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2012-2013朝阳区高三期中试卷(文数)


北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(文史类)

2012.11

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6? , 集合 A ? ?1, 3, 5? , B ? ?1, 2? , 则 A ? ( ?U B )等于 ? A. ?
3

B. ?5?

C. ?3?

D. ?3, 5?

2. 曲线 y ? 2 x ? x 在 x ? ?1 处的切线方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

3. 已知平面向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 (a ? b ) ? a ,则 a 与 b 的夹角是 A.

5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

D.

? ?

4. 已知数列 ?a n ? 是各项均为正数的等比数列,若 a2 ? 2, 2 a3 ? a4 ? 16 ,则 a n 等于 A. 2
n?2

B. 2 3? n

C. 2

n ?1

D. 2

n

5. 已知角 ? 的终边经过点 ( ?3a , 4 a )( a ? 0) ,则 sin 2? 等于 A. ?

7

25 25 25 25 ??? ? ???? ? 6. 在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2 PM , ??? ??? ??? ? ? ? 则 PA ? ( PB ? PC ) 的值为
A. ?4 7. 函数 f ( x ) ? ? A. 1
3 ? x

B. ?

12

C.

24

D. ?

24

B. ?2

C. 2

D. 4

? ? x ? 3, x ? 0, ,x ? 0

的图象与函数 g ( x ) ? ln( x ? 1) 的图象的交点个数是 C. 3 D. 4

B. 2

8.已知数列 ? a n ? 是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列.对于函数 y ? f ( x ) ,若数列

?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x ) 为“保比差数列函数”.
下函数: ① f ( x) ?

现有定义在 (0, ?? ) 上的如

1 x



② f ( x) ? x ,
2

③ f ( x) ? e ,
x

④ f ( x) ?

x,

1

则为“保比差数列函数”的所有序号为 A.①② B.③④ C.①②④ D.②③④

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9. 已知 cos( ? ? ? ) ?

1 2

,且 ? 为第二象限的角,则 sin ? = , tan ? =

. . .

10. 已知集合 A ? {x ? R | x ? 2} , B = ? x ? R ∣

1 2

? 2 x ? 8 ? ,则 A ? B =

a a a , 6 11. 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a3 ? 4 ? 4 6 ? 7 ? 1 若

, 则公差 d ? , 9 ? S .

12. 在 ?ABC 中,若 BA ? BC ? 4 , ?ABC 的面积为 2 ,则角 B ?

??? ??? ? ?

? f ( x) ? 1 , ? 13. 已知函数 y ? f ( x ) 满足: f (1)=a ( 0 ? a ? 1 ) ,且 f ( x ? 1) ? ? f ( x ) ? 2 f ( x ), ?

f ( x ) ? 1, f ( x ) ? 1,



f (2)=

(用 a 表示) ;若 f (3)=

1 f (2)

,则 a ?

.

14. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且在定义域上单调递增.当 x ? ?1 ? a , ?? ? 时, 不等式 f ( x ? 2a ) ? f ( x) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 设△ ABC 的内角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 a ? 2, b ? 3, cos C ? (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)求 sin(C ? A) 的值. 16. (本小题满分 13 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? 3S n ? 1 , n ? N ? . (Ⅰ)写出 a 2 , a3 的值,并求出数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? na n ? 的前 n 项和 Tn .

1 3



17. (本小题满分 13 分)
2

y
2
??

函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 图象如图所示. (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式;

