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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第六节空间图形的垂直关系 理


第六节 空间图形的垂直关系 1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题. 知识梳理 一、空间图形的垂直关系 直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直. 二、直线与直线垂直 定义:两条直线所成的角为 90°,则称两直线垂直,包括两类:相交垂直与异面垂 直. 三、直线与平面垂直 1.定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个 平面垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面. 2.直线与平面垂直的判定. 类别 语言表述 应用 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这 证直线和 个平面垂直(定义) 平面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直 证直线和 判定 于这个平面 (判定定理) 平面垂直 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个 证直线和 平面 平面垂直 3.直线与平面垂直的性质. 类别 语言表述 图示 字母表示 应用 如果一条直线和一 证两 个平面垂直,那么 a⊥α ? ? 条 ?? a⊥b 这条直线和这个平 直线 ? b? α ? 面内的任何一条直 垂直 线都垂直 性质 证两 如果两条直线同垂 ? a⊥α ? 条 ?? a∥b 直于一个平面,那 直线 ? b⊥α ? 么这两条直线平行 平行 四、二面角 1.定义:从一条直线 AB 出发的两个半平面(α 和 β )所组成的图形叫做二面角.记作 二面角 α ABβ ,AB 叫做二面角的棱,两个半平面(α 和 β )叫做二面角的面. 2.二面角的平面角:在二面角的棱 AB 上任取一点 O,过 O 分别在二面角的两个面 α , β 内作与棱垂直的射线 OM,ON,我们把∠MON 叫做二面角 α ABβ 的平面角,用它来度量二 面角的大小. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 第 1 页 共 6 页 五、两个平面垂直的判定和性质. 1.定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定和性质 类别 语言表述 根据定义,证明 两平面所成的二 面角是直二面角 图示 字母表示 ∠AOB 是二面角 α aβ 的平 面角,且∠AOB=90°,则 α ⊥β 应用 判定 如果一个平面经 过另一个平面的 一条垂线,那么 这两个平面互相 垂直 如果两个平面垂 直,那么它们所 成二面角的平面 角是直角 如果两个平面垂 直,那么在一个 平面内垂直于它 们交线的直线垂 直于另一个平面 a? α ? ? ?? α ⊥β ? a⊥β ? α ⊥β ,∠AOB 是二面角 α aβ 的平面角,则∠AOB =90° α ⊥β 证两个平 面垂直 证两条直 线垂直 性质 α ∩β =l a? α a⊥l a⊥β ? ? ?? ? ? 证直线和 平面垂直 基础自测 1.已知直线 m,n 和平面 α ,β ,若 α ⊥β ,α ∩β =m,n? α ,要使 n⊥β ,则应 增加的条件是( ) A. m∥n B. n⊥m C. n∥α D. n⊥α 解析:已知直线 m,n 和平面 α ,β ,若 α ⊥β ,α ∩β =m,n? α ,根据面面垂直的 性质定理,应增加条件 n⊥m,才能使得 n⊥β . 答案:B 2.(2013·广东卷)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,是两个不同的平面,下列命题 中正确的是( ) A.若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则

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