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《新新练案系列》2013-2014学年高中数学(人教A版必修五)同步练测:2.3.2 等比数列前n项和(含答案解析)


2.3.2 等比数列的前 n 项和(人教 B 版必修 5)
建议用时 45 分钟 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.已知在等比数列 ?an ? 中,公比 q 是整数, a1+a4 =18, a2+ a3 =12,则此数列的前 8 项和为( ) A.514 B.513 C.512 D.510 2.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2-

a5=0 ,则 A.65 C.25 实际用时 满分 100 分 B.-65 D.-25 实际得分

S4 =( S2 A.5 3. 已知{

) B.8 C.-8 D.15 }为等比数列, 是它的前 n 项和.若 )

=2 ,且 与 2 的等差中项为 ,则 =( A.28 B.29 C.30 D.31 4.已知等比数列的前 n 项和 S n = 4 n+a ,则 a =

( ) A.-4 B.-1 C.0 D.1 5.在等比数列 ?an ? 中, a2=9 , a5=243 ,则 ?an ? 的 前 4 项和为( ) A.81 B.120 C.168 D.192 6.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2+a5=0 ,则
S6 =( S2

)

A.-11 B.-8 C.5 D.11 7.已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, S n 是 ?an ? 的前

?1? n 项和,且 9S3=S6 ,则数列 ? ? 的前 5 项和为 ? an ? ( ) 15 31 A. 或 5 B. 或 5 8 16 31 15 C. D. 16 8 1 8.数列 ?an ? 的通项公式是 an= ,若前 n 项 n ? n ?1 和为 10,则项数 n =( ) A.11 B.99 C.120 D.121 1 9.已知 ?an ? 是等比数列, a2=2 , a 5 = ,则 4 a1a2+a2 a3 + +an an+1= ( )
A. 16(1-4-n ) B. 16(1-2-n ) 32 32 C. (1-4-n ) D. (1-2-n ) 3 3 1, 10.若正项等比数列 ?an ? 满足 a2 a4=
S3=13 , bn=log 3 an ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和是

(

)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 1 1 1 1 1 11. + + + + =________. 3 15 35 63 99 12.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 ,2S 2 ,3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比 q =________.

1, 13.在等比数列 ?an ? 中,若前 n 项的和为 Sn=2n-
2 2 + +an 则 a12+a2 =________.

14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =1-5+9-13+17 -21+…+ (-1)n-1 (4n-3) ,则 S22-S11 =________. 三、解答题(共 54 分) 15.(10 分)在等比数列 ?an ? 中, S 3= 364 ,求 a n . 9 13 , S 6= 9 1 17.(10 分)在数列 ?an ? 中, a1 = ,前 n 项和 S n 满 3

?1? 足 S n+1-S n = ? ? ?3?

n ?1

(n ? N ? ) .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n ;
3(S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t (2) 若 S1,t (S1+S2 ),

的值.

18.(12 分)已知{ 为等差数列{ 16. (10 分) 已知 ?an ? 为等差数列, 且 a3=-6,a6=0 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若等比数列 ?bn ? 满足 b1=-8 , b2=a1+a2+a3 ,求 (1)求{ }和{ +

}为等比数列, =1, =256,

}的前 n 项和, =2,5 =2 . }的通项公式; +…+ ,求 .

?bn ? 的前 n 项和.

(2)设 =

19.(12 分)设数列 ?an ? 满足

n (n ? N + ) . 3 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n ; a1+3a2+32 a3+ +3n-1an=
(2)设 bn=

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

2.3.2
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 三、解答题 15. 12. 1

等比数列的前 n 项和(人教 B 版必修 5)答题纸
得分: 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13.

14.

16.

17.

18.

19.

2.3.2
一、选择题 1.D

等比数列的前 n 项和(人教 B 版必修 5)答案

?a ? a q3 ? 18, 1 ? 解析:由已知得 ? 1 1 2 解得 q =2 或 q = . 2 ? ?a1q ? a1q ? 12.

