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三垂线法求二面角


求二面角的平面角

附:角与二面角之间的关系

角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边 B

二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面 ?

图形

顶点

O?

r />A




a

?

B

构成 射线
表示法

射线

半平面 棱 半平面

?AOB

? a ? 或 二面角 ? AB ?

复习:

二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

O

一、复习巩固
1. 二面角的定义? 2. 什么是二面角的平面角? 3. 什么是直二面角?

二、研究与讨论
任意 一点. 1. 二面角的平面角的顶点是二面角棱上的_____

两个面 内. 2. 二面角的平面角的两边分别在二面角的_______
垂直 3. 二面角的平面角的两边都与棱________. 垂直 4. 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱________. 0°≤θ≤180° 5. 二面角的平面角的范围是:_____________.

二面角的求法 二面角的求法
(1)定义法——直接在二面角的棱上取一 点(特殊点)分别在两个半平面内作棱的 垂线,得到平面角.

二面角
基础练 习
1、如图,AB是圆的直径,PA垂 P 直圆所在的平面,C是圆上任一点, 则二面角P-BC-A的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A 2、已知P为二面角 ? ? ? ? ? 内一 点,且P到两个半平面的距离都等 于P到棱的距离的一半,则这个二 面角的度数是多少? 60?
C
B

β
B

p
α

O

ι

A

(2)三垂线法——利用三垂线定理或 逆定理作出平面角,通过解直角三角 形求角的大小.

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面,两条交线所成的角即为平面角.

(4)射影面积法——若多边形的面积是S,它在

一个平面上的射影图形面积是S’,则二面角?的 大小为COS? = S’÷ S

A

B
E
O

D

C

在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求二面角D1—AC—D的大小?
D1 C1 B1

A1

答案:arctan 2
C

D

O

A

B

三垂线法求二面角的步骤:
1、找到或作出二面角的平面角

2、用三垂线定理证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”

16

3、在一个倾斜角为30 的斜坡上,沿 0 着与坡脚的水平线成30 角的道路上山, 行走100米,求这个人升高了多少米?
25 100

0

B
H

A

50 300

300

C

3

例1.(06年江西卷)如图,在三棱锥A-BCD中, 侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公 共的斜边,且AD= 3 ,BD=CD=1,另一个 侧面是正三角形,求二面角B-AC-D的大小. A
N

B

M

D

C

解:作BM ? AC于M,作MN ? AC交AD于N, 则?BMN就是二面角B ? AC ? D的平面角 由AB ? AC ? BC ? 2, M是AC的中点,且MN//CD 6 1 1 1 3 得BM ? , MN ? CD ? , BN ? AD ? . 2 2 2 2 2 由余弦定理得 BM ? MN ? BN 6 cos ?BMN ? ? , 2 BM ? MN 3
2 2 2

6 则?BMN ? arccos . 3

例2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, P是AD的中点,求二面角A-BD1-P的大小.
C1
D1 E B1

A1

C
D P

F A

B

例3、(高考题)⊿ABC中,AB⊥BC, SA ⊥平面ABC,DE垂直平分SC, 又SA=AB=a,SB=BC, (1)求证:SC ⊥平面BDE, (2)求二面角E-BD-C的大小?
S E A D C B

解:( 1)因为SB=BC,E为SC的中点, 所以BE ? SC,又DE ? SC 因此SC ? 平面BDE (2)由SC ? 平面BDE,得BD ? SC 又由SA ? 平面ABC,得BD ? SA 则BD ? 平面SAC 因此?CDE为二面角E-BD-C的平面角
A

S E

D
B

C

由AB ? BC,AB=a,BC= 2a,得AC= 3a SA a 3 在Rt?SAC中,tan?SCA= = = AC 3a 3 则?SCA=300,则?CDE=900-?SCA=600

小结
1. 二面角是立体几何的重点、热点、难 点,求二面角的大小方法多,技巧性 强.但一般先想定义法,再想三垂线法, 要抓住题目中的垂直关系. 2. 实施解题过程仍要注意“作、证、求” 三环节,计算一般是放在三角形中,因 此,“化归”思想很重要.

作业:

1.四棱锥P-ABCD的底面 是边长为4的正方形, PD⊥面ABCD,PD=6, M,N是PB,AB的中点,求 二面角M-DN-C的平 D 面角的正切值?
2.如图,在平面角为600的二面 角? -l-?内有一点P,过P作PC ? ? 于点C,PD ? ? 于点D,且PC=1, PD=2,求(1)CD的长; (2)P到棱l的距离为多少?

P

M C

B N

A
?

P
?

C

D

l


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