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8.4 圆(2)


第八章

直线和圆的方程

8.4



我们知道,平面内直线与圆的位置关系有三种(如图):

创 设 情 境 兴 趣 导 入

(1)相离:无交点; (2)相切:仅有一个交点; (3)相交:有两个交点.

8. 4



直线与圆的位置关系,可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系 来判别(如图):

创 设 情 境 兴 趣 导 入

(1) d ? r :直线与圆相离; (2) d ? r :直线与圆相切; (3) d ? r :直线与圆相交.

8. 4



设圆的标准方程为
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

动 脑 思 考 探 索 新 知

则圆心C(a,b)到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



比较d与r的大小,就可以判断直线与圆的位置关系.

8. 4



例6

判断下列各直线与圆的位置关系: ⑴ 直线 x ? y ? 3 ? 0, 圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 9;

巩 固 知 识 典 型 例 题

2 2 ⑵ 直线 3x ? y ? 5 ? 0 , 圆 x ? y ? 10 y ? 0.



⑴ 由方程 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 9 知,

2

2

,. 圆C的半径 r ? 3,圆心为 C (11)
圆心C到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离为

d?

1?1? 3 12 ? 12

?

3 2 , 2

由于 d ? r ,故直线l与圆相交.

8. 4



例6

判断下列各直线与圆的位置关系: ⑴ 直线 x ? y ? 3 ? 0, 圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 9;

巩 固 知 识 典 型 例 题

2 2 ⑵ 直线 3x ? y ? 5 ? 0 , 圆 x ? y ? 10 y ? 0.

⑵ 将方程 x 2 ? y 2 ? 10 y ? 0 化成圆的标准方程,得

x 2 ? ( y ? 5)2 ? 25.
因此,圆心 C (0,5) ,半径 r ? 5 .
圆心C到直线 3x ? y ? 5 ? 0 的距离为

d ?

0?5?5 3 ?1
2 2

?0

即由于 d ? r ,所以直线与圆相交.

8. 4



例7 过点 P(1, ?1) 作圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,试求切线方程. 解 设所求切线的斜率为k ,则切线方程为
y ? 1 ? k ( x ? 1),



kx ? y ? (?1 ? k ) ? 0.
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

巩 固 知 识 典 型 例 题

圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的标准方程为 所以圆心C(1,1) ,半径r=1. 圆心到切线的距离为
d? k ? 1 ? (?1 ? k ) k ? (?1)
2 2

?

2 k ?1
2



由于圆心到切线的距离与半径相等,所以

2 k ?1
2

? 1,

解得

k ? ? 3.

y ? 1 ? ? 3( x ? 1),

即 3x ? y ? 3 ? 1 ? 0 或 3x ? y ? 3 ? 1 ? 0.

8. 4



1.判断直线 x ? y ? 2与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系.

相切.

运 用 知 识 强 化 练 习

2.求以C(2,1)为圆心,且与直线2x+5y=0相切的圆的方程.

? x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ?

81 . 29

8. 4



例8

从M(2,2)射出一条光线,经过x轴反射后过

点N(-8,3)(如图).求反射点P的坐标.

巩 固 知 识 典 型 例 题



已知反射点P在x轴上,

故可设点P的坐标为(x,0).由于 入射角等于反射角,即∠NPQ= ∠QPN.设直线PM的倾斜角为α,则直线NP的倾斜角为π-α.所以
kPM ? tan ? ? ? tan(π ? ? ) ? ?kNP,

即 解得

x ? ?2.

2?0 3?0 ?? 2? x ?8 ? x

故反射点P的坐标为(-2,0).

8. 4



例9 某施工单位砌圆拱时,需要制作如图所示的木模.设圆拱高 为1m,跨度为6 m,中间需要等距离的安装5根支撑柱子,求E点的柱 子长度(精确到0.1m).

巩 固 知 识 典 型 例 题

解 以点D为坐标原点,过AG的直线 为x轴,建立直角坐标系,则点E的坐标为 (1,0), 圆心C在y轴.
2 2 2 设半径为r,则 | CD | ? | DG | ?| CG | ,

即 解得

r 2 ? (r ? 1)2 ? 32,

r ? 5.

2 2 所以圆心为(0,?4),圆的方程为 x ? ( y ? 4) ? 25.

将x=1代入方程(取正值)得 y ? ?4 ? 24 ? 0.9 ? m ?. 答 E点的柱子长度约为0.9 m.

8. 4



1.光线从点M(?2,3)射到点P(1,0),然后被x轴反射,求 反射光线所在直线的方程.

略.

运 用 知 识 强 化 练 习

2.赵州桥圆拱的跨度是37.4米,圆拱高约为7.2米,适当选取坐标 系求出其拱圆的方程.

略.

8. 4



如何判定直线与圆的位置关系?

理 论 升 华 整 体 建 构

直线与圆的位置关系,可以由圆心到直线的 距离d与半径r的关系来判别:

(1) d ? r :直线与圆相离; (2) d ? r :直线与圆相切; (3) d ? r :直线与圆相交.

8. 4



学习效果

自 我 反 思 目 标 检 测

学习行为

学习方法

8. 4



判断直线 x ? y ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系?

自 我 反 思 目 标 检 测

相切.

8. 4



作业
继 续 探 索 活 动 探 究
读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题8.4 A(必做) 教材习题8.4 B(选做) 实践调查:寻找圆与直线的位置

关系在现实生活中的应用.
8. 4 圆


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