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一元二次方程--计算题


第二章
姓名: 1、 ( x ? 4) ? 5( x ? 4)
2

一元二次方程
家长签字:
2

备注:每题 2.5 分,共计 100 分,配方法、公式法、分解因式法,方法自选,家长批阅,错题需在旁边纠错。

分数: 2、 ( x ? 1) ? 4 x

3、 ( x ? 3) ? (1 ? 2 x)
2

2

4、 2 x ? 10 x ? 3
2

5、 (x+5)2=16

6、2(2x-1)-x(1-2x)=0

7、x2 =64

8、5x2 -

2 =0 5

9、8(3 -x)2 –72=0

10、3x(x+2)=5(x+2)

11、 (1-3y)2+2(3y-1)=0

12、x + 2x + 3=0

2

13、x + 6x-5=0

2

14、x -4x+ 3=0

2

15、x -2x-1 =0

2

16、2x +3x+1=0

2

17、3x +2x-1 =0

2

18、5x -3x+2 =0

2

19、7x 2 -4x-3 =0

20、 -x 2 -x+12 =0

21、x 2 -6x+9 =0

2 2 22、 ( 3 x ? 2 ) ? ( 2 x ? 3 )

23、x -2x-4=0

2

24、x -3=4x

2

25、3x 2+8 x-3=0(配方法)

26、(3x+2)(x+3)=x+14

27、(x+1)(x+8)=-12

28、2(x-3) 2=x 2-9

29、-3x 2+22x-24=0

30、 (2x-1) +3(2x-1)+2=0 (2x-1+2)(2x-1+1)=0 2x(2x+1)=0 x=0 或 x=-1/2

2

31、2x 2-9x+8=0 b^2-4ac=81-4*2*8=17 x=(9+根号 17)/4 或 (9-根号 17)/4

32、3(x-5) =x(5-x) 3(x-5)+x(x-5)=0 (3+x)(x-5)=0 x=-3 或 x=5

2

33、(x+2) 2=8x x^2+4x+4-8x=0 x^2-4x+4=0 (x-2)^2=0 x=2

34、(x-2) 2=(2x+3)2 x^2-4x+4-4x^2-12x-9=0 3x^2+16x+5=0 (x+5)(3x+1)=0 x=-5 或 x=-1/3

35、 7 x ? 2 x ? 0
2

36、 4t ? 4t ? 1 ? 0
2

x(7x+2)=0 x=0 或 x=-2/7

(2t-1)^2=0 t=1/2

37、 4 ? x ? 3? ? x ? x ? 3? ? 0
2

38、 6 x ? 31x ? 35 ? 0
2

39、 ? 2 x ? 3? ? 121 ? 0
2

(x-3)(4x-12+x)=0 (x-3)(5x-12)=0 x=3 或 x=12/5

(2x-7)(3x-5)=0 x=7/2 或 x=5/3

(2x-3)^2=121 2x-3=11 或 2x-3=-11 x=7 或 x=-4

40、 2 x ? 23x ? 65 ? 0
2

(2x-13)(x-5)=0 x=13/2 或 x=5 补充练习: 一、利用因式分解法解下列方程 (x-2) 2=(2x-3)2 (x-2)^2-(2x-3)^2=0 (3x-5)(1-x)=0 x=5/3 或 x=1

