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2016黑龙江民族职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 黑龙江民族职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的. 1.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则( ①(a·b)c-(c·a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b·c)a-(c·a)b

不与 c 垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a| 2 -4|b| 2 . 其中的真命题是( ) A.②④ B.③④ C.②③ D.①② )

2.若直线 mx+ny=4 和⊙O∶ x 2 ? y 2 ? 4 没有交点,则过(m,n)的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的交点个数( ) 9 4
A.至多一个 C.1 个 B.2 个 D.0 个

3.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成 120°的二面角,C 点到 C ? 处,这时异面直线 AD 与

BC ? 所成角的余弦值是( )
A.

2 2

B.

1 2

C.

3 4

D.

3 4

4.现用铁丝做一个面积为 1 平方米、形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的铁 丝各一根供选择,其中最合理(即够用,浪费最少)的一根是( ). A.4.6 米 B.4.8 米 C.5.米 D.5.2 米

5.在△ABC 中, | AC | =5, | BC | =3, | AB | =6,则 AB ? AC =( )

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A.13 B.26 C.

78 5

D.24

6.一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等,则圆锥 轴截面顶角的余弦值是( ) A.

3 4

B.

4 3

C. ?

3 5

D.

3 5

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ?[ 2 , 2] .双曲线的两条渐近线构成的角中, a2 b2 以实轴为角平分线的角记为 ? ,则 ? 的取值范围是( ).
7.已知双曲线 A. [ C. [

π π , ] 6 2

B. [ D. [

π π , ] 3 2

π 2π , ] 3 2

2π ,π ] 3

8.已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) 为偶函数 (0 < ? < π ) ,其图像与直线 y=2 的某两个交 点横坐标为 x1 , x2 , | x2 ? x1 | 的最小值为 π ,则( ) A. ? ? 2 , ? ? C. ? ?

π 2

B. ? ?

1 π ,? ? 2 2 π 4

1 π ,? ? 4 2

D. ? ? 2 , ? ?

9.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标 为 3,则 | AB | 等于( ) A.10 B.8 C.6 D.4

10 .若 log2 x1 ? loga x2 ? log( a ?1) x3 ? 0(0 ? a ? 1) ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是(
a



A. x3 ? x2 ? x1 C. x2 ? x3 ? x1

B. x2 ? x1 ? x3 1B. x1 ? x3 ? x2

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二、填空题:本题共 5 小题,共 20 分,把答案填在题中的横线上 11.若不等式 x ? ax ? 3 的解集是非空集合 {x | 4 ? x ? m}, 则a ? ,m=.
2

12. f ( x) 是定义在实数有 R 上的奇函数,若 x≥0 时, f ( x) ? log3 (1 ? x) ,则 f (?2) ? ________. 13.若点 P( cos? , sin ? )在直线上 y ? ?2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? ? ________. 14.用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体,截得的截面是四边形的图形 可能是下列选项中的________(把所有符合条件的图形序号填入). ①矩形 ③菱形 ②直角梯形 ④正方形

15.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面

m(km) ,远地点 B 距离地面 n(km) ,地球半径为 R(km) ,关于这个椭圆有以下四种说
法: ①焦距长为 n ? m ;②短轴长为 (m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ?

n?m ;④ m ? n ? 2R

若以 AB 方向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则与 F 对应的准线方程为

x??

?(m ? R)(n ? R) ,其中正确的序号为________. (n ? m)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(12 分)设函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x( x ? R) 的最大值为 M,最小正周期 为 T. (Ⅰ)求 M、T; (Ⅱ)10 个互不相等的正数 x i 满足 f ( xi ) ? M , 且xi ? 10? (i ? 1,2,?,10), 求

x1 ? x 2 ? … + x n 的值.

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17.(12 分)无穷数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? npan (n ? N * ) ,并且 a1 ≠ a2 . (1)求 p 的值;

(2)求 {an } 的通项公式;

18.(14 分)(甲)如图,已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 A1C ⊥底面 ABC,∠ABC =90°,BC=2,AC= 2 3 ,又 AA 1⊥ A 1C , AA 1= A 1C .

(1)求侧棱 A1 A 与底面 ABC 所成的角的大小;

(2)求侧面 A1B 与底面所成二面角的大小;

(3)求点 C 到侧面 A1B 的距离.

(乙)在棱长为 a 的正方体 OABC ? O?A?B?C ? 中,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点, 且 AE=BF.

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(1)求证: A?F ? C ?E ;

(2)当三棱锥 B? ? BEF 的体积取得最大值时,求二面角 B? ? EF ? B 的大小(结 果用反三角函数表示).

19.(14 分)在抛物线 y 2 ? 4 x 上存在两个不同的点关于直线 l;y=kx+3 对称,求 k 的取值范围.

