 的面积为( B ) (A) (B) (C) (D)

解题关键:关键求 a,c,选用△ABC 面积公式 S△ABC=acsin B. 解析:由正弦定理 = ,

得 c=2a,① 2 2 2 由余弦定理 b =a +c -2accos B,得 2 2 4=a +c -2ac×,② 由①②得 a=1,c=2, 又 sin B= = ,

所以 S△ABC=acsin B=×1×2×

=

.
9

2.(2015 临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即 测出该渔轮在方位角为 45°距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向, 以 9 海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救,则舰艇 靠近渔轮所需的时间为 小时. 解题关键:首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方 程求解. 解析:如图,设舰艇在 B′处靠近渔轮,所需的时间为 t 小时,则 AB′=21t,CB′=9t,

在△AB′C 中,根据余弦定理,则有 2 2 2 AB′ =AC +B′C -2AC·B′Ccos 120°, 2 2 2 2 可得,21 t =10 +81t +2×10×9t×. 2 整理得 360t -90t-100=0, 解得 t=或 t=- (舍去). 故舰艇需小时靠近渔轮. 答案:

10


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