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第三章


第三章

直线与方程测试题

一.选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分) 1.若直线过点( 3 ,-3)且倾斜角为 30°,则该直线的方程为( ) A.y= 3 x-6 B. y=

3 3 3 x+4 C . y= x-4 D. y= x+2 3 3 3

2. 如果 A(3, 1)

、B(-2, k)、C(8, 11), 在同一直线上,那么 k 的值是( )。 A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 3. 如果直线 x+by+9=0 经过直线 5x-6y-17=0 与直线 4x+3y+2=0 的交点,那么 b 等 于( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2 2 4. 直线 (2m -5m+2)x-(m -4)y+5m=0 的倾斜角是 450, 则 m 的值为( )。 A.2 B. 3 C. -3 D. -2 5.两条直线 3x ? 2 y ? m ? 0 和 (m 2 ? 1) x ? 3 y ? 2 ? 3m ? 0 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.重合 D.与 m 有关 )

5 *6.到直线2x+y+1=0的距离为 5 的点的集合是(
A.直线2x+y-2=0 C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0

)

B.直线2x+y=0 D.直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0

7 直线 x ? 2 y ? b ? 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1, 那么 b 的取值范围是 ( ) A. ?? 2,2? C. ?? 2,0? ? ?0,2? B. ?? ?,?2? ? ?2,??? D. ?? ?,???

*8.若直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 M,N 两点,且 MN 的中点是 P(1,- 1),则直线 l 的斜率是( ) 2 2 3 3 A.- B. C.- D. 3 3 2 2 c+2 2 13 9.两平行线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 ,则 的值是( ) 13 a A .±1 B. 1 C. -1 10.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 D.2 )

**11. 点 P 到点 A′ (1, 0) 和直线 x=-1 的距离相等, 且 P 到直线 y=x 的距离等于 这样的点 P 共有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 *12.若 y=a|x|的图象与直线 y=x+a(a>0) 有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ( )
1

2 , 2

D.4 个

A.0<a<1 B.a>1 C.a>0 且 a≠1 D.a=1 二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分) 13. 经过点(-2,-3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 ; 或 。 *14. 直线方程为(3a+2)x+y+8=0, 若直线不过第二象限,则 a 的取值范围是



15. 在直线 x ? 3 y ? 0 上求一点,使它到原点的距离和到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等, 则此点的坐标为 . *16. 若方程 x2-xy-2y2+x+y =0 表示的图形是 三.解答题(共 6 小题,共 70 分)



17.(12 分)在△ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为:x-2y+1=0,∠A 的平分线所在 直线方程为:y=0,若点 B 的坐标为(1,2),求点 A 和 C 的坐标.

*18.已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1. (1)求证:无论 a 为何值,直线总过第一象限; (2)为使这条直线不过第二象限,求 a 的取值范围.

y 19.已知实数 x,y 满足 2x+y=8,当 2≤x≤3 时,求 的最值. x

20.已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

y-3 **21.已知集合 A={(x,y)| =a+1},B={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y x-2 =15},求 a 为何值时,A∩B=?.

**22.有一个附近有进出水管的容器,每单位时间进 出的水量是一定的,设从某时刻开始 10 分钟内只进水, 不出水,在随后的 30 分钟内既进水又出水,得到时间 x (分)与水量 y(升)之间的关系如图所示,若 40 分钟 后只放水不进水,求 y 与 x 的函数关系.

y 30? B ? 20 A 10 ? ? ?? ? 10 20 30 40 O

x

2

答案与提示
一.选择题 1—4 CDDB 提示: 5—8 BDCA 9—12 ADCB

1. 据直线的点斜式该直线的方程为 y-(-3)=tan300(x- 3 ),整理即得。 2. 由 kAC=kBC=2 得 D 3. 直线 5x-6y-17=0 与直线 4x+3y+2=0 的交点坐标为(1, -2), 代入直线 x+by+9=0, 得 b=5 2m2-5m+2 4. 由题意知 k=1,所以 =1,所以 m=3 或 m=2(舍去) m2-4 3 m2+1 5. 第一条直线的斜率为 k1=-2,第二条直线的斜率为 k2= 3 >0 所以 k1≠k2.