20.(14 分)某地区预计明年从年初开始的前 x 个月内,对某种商品的需求总量 f ( x) (万件)与月份 x 的近似关系为: f ( x) ?

1 x( x ? 1)( 35 ? 2 x)( x ? N * ,且 x ? 12) . 150

(1)写出明年第 x 个月的需求量 g ( x) (万件)与月 x 的函数关系,并求出哪个 月份的需求量最大,最大需求量是多少?

(2)如果将该商品每月都投放市场 p 万件(销售未完的商品都可以在以后各月销 售),要保证每月都足量供应,问:p 至少为多少万件?

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21.(14 分)已知函数 f ( x) ? log a

x?2 的定义域为[ ? , ? ],值域为 [loga a( ? ?1) , x?2

loga a(a ?1)] ,并且 f ( x) 在 [? , ? ] 上为减函数.
(1)求 a 的取值范围;

(2)求证: 2 ? ? ? 4 ? ? ;

参考答案
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.B 10.C

:11. 1 12.-1 13.-2 14.①③④
8

15.①③④

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16. f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ……………………2 分

(Ⅰ)M=2…………4 分 T=

2? ? ? …………6 分 2

(Ⅱ)? f ( xi ) ? 2,? 2 xi ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, xi ? k? ?

?
6

(k ? Z ) …………9 分

又 0 ? xi ? 10? ,? k ? 0,1,?,9

? x1 ? x 2 ? ? ? x10 ? (1 ? 2 ? ? ? 9)? ? 10 ?
17.(1)∵

?
6

=

140 ? ………………12 分 3

a1 ? S1 ? pa1



a1 ? 0 ,且 p=1,或 a1 ? 0 .

若是 a1 ? 0 ,且 p=1,则由 a1 ? a2 ? S2 ? 2 pa2 . ∴

a1 ? a2 ,矛盾.故不可能是: a1 ? 0 ,且 p=1.由 a1 ? 0 ,得 a2 ? 0 .
p? 1 . 2

又 a1 ? a2 ? S2 ? 2 pa2 ,∴ (2)∵ ∴

S n ?1 ?

1 1 (n ? 1)an ?1 , S n ? na n , 2 2

a n ?1 ?

1 1 (n ? 1)a n ?1 ? na n . 2 2

(n ? 1)an?1 ? nan .
当 k≥2 时,

ak ?1 k . ? ak k ?1

∴ n≥3 时有

an ?
?

an an?1 ? ??? a3 ? a2 an?1 an?2 a2
n ?1 n ? 2 ? ??? 2 ? a2 ? (n ? 1)a2 . n?2 n?3 1

∴ 对一切 n ? N* 有: an ? (n ?1)a2 .

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18.(甲)(1)∵ 侧面 A1C ? 底面 ABC,



A1 A 在平面 ABC 上的射影是

AC.

A1 A 与底面 ABC 所成的角为∠ A1 AC .


A1 A ? A1C , A1 A ? A1C , ∴ ∠ A1 AC =45°.

(2)作 A1O ⊥AC 于 O,则 A1O ⊥平面 ABC,再作 OE⊥AB 于 E,连结 A1E ,则

A1E ? AB ,所以∠ A1EO 就是侧面 A1B 与底面 ABC 所成二面角的平面角.
在 Rt△ A1EO 中, A1O ? ∴

1 1 AC ? 3 , OE ? BC ? 1 , 2 2

tan ?A1 EO ?

A1O ? 3. OE

?A1EO ? 60°.

(3)设点 C 到侧面 A1B 的距离为 x. ∵ ∴ ∵

VA1 ? ABC ? VC ? A1BC ,
1 ? A1O ? S ?ABC ? 1 ? x ? S ?A1BC ? A1O ? S ?ABC ? x ? S ?ABC .(*) 3 3

A1O ? 3 , OE ? 1 ,



A1E ? 3 ?1 ? 2 .
S ?A1 AB ? 1 ?2 2 ?2 ? 2 2 . 2

2 2 又 AB ? (2 3 ) ? 2 ? 2 2 ,∴

又 S ?ABC ?

x ?1

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 2 . ∴ 由(*)式,得 2 2 ? x ? 2 2 ? 1 .∴ 2

(乙)(1)证明:如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系.

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设 AE=BF=x,则 A? (a,0,a),F(a-x,a,0), C ? (0,a,a),E(a,x, 0), ∴

A?F ? (-x,a,-a),

C?E ? (a,x-a,-a).
∵ ∴

A?F ? C?E ? ?xa ? a( x ? a) ? a2 ? 0 ,
A?F ? C ?E .

(2)解:记 BF=x,BE=y,则 x+y=a,则三棱锥 B? ? BEF 的体积为

V?

