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2016-2017学年北师大版选修2-2第五章 数系的扩充与复数的引入 单元测试


第五章

数系的扩充与复数的引入

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1+2i 1.若 z= ,则复数 z =( i A.-2-i C.2-i ) B.-2+i D.2+i

1+2i 解析: ∵z= =-i(1+2i)=2-i,∴ z

=2+i. i 答案: D 2.i2 011+i2 012 在复平面内表示的点在( A.第一象限 C.第三象限 解析: i2 011+i2 012=-i+1=1-i, ∴表示的点在第四象限. 答案: D 3.若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则实数 x 的值为( A.1 C.± 1 解析: ∵复数为纯虚数,
?x2-1=0 ? ∴? 2 ? ?x +3x+2≠0

) B.第二象限 D.第四象限

)

B.-1 D.以上都不对

解得 x=1. 答案: A → → → 4.在复平面时,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA 对应的复数为( A.1-2i C.3+4i ) B.-1+2i D.-3-4i

→ → → 解析: CA=CB-AB=-1-3i-2-i=-3-4i,故选 D. 答案: D 5.在复平面内,若复数 z=m2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限内,则实数 m 的取值范围是( )

A.(0,3) C.(3,4) 解析: z=(m2-4m)+(m2-m-6)i,
?m2-4m<0 ? 则? 2 ,解得 3<m<4. ?m -m-6>0 ?

B.(-2,0) D.(-10,2)

答案: C 6.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足|z-i|+|z+i|=2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m∈Z,i2=-1,则 im+im 1+im 2+im 3=0.
+ + +

其中正确命题的序号是( A.(1) C.(1)(3)

) B.(2)(3) D.(1)(4)

解析: (1)显然正确;(2)中复数 z 表示的点到 i 和-i 表示的点的距离的和为 2,其轨 迹是线段,故(2)错;(3)中,im+im 1+im 2+im 3=im+im 1-im-im 1=0,故(3)正确.
+ + + + +

答案: C 1-z 7.设复数 z 满足 =i,则|1+z|等于( 1+z A.0 C. 2 1-z 解析: ∵ =i, 1+z ∴1-z=i+zi. 1-i ∴(1+i)z=1-i.∴z= =-i. 1+i ∴|1+z|=|1-i|= 2. 答案: C 8.如果复数 z=3+ai 满足条件|z-2|<2,那么实数 a 的取值范围为( A.(-2 2,2 2) C.(-1,1) B.(-2,2) D.(- 3, 3) ) ) B .1 D.2

解析: ∵|z-2|=|3+ai-2|= 1+a2<2,∴a2<3,∴- 3<a< 3. 答案: D 9.若 z=cos θ+isin θ(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( π A. 6 π B. 4 )

π C. 3

π D. 2

解析: ∵z2=cos2θ-sin2θ+2sin θcos θ· i =cos 2θ+isin 2θ=-1.
? ?cos 2θ=-1 ∴? , ?sin 2θ=0 ?

π ∴2θ=2kπ+π,即 θ=kπ+ (x∈Z). 2 答案: D 10.设 f(z)=1- z ,z1=2+3i,z2=5-i,则 f( z1-z2 )等于( A.-4-4i C.4-4i B.4+4i D.-4+4i )

解析: ∵z1-z2=2+3i-(5-i)=-3+4i ∴ z1-z2 =-3-4i, ∴f( z1-z2 )=1-(-3+4i)=4-4i. 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.若复数 z=1-2i(i 为虚数单位),则 z·z +z=________________. 解析: ∵z=1-2i, ∴z·z =|z|2=5. ∴z·z +z=6-2i. 答案: 6-2i 12.复数 z1= 3m-1-2mi,z2=-m+m2i,若 z1+z2>0,则实数 m=___________. 解析: z1+z2=( 3m-1-2mi)+(-m+m2i)=( 3m-1-m)+(m2-2m)i. ∵z1+z2>0,∴z1+z2 为实数且大于 0. ∴?