x 2 ? 4x ? 0
x(x-4)=0 x=0 或 x=4

3x( x ? 1) ? 3x ? 3
3x(x+1)-3(x+1)=0 (x+1)(3x-3)=0 x=-1 或 x=1

x2-2 3 x+3=0 (x-根号 3)^2=0 x=根号 3

?x ? 5?2 ? 8?x ? 5? ? 16 ? 0
(x-5-4)^2 =0 x=9

二、利用开平方法解下列方程

1 1 (2 y ? 1) 2 ? 2 5
(2y-1)^2=2/5 2y-1=2/5 或 2y-1=-2/5 y=7/10 或 y=3/10

4(x-3)2=25 (x-3)^2=25/4 x-3=5/2 或 x=-5/2 x=11/2 或 x=1/2

(3x ? 2) 2 ? 24
3x+2=2 根号 6 或 3x+2=-2 根号 6 x=(2 根号 6-2)/3 或 x= -(2 根号 6+2)/3

三、利用配方法解下列方程

x2 ? 5 2 x ? 2 ? 0

3x 2 ? 6 x ? 12 ? 0
x^2-3/2x+1/2=0 (x-3/4)^2=1/16 x=1 或 x=1/2

x 2 ? 7 x ? 10 ? 0
(x-7/2)^2=9/4 x=5 或 x=2

(x-5 根号 2/2)^2=21/2 x^2-2x-4=0 x=(5 根号 2+根号 42)/2 (x-1)^2=5 或 x=(5 根号 2-根号 42)/2 x=1+根号 5 或 x=1-根号 5

四、利用公式法解下列方程 -3x 2+22x-24=0 b^2-4ac=196 x=6 或 4/3 2x(x-3)=x-3. 2x^2-7x+3=0 b^2-4ac=25 x=1/2 或 3

3x2+5(2x+1)=0
3x^2+10x+5=0 b^2-4ac=40 x=(-5+根号 10)/3 或 (-5-根号 10)/3

五、选用适当的方法解下列方程 (x+1) 2-3 (x +1)+2=0 (x+1-2)(x+1-1)=0 x(x-1)=0 x=0 或 1

(2 x ? 1)2 ? 9( x ? 3)2
(2x+1+3x-9)(2x+1-3x+9)=0 x=8/5 或 10

x 2 ? 2 x ? 3? 0
(x-3)(x+1)=0 x=3 或 x=-1

x 2 ? 3x ?
(x+1)(2x-7)=0 x=-1 或 7/2

1 ?0 2

x( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 2) ?1 ? 3 4
x^2+x-6=0 (x+3)(x-2)=0 x=-3 或 2

(x+3/2)^2=7/4 x=(-3+根号 7)/2 或 (-3-根号 7)/2

(3x ? 11)( x ? 2) ? 2
3x^2-17x+20=0 (x-4)(3x-5)=0 x=4 或 5/3

x(x+1)-5x=0.
x(x-4)=0 x=0 或 4

3x(x-3) =2(x-1) (x+1).
x^2-9x+2=0 b^2-4ac=73 x=(9+根号 73)/2 或(9-根号 73)/2

应用题: 1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元,为扩大销售增加盈利,尽快 减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,市场每天可多 售 2 件,若商场平均每天盈利 1250 元,每件衬衫应降价多少元? 设每件衬衫应降价 x 元。 得 (40-x)(20+2x)=1250 x=15 答:应降价 10 元

2、两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm,大正方形的面积比小正方形的 面积的 2 倍少 32 平方厘米,求大小两个正方形的边长. 设大正方形边长 x,小正方形边长就位 x/2+4,大正方形面积 x? ,小正方形面积(x/2+4)? ,面积关 系 x? =2*(x/2+4)? -32,解方程得 x1=16,x2=0(舍去),故大正方形边长 16,小正方形边长 12

3、如图,有一块梯形铁板 ABCD,AB∥CD,∠A=90°,AB=6 m,CD=4 m,AD=2 m,现在梯形中 裁出一内接矩形铁板 AEFG,使 E 在 AB 上,F 在 BC 上,G 在 AD 上,若矩形铁板的面积为 5 m2, 则矩形的一边 EF 长为多少?