1 a x? y 2 1 2 xya ? ( ) ? a . 6 b 2 24
a 时,等号成立,因此,三棱锥 B? ? BEF 的体积取得最大值时, 2

当且仅当 x ? y ?

BE ? BF ?

a . 2

过 B 作 BD⊥BF 交 EF 于 D,连结 B?D ,则 B ?D ? EF . ∴ ∠ B?DB 是二面角 B? ? EF ? B 的平面角.在 Rt△BEF 中,直角边 BE ? BF ?

a , 2

BD 是斜边上的高,



BD ?

2 4
B ?B ? 2 2 .故二面角 B ? ? EF ? B 的大小为 BD

在 Rt△ B?DB 中,tan∠ B ?DB ?

arctan2 2 .
19.∵

k=0 不符合题意, ∴ k≠0,作直线 l ? :

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y?? 1 x ? b ,则 l ? ? l . k

∴ 满足条件的

?l ?与y 2 ? 4 x交于两个不同点 A、 B; k?? ?l过AB 的中点 E

1 ? ?y ? ? x ? b 由? 消去 x,得 k 2 ? y ? 4x ?
1 2 y ? y ?b ? 0 , 4k
? ? 12 ? 4 ? 1 ? b ? 0 . b ? 1 ? 0 .(*) 4k k

设 A( x1 , y 2 ) 、 B( x2 、 y 2 ) ,则 又 ∴

y1 ? y2 ? ?4k .

y1 ? y2 1 x ?x ? ? ? 1 2 ?b . 2 k 2 x1 ? x2 ? k ( 2k ? b) . 2


故 AB 的中点 E (k (2k ? b) , ? 2k ) . 即

l 过 E, ∴

? 2k ? k 2 (2k ? b) ? 3 ,

b?

? 2k ? 3 ? 2k . k2

代入(*)式,得

? 2k ? 3 2k ? 3 k 3 ? 2k ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? k (k ? 1) (k 2 ? k ? 3) ? 0 3 3 3 k k k
? ?1 ? k ? 0

20.(1) g (1) ? f (1) ?

1 11 ?1? 2 ? 33 ? .当 x≥2 时, 150 25

g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1)

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? ? ? ?
∴ ∵

1 1 x( x ? 1)( 35 ? 2 x) ? ( x ? 1) x(37 ? 2 x) 150 150 1 x ?[( 35 ? 33 x ? 2 x 2 ) ? (?37 ? 39 x ? 2 x 2 )] 150 1 x ? (72 ? 6 x ) 150 1 x ? (12 ? x) . 25 1 x(12 ? x)( x ? N * ,且 x ? 12) . 25 1 x ? (12 ? x) 2 36 [ ] ? . 25 2 25 36 (万件).故 6 月份该商品的需求量 25

g ( x) ? g ( x) ?

∴ 当 x=12-x,即 x=6 时, g ( x) max ? 最大,最大需求量为

36 万件. 24

(2)依题意,对一切 x ?{1,2,…,12}有 px ? g (1) ? g (2) ? ? ? g ( x) ? f ( x) . ∴ ∵

p?

1 ( x ? 1)( 35 ? 2 x) (x=1,2,…,12). 150 1 (35 ? 33 x ? 2 x 2 ) 150

h( x ) ?

?


1 1369 332 [ ? 2x ? ] 150 8 4

h( x)max ? h(8) ? 1.14 . 故 p≥1.14.故每个月至少投放 1.14 万件,可以保

证每个月都保证供应. 21.(1)按题意,得 log a

? ?2 ? f ( x) max ? log a a (? ? 1) . ? ?2



?? ? 2 ? 0, ? 即 ? ?2. ?? ? 2 ? ?? ? 1 ? 0.

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又 loga

? ?2 ? f min ( x) ? loga a( ? ? 1) ? ?2
x?2 ? log a a ( x ? 1) . x?2

∴ 关于 x 的方程 log a

在(2,+∞)内有二不等实根 x= ? 、 ? . ? 关于 x 的二次方程 ax2 ? (a ? 1) x

? 2(1 ? a) ? 0 在(2,+∞)内有二异根 ? 、 ? .

?a ? 0且a ? 1 ? ? ? (a ? 1) 2 ? 8a(a ? 1) ? 0 ? 1 ? ? ? a ?1 ?0?a? . 9 ?2 ?? 2 a ? ?4a ? 2(a ? 1) ? 2(1 ? a) ? 0 ?


0?a?

1 . 9

(2)令Φ( x) ? ax2 ? (a ? 1) x ? 2(1 ? a) ,则Φ(2) ?Φ(4) ? 4a ? (18a ? 2)

? 8a(9a ? 1)
? 0.


2 ?? ? 4 ? ? .


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