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新课标江西2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题(理科竞赛班)附答案[编辑8页]


新课标江西 2013-2014 学年高一下学期第一次月 考 数学试题(理科竞赛、实验班)附答案
时间:120 分钟 第Ⅰ卷(选择题 分值:150 分 满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

1、在 ?ABC 中, A ? 30? , C ? 105 ? , b ? 8 ,则 a ? (
A.4 B. 4 5 C. 4 3

) D. 4 2

2. 设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则

S4 ?( ) a2

A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2

3.在等差数列 ?a n ?中,若 S 4 ? 1, S 8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a 20 的值为(A) A.9 B.12 C.16 D.17 ). D.150°

4.己知三角形三边之比为 5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( A.90° 5.若 a1 ? 1, a n ?1 ? B.120° C.135°

an 则给出的数列{ a n } 第 34 项为( ) 3a n ? 1


A. 1/103 B.1/100 C.103 D.100 6. 已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15.若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于( (A)30 (B)45 (C)90 (D)186

7.有一电视塔,在其东南方 A 处看塔顶时仰角为 45°,在其西南方 B 处看塔顶时仰角为 60°,若 AB=120 米,则电视塔的高度为( A.60 3 米 ). B.60 米 C.60 3 米或 60 米 D.30 米

3 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,如果 2b=a+c,B=30° ,△ABC 的面积为 ,那么 b 2 等于( ) B.1+ 3 2+ 2 C. 2 D.2 3

1+ 3 A. 2

1/8

9.设 {a n } 是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( ) (A)d<0 (B)a7=0 (C)S9>S5 (D)S6 和 S7 均为 Sn 的最大值. b 的 a

10.锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,如果 B=2A,则 取值范围是( A.(-2,2) ) B.(0,2) C.( 2, 3) D.( 2,2)

第Ⅱ卷(非选择题 满分 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应横线上。

11、在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ? ,都有 an?1 ? an ? n ,则 a100 =

12、等比数列 {a n } 的各项均为正数,公比 q=2,且 a1 ? a 2 ? a30 ? 2 30 ,则 a3 ? a6 ? a30 ?

13 14

在△ABC 中,若 b 2 ? ac ,则 cos(A ? C ) ? cos B ? cos 2B 的值是_________ 在△ABC 中,若 (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,则△ABC 的形状是______________
2 2 2 2

15.在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商 样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品, 有 1 层, 就一个球; 2,3,4,? 堆最底层 第 (第一层) 示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自 层之上, n 堆第 n 层就放一个乒乓球, f (n) 表 第 以 图1

?

店橱窗里用同 其中第 1 堆只 分别按图 1 所 然垒放在下一 示第 n 堆的乒

乓球总数,则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ ( f (n) 的答案用 n 表示).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16 (12 分)有四个数:前三个成等差数列,后三个成等比数列。首末两数和为 16,中间两数和为 12。求 这四个数。

17.(12 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b;a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos? A ? B ? ? 1 。
2

2/8

求: (1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。

18. (12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, (Ⅰ)写出 S n 关于 n 的函数表达式; (Ⅱ)求证:数列 {an } 是等差数列; (Ⅲ)求数列 {| an |} 的前 n 项的和.

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=-x+12 的图像上. n

19.(12 分)如图,在山顶上有一塔,为了测量塔高,测量人员在山脚下 A 点处测得塔底 C 的仰角为 60 , 0 0 移动 100m 后到达 B 点,又测得塔底 C 点得仰角为 30 ,测得塔尖 D 的仰角为 45 ,求塔高 CD.
3/8

0

20. (13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, △ABC 的面积 S=

3 2 (a ? b 2 ? c 2 ) 4

(1)求角 C 的大小 (2)若 c=1,求△ABC 周长 L 的取值范围

21(14 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 2 ,前 n 项和 S n ? n an ? n ? 2 ? .(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 2
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n2 Sn ?1 (Ⅱ)设 b1 ? 0 , bn ? . ? n ? 2 ? , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? Sn n ?1

新课标江西 2013-2014 学年高一下学期第一次月
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考 数学试题(理科竞赛、实验班)参考答案
一、选择题 D C A B B C A B C C 二,填空题 20 11、4951 12、2 13、1 15. f (3) ? 10, f (n) ? 三,解答题

14、等腰或直角三角形

n(n ? 1)( n ? 2) 6

16.设此四数为:x,y,12-y,16-x。所以 2y=x+12-y 且(12-y)2

= y(16-x)。

把 x=3y-12 代入,得 y= 4 或 9。解得四数为 15,9,3,1 或 0,4,8,16。 1 17.解:(1) cos C ? cos?? ? ? A ? B ?? ? ? cos? A ? B ? ? ? ?C=120° 2

(2)由题设:

?a ?b ? 2 ? ? ab ? 2

3

? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120 ?
? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3
2

? ?

2

? 2 ? 10

? AB ? 10
18.解 (Ⅰ)由题设得

Sn ? ?n ? 12 ,即 Sn ? n(?n ? 12) ? ?n 2 ? 12n . n

(Ⅱ)当 n ? 1 时, an ? a1 ? S1 ? 11 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 = (?n ? 12n) ? (?(n ? 1) ? 12(n ? 1)) = ?2n ? 13 ;
2 2

由于此时-2×1+13=11= a1 ,从而数列的通项公式是 an ? ?2n ? 13 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知, a1 , a2 ,? a6 ? 0 ,数列从第 7 项起均为负数.设数列 {| an |} 的前 n 项的和为 Tn . 当 n ? 6 时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an | = a1 ? a2 ? ? ? an = Sn ? ?n 2 ? 12n ; 当 n ? 7 时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? an = (a1 ? a2 ? ? ? a6 ) ? (a7 ? ? ? an )
6/8

= 2(a1 ? a2 ? ? ? a6 ) ? (a1 ? a2 ? ? ? a6 ? a7 ? ? ? an ) = 2 S6 ? S n = n2 ? 12n ? 36 .

20、解(1) S ?

3 1 ? 2ab ? cos C ? ab sin C 4 2
(5 分)

? tan C ? 3?C ? 600
(2)由正弦定理

a b c ? ? sin A sin B sin C
b? 2 3 sin B 3

得a ?

2 3 sin A 3

L?

2 3 2 3 sin A ? sin B ? 1 3 3

?

2 3 2 3 sin A ? sin(1200 ? A) ? 1 3 3 2 3 2 3 3 1 sin A ? ( sin A ? sin A) ? 1 3 3 3 2

?

? 3 sin A ? cos A ? 1

? 2sin( A ? ) ? 1 6 ? ? 5? A? ?( , ) 6 6 6

?

s i nA ? (

?
6

? )

? 5?
( 6 , 6

] ?L?( 2 , 3 ]

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