? 3m-1-m>0, 解得 m=2. ?m2-2m=0,

答案: 2 a b? ? 2 1? 13.定义运算? ?c d?=ad-bc,若复数 z 符合条件?z zi?=3+2i,则 z=_________. 解析: 由定义运算可知 2· zi-z=3+2i, z= 3+2i ?3+2i??1+2i? = 2i-1 -5



1-8i . 5 1-8i 5

答案:

14.已知复数 z1、z2 满足:|z1|=1,且 z2 在复平面中对应的点在直线 4x-3y+10=0 上, 则|z1-z2|的最小值是________________. 解析: 由复数及模的几何意义,知|z1-z2|表示单位圆上的点与直线 4x-3y+10=0 上 点的距离.由图知|z1-z2|min= |4×0-3×0+10| 10 -1= -1=1. 2 2 5 4 +3

答案: 1 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 6m 15.(本小题满分 12 分)已知复数 z=(2+i)m2- -2(1-i).求实数 m 取什么值时, 1-i 复数 z 是(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数. 解析: 由于 m∈R,复数 z 可以表示为 z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i) =(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
2 ? ?2m -3m-2=0, (1)当? 2 ?m -3m+2=0, ?

即 m=2 时,z 为零. (2)当 m2-3m+2≠0, 即 m≠2 且 m≠1 时,z 为虚数.
?2m2-3m-2=0, ? (3)当? 2 ? ?m -3m+2≠0,

1 即 m=- 时,z 为纯虚数. 2 (4)当 2m2-3m-2=-(m2-3m+2), 解得 m=0 或 m=2(舍去),即 m=0 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应 的复数. 16.(本小题满分 12 分)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚 部为 2,且 z1· z2 是实数,求 z2.

解析: ∵(z1-2)(1+i)=1-i, ∴z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R,z1· z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1· z2∈R,∴a=4. ∴z2=4+2i. → → 17.(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点,已知向量OZ1,OZ2分别对应复数 z1,z2,且 z1= 3 2 +(a2-10)i,z2= +(2a-5)i(其中 a∈R),若 z1+z2 可以与任意实数比较大小. a+5 1-a → (1)求向量Z1Z2对应的复数; → (2)设 Z1、Z2 中点为 Z,求|OZ|. 3 2 解析: (1)z1+z2=?a+5+1-a?+(a2-10+2a-5)i ? ? = a-13 +(a2+2a-15)i; a +4a-5
2

∵z1+z2 可与任意实数比较大小, ∴z1+z2 为实数,
2 ? ?a +4a-5≠0 ∴? 2 解得 a=3. ?a +2a-15=0 ?

3 ∴z1= -i,z2=-1+i 8 → ∴向量Z1Z2对应的复数为 3 ? 11 (-1+i)-? ?8-i?=- 8 +2i. (2)Z1Z2 的中点 Z 对应的复数为 3 ? ?-1+i?+? ?8-i? 5 z= =- , 2 16 → ∴|OZ|=

?- 5 ?2+02= 5 . ? 16? 16

18.(本小题满分 12 分)已知复数 z1=i(1-i)3, (1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值. 解析: (1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i), ∴|z1|= 22+?-2?2=2 2. (2)方法一:|z|=1,∴设 z=cos θ+isin θ, |z-z1|=|cos θ+isin θ-2+2i|

= ?cos θ-2?2+?sin θ+2?2 = π? 9+4 2sin? ?θ-4?.

π? 当 sin? ?θ-4?=1 时,|z-z1|取得最大值 9+4 2, 从而得到|z-z1|的最大值 2 2+1. 方法二:如图所示,由|z|=1 可知,z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1,圆心为 O(0,0)的圆,而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2,-2). 所以|z-z1|的最大值可以看成是点 Z1(2,-2)到圆上的点的距离的最大值. 由图知|z-z1|max=|z1|+r(r 为圆半径)=2 2+1.


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