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高三数学月考试题 理


紫溪中学 2014 届高三第二次月考试题及解答数学(理)
试题 总分:150 分 考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷( 选择题)

一、

选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题 1. 设集合 U ? ? ,2,3,4,5?, A ? ? ,2,3

?, B ? ?2,5? ,则 A ? ?CU B ? ? ( D ) 1 1 A. ?2? B. ?2,3? C. ?3? D. ? ,3? 1 C ) C、 b ? a ? c D、 b ? c ? a

2. 设 a ? log? 3, b ? 20.3 , c ? log 3 sin A、 a ? b ? c 3.
2 2

?

6 B、 c ? a ? b

,则(

命题“若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是( D ) A.若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0
2 2

B.若 a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0
2 2

C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2

D.若 a ? 0或b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2

4. 若 f ( x) ?

1 ,则 f (x) 的定义域为( log 1 (2 x ? 1)
2

C



A. (?

1 ,0) 2

B. (?

1 , ? ?) 2

C. (?

1 ,0) ? (0,? ?) 2

D. (?

1 ,2) 2

5.

已知命题 p : ?x ? R, 使 sin x ?

5 ; 命题 q : ?x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0 。给出下列 2

结论①命题 " p ? q" 是真命题;②命题 " ?p ? q" 是真命题;③命题 " ?p ? ?q" 是假命 题;④命题 " p ? ?q" 是假命题。其中正确的是( A.②③ B.②④ C.③④ B ) D.①②③

6. 若定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 且 x ? ?0,1? 时, f ? x ? ? x, 则方程

f ? x ? ? log 3 x 的零点个数是( C )
A. 2个 B. 3个 C. 4 个 D. 多于 4 个

7.已知实数 a 满足 1 ? a ? 2 .命题 P:函数 y ? log a (2 ? ax) 在区间[0,1]上是减函数. 命题 Q: | x |? 1 是 x ? a 的充分不必要条件.则( A )

1

A. 或 Q”为真命题; “P ┐ C. P 且 Q”为真命题; “

B. 且 Q”为假命题; “P ┐ ┐ D. P 或 Q”为真命题 “

8. 若 log a 2 ? 0(a ? 0, 且 a ? 1) 则函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) 的图象大致是( B )

9.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直 角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的表面积为(D ) A. 1 ?

2
正视图 侧视图

B. 2 ? 2 2 C.

1 3

D. 2 ?

2

俯视图

?? x 2 ? 4 x , x ? 0 10.9.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ? a ? 2 ? ? f (a ) ? 0 ,则实数 a 的取值范 ? x ? 4 x, x ? 0
围是 ( D ) B. a ? 1 D. a ? 1 A. a ? ?1 ? 3 或 a ? ?1 ? 3 C. a ? 3 ? 3 或 a ? 3 ? 3

11.

若函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 ?1,4 ? 内为减函数,在区间 ?6,? ? ? 为 3 2
B. ?5,7? C. ?4,6? D. ?? ?,5? ? ?7,? ? ? .

增函数,则实数 a 的取值范围是( B ) A. ?? ?,2?

12.设函数 f (x)=

1 2 ,g(x)=ax +bx ?a, b ? R, a ? 0? 。若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像 x

有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是(B ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当 a<0 时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0, y1+y2<0 D. 当 a>0 时,x1+x2>0, y1+y2>0
2

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象经过定点 (3,1)

? x?0 ? 14. 若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 [?3,0] _______ ?2 x ? y ? 3 ?
15.若 f ( x) ? ax ? b ? 1 ( 0 ? a ? 1)在 ? 0,1? 上有零点,则 b ? 2a 的最小值为 16 .以下四个命题,是真命题的有①②④(把你认为是真命题的序号都填上) ①若 p : f ( x) ? ln x ? 2 ? x 在区间 ?1,2 ? 上有一个零点; q : e
1 2 ?2 ②当 x ? 1 时, f ( x) ? x , g ( x) ? x 2 , h( x) ? x 的大小关系是 h( x) ? g ( x) ? f ( x);

0.2

? e 0.3 , 则 p ? q 为假命题;

