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第一轮复习14---导数与函数的单调性、极值、最值


第一轮复习-导数与函数的单调 性、极值、最值
上饶中学数学组 俞振

如果在某个区间内,函 数y ? f ?x ?的导数 f ?x ? ? 0, 则在这个区间上,函数 y ? f ?x ?
'

单调区间

是增加的。该区间为函 数的增区间。 如果在某个区间内,函 数y ? f ?x ?的导数 f ?x ? ? 0, 则在这个区间上,函数 y ? f ?x ?
'

是减少的。该区间为函 数的减区间。

单调区间
1 3 设函数f ?x ? ? x ? ?1 ? a ?x 2 ? 4ax ? 24a, 3 其中常数a ? 1, 求f ?x ?的单调减区间。

?2,2a?

含参数的单调区间--界点讨论法
界点选取原则: 1,开口 2,△ 3,根的大小 4,根与定义域的关系

含参数的单调区间
1 3 设函数f ?x ? ? x ? ?1 ? a ?x 2 ? 4ax ? 24a, 3 其中常数a ? R, 求f ?x ?的单调区间。

含参数的单调区间
已知函数f ?x ? ? e ? ax ? 1.
x

求f ?x ?的单调区间。

a ? 0时,增区间为 R,减区间为 ?。

?ln a,???,减区间为?? ?, ln a?。 a ? 0时,增区间为

单调性下的取值范围

y ? f ? x ?是区间上的增函数? y ? f ? x ?是区间上的减函数? f ? x ? ? 0在区间上恒成立。


f ? x ? ? 0在区间上恒成立。


单调性下的取值范围
已知函数f ?x ? ? e ? ax ? 1.问是否
x

存在a,使f ?x ?在?- 2,3?上为减函

数,若存在,求出 a的范围;若 不存在,说明理由。

?e ,???
3

单调性下的取值范围
1 2 若f ? x ? ? ? x ? b ln? x ? 2?在?- 1, ? ? ?上 2 是减函数,求b的取值范围。

?? ?,?1?

单调性下的取值范围
e 设f ?x ? ? , 其中a为正实数.若f ?x ? 2 1 ? ax 是R上的单调函数,求 a的取值范围。
x

?0,1?

极值最值
求极值点的步骤: 1, 求出函数f ? x ?的定义域D; 2, 求出导数f ? x ?;
'

3, 求出方程f ' ? x ? ? 0的解x0; 若“左正右负”,则 x0为极大值点。 先增后减 若“左负右正”,则 x0为极小值点。 4, 当x0 ? D,列表,

先减后增

极值最值
求极值: 求出极值点x0 , 对应的函数值 f ?x0 ?为极值。

求最值: 求出极值,与端点值比 较。

极值最值

e 设f ? x ? ? , 其中a为正实数. 2 1 ? ax 4 若a ? , 求f ? x ?的极值点。 3
3 1 x1 ? 是极小值点, x2 ? 是极大值点。 2 2

x

极值最值
1 2 设a ? 0,函数f ?x ? ? x ? ?a ? 1?x ? a?1 ? ln x ?. 2 求函数f ?x ?的极值。
1 2 1 0 ? a ? 1时,极大值- a ? a ln a, 极小值 - ; 2 2 a ? 1时,无极值; 1 1 2 a ? 1时,极大值- , 极小值 - a ? a ln a。 2 2

极值最值 已知函数f ? x ? ? ax2 ? 1?a ? 0 ?, g ? x ? ? x 3 ? bx. 当a ? 3, b ? ?9时,若函数f ? x ? ? g ? x ?在区间 ?k ,2?上的最大值为28,求k的取值范围。

?? ?,?3?

极值最值
已知函数f ? x ? ? ? x ? k ?e .
x

(2)求f ? x ?在区间?0,1?上的最小值。
减?- ?,k ? 1?, 增?k ? 1,?? ?; k ? 1时,最小值为- k ; 1 ? k ? 2时,最小值为- e
k ?1

(1)求f ? x ?的单调区间;

;

?1 - k ?e; k ? 2时,最小值为


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