? 2

3

) 部分
?2

o

? 6

x

(Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 cos 2 x ,求函数 g ( x ) 在区间

? [0, ] 上的最大值和最小值. 2
18. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) ? 2 ax ? 4 x ? 3 ? a , a ? R .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? x ? ae , a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 单调区间; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x ) ? 0 成立,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分13分) 给定一个 n 项的实数列 a1 , a2 , ? , an ( n ? N ) ,任意选取一个实数 c ,变换 T (c ) 将数 列 a1 , a2 , ? , an 变换为数列 | a1 ? c |,| a2 ? c |, ? ,| an ? c | ,再将得到的数列继续实施这样的 变换,这样的变换可以连续进行多次,并且每次所选择的实数 c 可以不相同,第 k ( k ? N ) 次变换记为 Tk (ck ) ,其中 c k 为第 k 次变换时选择的实数.如果通过 k 次变换后,数列中的各 项均为 0 ,则称 T1 ( c1 ) , T2 (c2 ) ,?, Tk (ck ) 为 “ k 次归零变换” (Ⅰ)对数列:1,2,4,8,分别写出经变换 T1 (2) , T2 (3) , T3 (4) 后得到的数列; (Ⅱ)对数列:1,3,5,7,给出一个 “ k 次归零变换”,其中 k ? 4 ; (Ⅲ)证明:对任意 n 项数列,都存在“ n 次归零变换”.
?
?

3

北京市朝阳区 2012-2013 学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案(文史类)
一、选择题(共 40 分) 题 号 答 案 二、填空题 (共 30 分) 题 号 答 案 (9) (10) (11) ( 12) (13)
2 4

2012.11

1 D

2 A

3 B

4 C

5 D

6 A

7 C

8 C

(14 )

3 2

? 3

? x ?1 ? x ? 2?

d ?2

45

45?

2a

1 ( ?? , ) 2

或1

三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 cos C ?

1 3



所以 sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ( ) ?
2 2

1

2 2 3



?????????2 分

3

所以 S ? ABC ?

1 2

ab ?sin C ?
2

1 2
2

? 2 ? 3?
2

2 2 3

?2 2.

?????????5 分

(Ⅱ)由余弦定理可得, c ? a ? b ? 2ab ? C cos

? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3?
?9
所以 c ? 3 . 又由正弦定理得,

1 3

????????????????7 分

c sin C

?

a sin A
2?



所以 sin A ?

a ?sin C c

?

2 2 3 ?4 2. 3 9

????????9 分

因为 a ? b ,所以 A 为锐角, 所以 cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? (
2

4 2 9

)2 ?

7 9



????????11 分

所以 sin(C ? A) ? sin C ? cos A ? cos C ? A sin

4

?

2 2 3

?

7

1 4 2 10 2 ? ? ? . 9 3 9 27

????????13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) a2 ? 4 , a3 ? 16 . ?????????????????2 分

由题意, an ?1 ? 3S n ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3S n ?1 ? 1 . 两式相减,化简得 an ?1 ? 4 an ( n ? 2 ). ?????????????????4 分 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 ,

a2 a1

? 4,

则数列 ? a n ? 是以 1 为首项, 4 为公比的等比数列, 所以 a n ? 4
n ?1

( n ? N? )

?????????????????6 分
2 n ?1

(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2 a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 4



4Tn ? 4 ? 1 ? 2 ? 4 2 ? 3 ? 4 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 4 n ?1 ? n ? 4 n ,
两式相减得, ?3Tn ? 1 ? 4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ?1 ? n ? 4 n ? 化简整理得, Tn ? 4 ( ? ) ?
n

????????8 分

1 ? 4n 1? 4

? n ? 4 n . ?????12 分

n

1

1 9

3

9

( n ? N ? ).

????????????13 分

17. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 2 , 所以 ? ? 2 . 当x ?

T 2

?

2? 3

?

? 6

?

? 2

,所以 T ? ? . ?????????????2 分

? 6

时, f ( x ) ? 2 ,可得 2 sin(2 ?

? 6

??) ? 2 ,

因为 | ? |?

? 2

,所以 ? ?

? 6



?????????????????4 分

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? (Ⅱ) g ( x ) ? f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

? 6 ? 6

).

?????????????5 分

) ? 2 cos 2 x ? 2 cos 2 x
???????????????8 分

? 2 sin 2 x cos

? 6

? 2 cos 2 x sin

? 6

? 3 sin 2 x ? cos 2 x
5

? ? 2 sin(2 x ? ) . 6
因为 x ? [0, ] ,所以 ?

???????????????10 分

? 2

? 6 3

? 2x ?

? 6

?

?? 6



当 2x ? 当 2x ?

? 6

?

? 2 6

,即 x ?

?

时, g ( x ) 有最大值,最大值为 2 ;

??????12 分

? 6

??

?