③若 f / ( x 0 ) ? 0, 则 f (x) 在 x ? x 0 处取得极值; ④若不等式 2 ? 3 x ? 2 x 2 ? 0 的解集为 P,函数 y ?

x ? 2 ? 1 ? 2 x 的定义域为 Q,则

" x ? P" 是 " x ? Q" 的充分不必要条件.
三、解答题:(共 70 分要求写出必要的解题过程) 17.(本题 10 分) 2 2 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax,对

? x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的
取值范围. 18.(本题 12 分) 在 ?ABC 中, A ,B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c 。 角 已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 。 (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。 解: (I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1 ?? 2 分

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,?? 4 分
解得 cos A ? (II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

?? 6 分

1 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,?? 8 分 2
2

由余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ?

a2 ? 28 sin 2 A

?? 10 分

3

? sin B sin C ?

bc 5 ? . 2 4R 7

?? 12 分

19. (本小题满分 12 分) 如 图, 在四棱 锥 P ? ABCD 中 , ABCD 为平 行四 边形, 且 BC ? 平 面 PAB ,

PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 .
(Ⅰ) 求证: PD ?? 平面AMC ; (Ⅱ) 若 AB ? 1 , 求二面角 B ? AC ? M 的余弦值.

P

解: (Ⅰ)证明: 连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接

M A

OM ,
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴点 O 为 BD 的 中点.

D

C ∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线,
∴ OM ?? PD , ?? 2 分

B

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC . ?? 4 分

(Ⅱ) 解法一 : ∵ BC ? 平面 PAB , AD ?? BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , 又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . ?? 6 分

取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF ?? PA ,且 MF ? ∴ MF ? 平面ABCD .

1 PA ? 1 . 2

作 FG ? AC ,垂足为 G ,连接 MG ,由于 MF ? AC ,且 MF ? FG ? F , ∴ AC ? 平面MGF ,∴ AC ? MG . ∴ ?MGF 为二面角 B ? AC ? M 的平面角. ?? 9 分

1 ?2 GF AF AF ? BC 2 5 ? 由 Rt ?AGF ∽ Rt ?ABC ,得 ,得 GF ? , ? ? AC 5 BC AC 5

GF 在 Rt ?MGF 中, cos ?MGF ? ? MG

5 5 1? 1 5

?

6 . 6

4

∴ 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

6 . 6

?? 12 分

(Ⅱ) 解法二: ∵ BC ? 平面 PAB , AD / / BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , 又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . ?? 6 分

以点 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间 直角坐标系 A ? xyz .
z P

1 则 A(0,0,0) , C (2,1,0) , P (0,0, 2) , B (0,1,0) , M (0, ,1) , 2 ???? ? ???? 1 ∴ AC ? (2,1,0) , AM ? (0, ,1) , 2 x ? 求得平面 AMC 的法向量为 n ? (1, ?2,1) ,
??? ? 又平面 ABC 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) ,
C

M D A

O B y

? ??? ? ? ??? ? n ? AP 2 1 6 ? ? ? ? ∴ cos ? n, AP ?? ?? ???? ? . 6 1? 4 ?1 ? 2 6 n ? AP
∴ 二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值为

6 . ?? 12 分 6

20.(本题 12 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克) 与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 , 其中 3 ? x ? 6, a 为常 x?3

数。己知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大。

a ? 10 ? 11, a ? 2. 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y ? ? 10( x ? 6) 2 , x ?3
解: (1)因为 x ? 5 时, y ? 11 。所以 所以商场每日销售该商品所获得利润

f ( x) ? ( x ? 3)[
'

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3) ( x ? 6) 2 (3 ? x ? 6), x ?3
2

从而 f ( x) ? 10[( x ? 6) ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) 于是,当 x 变化时, f ( x) , f ( x) 的变化情况如下表
'

x

(3,4)

4

(4,6)

5

f ' ( x)
f ( x)

+ 单调递增

0 极大值 42

— 单调递减

由表知, x ? 4 是函数 f ( x) 在区间 (3, 6) 内的极大值点,也是最大值点。 所以当 x ? 4 时,函教 f ( x) 取得最大值,且最大值为 42

21.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 c 的取值范围;

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d 有极值. 3 2

(2)若 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 值范围. 解: (1)∵ f ( x) ?