解: (1)过 C 作 CH⊥AB 于 H. 在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,∠ADC=90° , ∴四边形 ADCH 为矩形. ∴CH=AD=2m,BH=AB-CD=6-4=2m. ∴CH=BH. 设 EF=x,则 BE=x,AE=6-x,由题意,得 x(6-x)=5, 解得:x1=1,x2=5(舍去) ∴矩形的一边 EF 长为 1m. 4、如右图,某小在长 32 米,区规划宽 20 米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的 3 条小路,使其 中两条与 AD 平行, 一条与 AB 平行, 其余部分种草, 若使草坪的面积为 566 米 2, 问小路应为多宽?

解:设小路宽为 x 米, 20x+20x+32x-2x?=32×20-566 2x?-72x+74=0 x?-36x+37=0 ∴x1=18+√287(舍) ,x2=18-√287 ∴小路宽应为 18-√287 米

5、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品,据市场分析,若按每千克 50 元销售一个月能 售出 500 千克;销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克,商店想在月销售成本不超过 1 万元的 情况下,使得月销售利润达到 8000 元,销售单价应定为多少? 解:销售单价定为每千克 x 元时,月销售量为:[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40) 元,所以月销售利润为: y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元), ∴y 与 x 的函数解析式为:y =–10x2+1400x–40000. 要使月销售利润达到 8000 元,即 y=8000,∴–10x2+1400x–40000=8000, 即:x2–140x+4800=0, 解得:x1=60,x2=80. 当销售单价定为每千克 80 元时,月销售量为:500–(80–50)×10=200(千克),月销售单价成本 为: 40×200=8000(元); 由于 8000<10000<16000, 而月销售成本不能超过 10000 元, 所以销售单价应定为每千克 80 元 6.某工厂 1998 年初投资 100 万元生产某种新产品,1998 年底将获得的利润与年初的投资的和作为 1999 年初的投资,到 1999 年底,两年共获利润 56 万元,已知 1999 年的年获利率比 1998 年的年获 利率多 10 个百分点,求 1998 年和 1999 年的年获利率各是多少? 解:设 98 年的年获利率为 x,那么 99 年的年获利率为 x+10%, 由题意得, 100x+100(1+x) (x+10%)=56. 解得: x=0.2,x=-2.3(不合题意,舍去) . ∴x+10%=30%. 答:1998 年和 1999 年的年获利率分别是 20%和 30%. 思考: 1、关于 x 的一元二次方程 ?a ? 2?x ? x ? a ? 4 ? 0 的一个根为 0,则 a 的值为 -2
2 2



2、若关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2 x ? k ? 0 没有实数根,则 k 的取值范围是 3、如果 x ? x ? 1 ? 0 ,那么代数式 x ? 2 x ?7 的值
2 3 2

k 小于-1

x^3+2x^2-7=x^3+x^2-x+x^+x-1+1-7

=x*(x^2+x-1)+x^2+x-1 -6 =x*0+0-6=-6 4、五羊足球队举行庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯 990 次,问晚宴共有多少人出席? 设晚宴共有 x 人出席 x(x-1)/2=990, 得 x=45

5、某小组每人送他人一张照片,全组共送了 90 张,那么这个小组共多少人? 设共 x 人,则,每人有(x-1)张照片, 即:x(x-1)=90 可知:x=10

6、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 2 (1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm ,那么这两段铁丝的长度分别为多少? 2 (2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。 (3)两个正方形的面积之和最小为多少? 解:1、设其中一个的边长为 x cm,则另一个的边长为 5-x cm 可得: x^2+(5-x)^2=17 2x^2-10x+8=0 2(x-4)(x-1)=0 解得:x=4 或 x=1 所以两段和长度分别为 4cm 和 16cm. 2、同样,设其中一个的边长为 x cm,则另一个的边长为 5-x cm 可得: x^2+(5-x)^2=12 2x^2-10x+13=0 △=100-104=-4<0 所以此方程无解,不可能! 3、令一个正方形边 x,另一个为 y 4*(x+y)=20 x+y=5 这里要求 x^2+y^2 最小 由于 x^2+y^2>=(x+y)^2/2=25/2 最小面积为 25/2


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