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二次函数与相似综合


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二次函数与相似综合
大纲教学计划 个性化教学计划

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1.二次函数性质灵活应用 2.通过练习题的训练,使得学生更加纯熟的应用二次函数相关知识点解决各类 问题 进一步认识数形结合的思想和方法

二次函数知识的综合运用 二次函数知识的综合运用

二次函数与相似问题
例 1、如图,已知抛物线 y ? ??x ? 2? ? 1 的图像与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,
2

与 y 轴交于点 C. (1)试判断△AOC 与△COB 是否相似; (2)若点 D 是抛物线的顶点,DH 垂直于 x 轴,垂足为 H,试判断直角三角形 DHA 与直角三角 形 COB 是否相似?说明理由.

教学 过程

变式 1:若点 M 在抛物线上且在 x 轴上方,过点 M 作 MG 垂直于 x 轴,垂足为点 G,是否存在 M,使得△AMG 与△AOC 相似.

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变式 2:若点 D 是抛物线的顶点,点 M 在抛物线上且在 x 轴上方,过点 M 做 x 轴的垂线,垂足 为点 G,是否存在 M,使得△AMG 与△DCB 相似.

例 2、已知:如图,抛物线 y ? ? x ? bx ? c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A(-1,0) 、B(0,3)
2

两点,其顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式; (2)若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积; (3)△ AOB 与△ BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由. (注:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 )

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自主练习
1、如图,已知抛物线 y ? ax ? bx ? c 经过 A(1,0) ,B(3,0) ,C(0,3) 。
2

(1) 试求抛物线表达式,并写出它的顶点 P 的坐标。 (2) 连 AC,BC,BP,试问:在 x 轴上是否存在点 Q,使得△PBQ 与△ABC 相似?若存在, 请求出 Q 点坐标;若不存在,请说明理由。

2、如图,抛物线经过 A(4,,B(1 0) C (0, 2) 三点. 0) ,, ? (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P,M 为 顶点的三角形与 △OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;

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3、如图,在平面直角坐标系 xoy 中,把抛物线 y ? x 向左平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位,
2

得到抛物线 y ? ( x ? h) ? k .所得抛物线与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左边) 与 y 轴交于 ,
2

点 C ,顶点为 D . (1)写出 h、k 的值; (2)判断 △ACD 的形状,并说明理由; (3)在线段 AC 上是否存在点 M ,使 △AOM ∽ △ABC ?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,说明理由. y



O B x

C D

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4、 如图(1),直线 y=-x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C,经过 B、C 两点的抛物线 y= x +bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A,顶点为 P. (1)求该抛物线的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点 M,使以 C、P、M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存 在,请直接写出所有符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)连结 AC,在 x 轴上是否存在点 Q,使以 P、B、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在, 请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)当 0<x<3 时,在抛物线上求一点 E,使△CBE 的面积有最大值. (图(2)、图(3)供画图探究)
2

5、如图,在平面直角坐标系中,点 A(10,0) ,以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C,点 B
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是该半圆周上一动点,连结 OB、AB,并延长 AB 至点 D,使 DB=AB,过点 D 作 x 轴垂线,分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F,点 E 为垂足,连结 CF. (1)当∠AOB=30° 时,求弧 AB 的长度; (2)当 DE=8 时,求线段 EF 的长; (3)在点 B 运动过程中,是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,若存在,请 求出此时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由. y D B F

O

C E

A

x

1.已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标为(4,-1),与 y 轴交于点 C(0,3),O 是原点. (1)求这条抛物线的解析式; (2)设此抛物线与 x 轴的交点为 A,B(A 在 B 的左边) ,问在 y 轴上是否存在点 P,使以 O,B,P 为顶点的三角形与△AOC 相似?若存在,请求出点 P 的坐标:若不存在,请说明理由.

作业

2.如图①,已知抛物线的顶点为 A(2,1),且经过原点 O,与 x 轴的另一交点为 B.
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(1)求抛物线的解析式; (2)若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平 行四边形,求 D 点的坐标; (3)连接 OA、AB,如图②,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得△OBP 与△OAB 相似? 若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由.
y A O B x O y A B x

图①

图②

中考链接 1. (10·四川)如图,已知△ABC 中,∠ACB=90° AB 所在直线为 x 轴,过 c 点的直线为 y 轴 以 建立平面直角坐标系.此时,A 点坐标为(-1,0) B 点坐标为(4,0) , (1)试求点 C 的坐标 (2)若抛物线 y ? ax ? bx ? c 过△ABC 的三个顶点,求抛物线的解析式.
2

(3)点 D( 1,m )在抛物线上,过点 A 的直线 y=-x-1 交(2)中的抛物线于点 E,那么在 x 轴上点 B 的左侧是否存在点 P,使以 P、B、D 为顶点的三角形与△ABE 相似?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,说明理由.

2. (10·湖北襄樊)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AB=4,OB=2,抛物线过 A、B、C 三点,
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与 x 轴交于另一点 D.一动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 B 点出发沿 BA 向点 A 运动,运动到 点 A 停止,同时一动点 Q 从点 D 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿 DC 向点 C 运动,与点 P 同 时停止. (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的对称轴与 AB 交于点 E,与 x 轴交于点 F,当点 P 运动时间 t 为何值时,四 边形 POQE 是等腰梯形? (3)当 t 为何值时,以 P、B、O 为顶点的三角形与以点 Q、B、O 为顶点的三角形相似?

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 学生的接受程度:完全能接受□ 课 后 记 学生的课堂表现:很积极□

提前完成□

延后完成□

部分能接受□ 一般□

不能接受□ 不积极□ 分 存在问题

比较积极□

学生上次的作业完成情况:数量 备 注

% 完成质量

班主任签字

家长或学生签字

教研主任审批

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