1 2 d ? 2d 恒成立,求 d 的取 6

1 3 1 2 x ? x ? cx ? d ,∴ f ?( x) ? x 2 ? x ? c , 3 2
2

要使 f ( x) 有极值,则方程 f ?( x) ? x ? x ? c ? 0 有两个实数解, 从而△= 1 ? 4c ? 0 ,∴ c ? ∴ c ? ?2 .

(2)∵ f ( x) 在 x ? 2 处取得极值, ∴ f ( x) ?

1 . 4

∴ f ?(2) ? 4 ? 2 ? c ? 0 ,

1 3 1 2 x ? x ? 2x ? d , 3 2 2 ∵ f ?( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ? 1) , ∴当 x ? (??, ?1] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递增, 当 x ? ( ?1, 2] 时, f ?( x) ? 0 ,函数单调递减. 7 ∴ x ? 0 时, f ( x) 在 x ? ?1 处取得最大值 ? d , 6 1 2 ∵ x ? 0 时, f ( x) ? d ? 2d 恒成立, 6 7 1 2 ∴ ? d ? d ? 2d ,即 (d ? 7)(d ? 1) ? 0 , 6 6 ∴ d ? ?7 或 d ? 1 ,即 d 的取值范围是 (??, ?7) ? (1, ??) .

请考生在第(22)、 (23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 、 记分。
A

一 题

6
P B D O C

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A 是⊙O 上一点,过 A 的切线交直径 CB 的 延长线于点 P,AD⊥BC,D 为垂足。 (Ⅰ)求证: PB∶PD=PO∶PC; (Ⅱ)若 AP=2,D 是 BO 的中点,求 PB 的长. 解析:由切割线定理,射影定理可得: PA ? PB ? PC ; PA ? PD ? PO 即可个相应结论。
2 2

(Ⅱ)由 DO=

2 3 1 AO, ?OAD ? 300 ,AO=BO=PB= 3 2

23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? , , (t为参数,? 为直线l的倾斜角) ? y ? t sin ?
2

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 8 ? cos ? ? 12 ? 0 . (Ⅰ)若直线 l 与圆 C 相切,求 ? 的值; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 有公共点,求 ? 的范围. 解析:将方程 ?

? x ? t cos ? 2 和 ? ? 8 ? cos ? ? 12 ? 0 化为普通方程。则有 y ? x ? tan ? , y ? t sin ? ?

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 ,有图可知
(Ⅰ)直线 l 与圆 C 相切时, ? ? 或? ?

?

6

5? 6

(Ⅱ)直线 l 与圆 C 有公共点, ? ? ? 0, ? ? ? ,? ? ? ? 6? ? 6 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 . (Ⅰ)若 f ( x) 的最小值为 a ,试求 a 的值; 解析: (Ⅰ)根据图像解得 f ( x) 的最小值 4。 (Ⅱ)作出函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 和 y ? 不等式的解为 0 ? x ? 4; (Ⅱ)解不等式 f ( x) ?

? ??

? 5?

?

1 x?4. 2

1 x ? 4 的图象可知, 2

7

已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? 6 的解集为 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,求 a 的值. 解: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 7 ,等号成立当且仅当 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 , 即 ?3 ? x ? 4 ,故 x 的取值范围为 ? ?3, 4? .????4 分

?a ? 3 ? 2 x( x ? ?3) ? (?3 ? x ? a) (Ⅱ)因为 f ( x) ? ?a ? 3 ?2 x ? 3 ? a( x ? a) ? 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 解集为 R ,不合题意; ? x ? ?3 ?x ? a 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 的解为 ? 或? ?a ? 3 ? 2 x ? 6 ?2 x ? 3 ? a ? 6 ? x ? ?3 ?x ? a ? ? 即? a ?9 或? a ? 3 ,又因为解集 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,解得 a ? 1 .????10 分 x? x? ? ? ? 2 ? 2

8


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