,即 x ? 0 时, g ( x ) 有最小值,最小值为 ?1 .????????13 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2( x 2 ? 2 x ) ? 4 ? 2( x ? 1) 2 ? 6 .
因为 x ? ? ?1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x ) max ? f (1) ? 2 . ??????????3 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x ) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立.??4 分 当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a (3 ? a ) ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2 . (1) 当 a ? ?1 时, ???????????????5 分

f ( x ) ? ?2 x 2 ? 4 x ? 2 ? ?2( x ? 1) 2

由 f ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ? [ ? 1,1] ; 当 a ? ?2 时, f ( x ) ? ?4 x ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) .
2 2

1

2

由 f ( x ) ? 0 ,得 x ?

1 2

? [ ? 1,1] ,

所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x ) 均恰有一个零点在 ? ? 1,1? 上.??????7 分 (2)当 f ( ?1)?f (1) ? ( a ? 7)( a ? 1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上必有零点.
(3)若 y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上有两个零点, 则

???????????????9 分

6

? a ? 0, ? a ? 0, ? ? ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? 8( a ? 1)( a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ? ? 1 ? ? ? 1, ? ? 1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f ( ? 1) ? 0, ? f ( ? 1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0.
解得 a ? 7 或 a ? ?2 .

???????13 分

综上所述,函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2 .
19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x ) ? 1 ? ae .
x

???????????????14 分

????????1 分 ????????3 分 ????????4 分

当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 R 上是增函数. 当 a ? 0 时,令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ? ln a .

若 x ? ? ln a 则 f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在区间 ( ? ?, ? ln a ) 上是增函数; 若 x ? ? ln a 则 f ?( x ) ? 0 ,从而 f ( x ) 在区间 ( ? ln a, ? ? ) 上是减函数. 综上可知:当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( ?? , ? ? ) 上是增函数; 当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( ? ?, ? ln a ) 上是增函数,在区间 ( ? ln a, ? ? ) 上是减函数. ???????????????9 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:当 a ? 0 时, f ( x ) ? 0 不恒成立. 又因为当 a ? 0 时, f ( x ) 在区间 ( ? ?, ? ln a ) 上是增函数,在区间 ( ? ln a, ? ? ) 上是 减函数,所以 f ( x ) 在点 x ? ? ln a 处取最大值, 且 f ( ? ln a ) ? ? ln a ? ae 令 ? ln a ?? ? ? ,得 a ?
? ln a

? ? ln a ?? .

??????????????11 分

? e



故 f ( x ) ? 0 对 x ? R 恒成立时, a 的取值范围是 [ , ? ? ) .??????????14 分

? e

20. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) T1 (2) :1,0,2,6; T2 (3) :2,3,1,3; T3 (4) :2,1,3,1.?????????3分

7

(Ⅱ)方法1: T1 (4) :3,1,1,3; T2 (2) :1,1,1,1; T3 (1) :0,0,0,0. 方法2: T1 (2) :1,1,3,5; T2 (2) :1,1,1,3; T3 (2) :1,1,1,1; T4 (1) :0,0,0,0. ???????????????6分
( ( (Ⅲ)记经过 Tk (ck ) 变换后,数列为 a1( k ) , a2k ) ,? , ank ) .

取 c1 ?

| a1 ? a2 | ,即经 T1 ( c1 ) 后,前两项相等; 2 2 1 (1) 1 (1) (1) (2) (2) (1) 取 c2 ? ( a2 ? a3 ) ,则 a1(2) ? a2 ? a3 ? | a2 ? a3 | ,即经 T2 (c2 ) 后,前3项相等; 2 2 1 ( k ?1) ( 继续做类似的变换,取 ck ? ( ak ? ak k ?1) ) ,( k ? n ? 1 ),经 Tk (ck ) 后,得到数列的 ?1 2
( 前 k ? 1 项相等.特别地,当 k ? n ? 1 时,各项都相等,最后,取 cn ? ann ?1) ,经 Tn (cn ) 后,

1

(1) ( a1 ? a2 ) ,则 a1(1) ? a2 ?

1

数列各项均为0.所以必存在 n 次“归零变换”. (注:可能存在 k 次“归零变换”,其中 k ? n ). ????????????13分

8


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