5
|2x+y+1| 5 6. 设此点坐标为(x,y),则 = ,整理即得。 22+12 b 1 b 1 1 7. 令 x=0,得 y=2,令 y=0,x=-b,所以所求三角形面积为2|2||b|=4b2,且 b≠0,4b2<1, 所以 b2<4,所以 b∈ ?? 2,0? ? ?0,2? . 8. 由题意,可设直线 l 的方程为 y=k(x-1)-1,分别与 y=1,x-y-7=0 联立解得 M k-6 -6k+1 2 ( +1,1),N( , ). k k-1 k-1 2 又因为 MN 的中点是 P(1,-1),所以由中点坐标公式得 k=- . 3 3 -2 -1 9. 由题意 = ≠ ,∴a=-4,c≠-2. 6 a c c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0. 2 c | +1| 2 2 13 由两平行线距离得 = ,得 c=2 或 c=-6, 13 13 c+2 ∴ =±1. a 10.直线 x-2y+1=0 与 x=1 的交点为 A(1,1),点(-1,0)关于 x=1 的对称点为 B (3,0)也在所求直线上, 1 ∴所求直线方程为 y-1=- (x-1), 2 1 即 x+2y-3=0,或所求直线与直线 x-2y+1=0 的斜率互为相反数,k=- 亦可得解. 2 11.由题意知 (x-1)2+y2 =|x+1|且 |x-y| 2 = , 2 2

3

? y2=4x 所以? ?|x-y|=1

?y2=4x ?? ? x-y=1

?y2=4x ①或? ? x-y=-1

②,

解得,①有两根,②有一根. 12..如图,要使 y=a|x|的图象与直线 y=x+a(a>0)有两个不同的交点,则 a>1. y y=a|x| y=x-a

O 二.填空题 13.x+y+5=0 或 3x-2y=0 14.a≤-

x

2 3

15. ( ? , ) 或 ( ,? )

3 1 5 5

3 5

1 5

16.两条直线. 提示: 13.注意经过原点的直线在 x 轴、y 轴上的截距均为零 14.直线在 y 轴上的截距为-8,直线不过第二象限,画图可知,直线的斜率为正或 0,即 -(3a+2)≥0,所以 a≤-

2 。 3

|-3y0+3 y0-2| 1 15.设此点坐标(-3y0, y0),由题意 (-3y0)2+ y02= 2 2 ,可得 y0=±5 1 +3 16.x2-xy-2y2+x+y = ( x+y ) (x-2y)+(x+y)= ( x+y) (x-2y+1)=0, 所以表示两条直线 x+y=0 , x-2y+1=0. 三.解答题 17.解:由 ?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?y ? 0

∴A(-1,0) ,又 KAB=

2?0 ? 1 ,∵x 轴为∠A 的平分 1 ? (?1)

线,故 KAC=-1,∴AC:y=-(x+1) ,∵BC 边上的高的方程为:x-2y+1=0 ,∴KBC=-2 ∴BC:y-2=-2(x-1),即:2x+y-4=0 ,由 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 ,解得 C(5,-6)。 ?x ? y ? 1 ? 0

18.解:(1)将方程整理得 a(3x-y)+(-x+2y-1)=0,对任意实数 a,直线恒过 3x-y=0 与 x-2y+1=0 的交 1 3 点( , ), 5 5 1 3 ∴直线系恒过第一象限内的定点( , ), 5 5 即无论 a 为何值,直线总过第一象限. 1 (2)当 a=2 时,直线为 x= ,不过第二象限;当 a≠2 时,直线方程化为 5 y= 3a-1 1 x- ,不过第二象限的充要条件为 a-2 a-2 -1 >0 ?3aa- 2 ? 1 ? a-2 ≤0

?a>2,综上 a≥2 时直线不过第二象限.

