三垂线法求二面角

求二面角的平面角

附:角与二面角之间的关系

角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边 B

二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面 ?

图形

顶点

O?
点

A

棱
面

a

?

B

构成 射线
表示法

射线

半平面 棱 半平面

?AOB

? a ? 或 二面角 ? AB ?

复习：

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

O

一、复习巩固
1. 二面角的定义? 2. 什么是二面角的平面角? 3. 什么是直二面角？

二、研究与讨论
任意 一点. 1. 二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____

两个面 内. 2. 二面角的平面角的两边分别在二面角的_______
垂直 3. 二面角的平面角的两边都与棱________. 垂直 4. 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱________. 0°≤θ≤180° 5. 二面角的平面角的范围是：_____________.

二面角的求法 二面角的求法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点（特殊点）分别在两个半平面内作棱的 垂线，得到平面角.

二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点， 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 ? ? ? ? ? 内一 点，且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半，则这个二 面角的度数是多少？ 60?
C
B

β
B

p
α

O

ι

A

(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角，通过解直角三角 形求角的大小.

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角.

(4)射影面积法——若多边形的面积是S，它在

一个平面上的射影图形面积是S’，则二面角?的 大小为COS? ＝ S’÷ S

A

B
E
O

D

C

在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 求二面角D1—AC—D的大小？
D1 C1 B1

A1

答案：arctan 2
C

D

O

A

B

三垂线法求二面角的步骤：
1、找到或作出二面角的平面角

2、用三垂线定理证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”

16

3、在一个倾斜角为30 的斜坡上，沿 0 着与坡脚的水平线成30 角的道路上山， 行走100米，求这个人升高了多少米？
25 100

0

B
H

A

50 300

300

C

3

例1.（06年江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中， 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公 共的斜边，且AD＝ 3 ，BD＝CD＝1，另一个 侧面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小. A
N

B

M

D

C

解：作BM ? AC于M，作MN ? AC交AD于N， 则?BMN就是二面角B ? AC ? D的平面角 由AB ? AC ? BC ? 2, M是AC的中点，且MN//CD 6 1 1 1 3 得BM ? , MN ? CD ? , BN ? AD ? . 2 2 2 2 2 由余弦定理得 BM ? MN ? BN 6 cos ?BMN ? ? , 2 BM ? MN 3
2 2 2

6 则?BMN ? arccos . 3

例2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的大小.
C1
D1 E B1

A1

C
D P

F A

B

例3、(高考题)⊿ABC中，AB⊥BC， SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC， 又SA＝AB＝ａ，SB＝BC, （1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小?
S E A D C B

解：（ 1）因为SB＝BC，E为SC的中点， 所以BE ? SC，又DE ? SC 因此SC ? 平面BDE （2）由SC ? 平面BDE，得BD ? SC 又由SA ? 平面ABC，得BD ? SA 则BD ? 平面SAC 因此?CDE为二面角E－BD－C的平面角
A

S E

D
B

C

由AB ? BC，AB＝a，BC= 2a，得AC＝ 3a SA a 3 在Rt?SAC中，tan?SCA= = = AC 3a 3 则?SCA=300，则?CDE=900－?SCA＝600

小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 点，求二面角的大小方法多，技巧性 强．但一般先想定义法，再想三垂线法， 要抓住题目中的垂直关系． 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节，计算一般是放在三角形中，因 此，“化归”思想很重要.

作业：

1.四棱锥P-ABCD的底面 是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6， M,N是PB,AB的中点，求 二面角M－DN－C的平 D 面角的正切值？
2.如图，在平面角为600的二面 角? -l-?内有一点P，过P作PC ? ? 于点C，PD ? ? 于点D，且PC=1， PD=2，求（1）CD的长； （2）P到棱l的距离为多少？

P

M C

B N

A
?

P
?

C

D

l