4

19.思路点拨:本题可先作出函数 y=8-2x(2≤x≤3)的图象, y 把 看成过点(x,y)和原点的直线的斜率进行求解. x 解析:如图,设点 P(x,y),因为 x,y 满足 2x+y=8, 且 2≤x≤3,所以点 P(x,y)在线段 AB 上移动,并且 A,B 两点的坐标分别是 A(2,4),B(3,2). y 2 因为 的几何意义是直线 OP 的斜率,且 kOA=2,kOB= , x 3 y 2 所以 的最大值为 2,最小值为 . x 3

y 4? A 3? ? P 2? B ? 1 ???? 12 34 O

x

20.解:(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2,而 P 点坐标为(2,-1),可见,过 P(2, -1)垂直于 x 轴的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 =2,解得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 2x-4y-10=0. 综所,可得直线 l 的方程为 x=2 或 2x-4y-10=0. (2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的佳绩是过 P 点且与 PO 垂直的直线,由 l⊥OP, 1 得 k1kOP=-1,所以 k1= =2. kOP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. |-5| 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大距离为 = 5 . 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超达 5 的直线,因此不存在过点 P 点且到原 点距离为 6 的直线. 21.思路点拨:先化简集体 A,B,再根据 A∩B=?,求 a 的值. 自主解答:集合 A、B 分别为 xOy 平面上的点集;直线 l1: (a+1)x-y-2a+1=0(x≠2), 2 l2:(a -1)x+(a-1)y-15=0. ?(a+1)(a-1)=(-1)?(a2-1) 由? ,解得 a=±1. 2 ? -1?(-15)≠(a-1)(-2a -1) ①当 a=1 时,显然有 B=?,所以 A∩B=?; ②当 a=-1 时,集合 A 为直线 y=3(x≠2), 15 集合 B 为直线 y=- ,两直线平行,所以 A∩B=?; 2 ③由 l1 可知(2,3)?A,当(2,3)∈B 时,即 2(a2-1)+3(a-1)-15=0, 5 5 可得 a= 或 a=-4,此时 A∩B=?.综上所述,当 a=-4,-1,1, 时, 2 2 A∩B=?. 22.解:当 0≤x≤10 时,直线过点 O(0,0),A(10,20); 20 ∴kOA= =2,所以此时直线方程为 y=2x; 10 当 10<x≤40 时,直线过点 A(10,20),B(40,30),
5

30-20 1 1 此时 kAB= = ,所以此时的直线方程为 y-20= (x-10), 3 40-10 3 1 50 即 y= x+ ; 3 3 当 x>40 时,由题意知,直线的斜率就是相应放水的速度,设进水的速度为υ 1,放水 的速度为υ 2,在 OA 段时是进水过程,所以υ 1=2,在 AB 段是既进水又放水的过程,由物 1 理知识可知,此时的速度为υ 1+υ 2= , 3 1 5 5 ∴2+υ 2= ,∴υ 2=- ,所以当 x>40 时,k=- . 3 3 3 5 290 又过点 B(40,30),所以此时的方程为 y=- x+ , 3 3 令 y=0,∴x=58,此时到 C(58,0)放水完毕.

? ? 1 x+ 50 3 综合上述:y=? 3 5 290 ? ? -3 x+ 3

2x

(0≤x≤10) (10<x≤10) (40<x≤58)

章节能力测试题(三)考查知识点对照表
题序 1 星级 考查知识点 点斜式该直线的方程 考查能力 应用、计算能力

6

2 3 4 5 6 7 *

三点共线 直线交点 直线的倾斜角 两直线的位置关系 点到直线的距离、点的集合 直线的截距、三角形的面积

公式应用、计算能力 应用、计算能力 计算、综合能力 计算、判断能力 综合应用能力 理解能力、 运算求解不等式能 力

8 9

*

直线的交点、中点坐标公式 两平行线的斜率、截距关系及距离 等知识

理解、计算能力 转化与计算能力

10 11 12 ** **

直线的对称 点到直线的距离 直线的交点

理解、计算能力 应用、计算等综合能力 利用数学方法 (数形结合) 解 题能力

13

直线方程

利用数学方法 (分类讨论) 解 题能力

14 15 16 17

*

点点直线、点线距离 点线距离

分析问题、解决问题能力 应用能力、计算能力 化简、转化能力 理解能力、转化能力、运算求 解能力

*

直线方程 直线的交点、直线方程、对称问题

18

*

直线的方程、直线过定点问题

理解能力、转化能力、运算求 解能力

19 20

直线的方程、直线的斜率 直线的方程、点到线的距离

转化能力、运算求解能力 转化能力、运算求解能力、 实 际应用能力

21 22

** **

集合的运算、直线方程 直线方程、实际应用

综合应用、理解与运算能力 分析转化能力、运算求解能 力、实际应用能力

7


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