∵ q 为整数,∴ q =2.∴ a1=2 .∴ S 8 = 2. A

2(1 ? 28 ) 9 =2 -2=510. 1? 2
S4 1 ? q 4 ? ? 1 ? q2 ? 5 . S2 1 ? q 2

解析:∵ 8a2-a5=0 ,∴ 8a1q=a1q 4 ,∴ q3=8 ,∴ q=2 ,∴

3. D 解析:因为

=2

=2

=2,

=

=,

所以

= = ,所以 =16,q= , =

=31.

4.B

12,a3=S3-S2=48 , 解析:设等比数列为 ?an ? ,由已知得 a1=S1=4+a,a2=S2-S1=
2 2

又 a =a1a3 ,即 144=(4+ a )×48,∴ a =-1. 5.B 6.A 7.C 解析: q 3=
a5 243 a 3(1 ? 34 ) = =27, q =3, a1= 2 =3, S4= =120. 9 a2 1? 3 q

解析:设公比为 q ,依题意得 8a2+a2q3=0 .∵ a2 ? 0 ,∴ q =-2,∴ 解析:显然 q≠1,由题意知

S5 q5 ? 1 ? ?2 ? ? 1 ? ? ? ?11 . S2 q 2 ? 1 ? ?2 ?2 ? 1
5

?1? 1 9(1 ? q 3 ) 1 ? q 6 ? ,∴ 1+q3=9 ,∴ q =2,∴ ? ? 是首项为 1,公比为 的 2 1? q 1? q a ? n?
5

?1? 1? ? ? ? 2 ? = 31. 等比数列,其前 5 项和 T5= 16 1 1? 2 1 8.C 解析:∵ an= ? n ?1 ? n , n ? n ?1 ∴ S n =( 2-1)+( 3- 2)+…+ ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 -1=10.解得 n =120.
9.C 1 4 1 1 1 a5 解析:由 = q 3= = 知 q = ,而新的数列 {an an+1} 仍为等比数列,且公比为 q 2 = . 2 8 2 4 a2

? ? 1 ?n ? 8 ?1 ? ? ? ? ? ?4? ? ? 32 又 a1a2 =4×2=8,故 a1a2+a2 a3+ +an an+1 = ? = (1- 4- n ). 3 1 1? 4 1 ,∴ a3= 1 .又∵ S3=13 ,∴ 公比 q ? 1 . 10.D 解析:∵ ?an ? 为正项等比数列, a2 a4=
由 S3= 1 a1 (1 ? q 3 ) ?1? ? 13 , a3=a1q 2= 1 ,解得 q= ,∴ an=a3 q n-3=? ? 3 1? q ?3?
n ?3

? 33? n ,∴ bn=log3an=3-n .

10(b1 ? b10 ) 10 ? (?5) ∴ b1=2 , b10=-7 .∴ S10= = =-25. 2 2 二、填空题 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11. 解析:∵ a1 = = , a2 = = , a3 = = , a4 = = , a5 = = , 11 3 1×3 15 3×5 35 5×7 63 7×9 99 9×11

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? 1? 5 ∴ 原式= a1+a2+a3+a4+a5 = ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?1 ? ? = . 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2 ? 11 ? 11 1 3a (1 ? q 3 ) 12. 解析:依题意 S1 ,2S 2 ,3S3 成等差数列,故有 4S2=S1+3S3 ,当 q≠1 时,有 4( a1+a1q )=a1+ 1 ,由 3 1? q
1 a1 ? 0 ,得 3q 2-q=0 ,又 q ? 0 ,故 q = ;当 q =1 时,不成立. 3 1 n 1,a2=S2-S1=3- 1=2 ,∴ 公比 q =2. 13. ( 4 -1) 解析:∵ a1=S1= 3
2 } 也是等比数列,首项为 a12 =1,公比为 q 2 =4, 又∵ 数列 {an

1 ? 4n 1 n ? (4 ?1) . 1? 4 3 1)n-1 (4n-3) , 14.-65 解析:∵ Sn=-4-4-4+ +(-
2 2 + +an = ∴ a12+a2

1)10 (4 ?11-3)=21 ,∴ S22-S11=-65 . ∴ S22=-4 ?11=-44 , S11=-4 ? 5+(-
三、解答题 15.解:由已知 S6 ? 2S3 ,则 q ? 1 .

? a1 (1 ? q 3 ) 13 ? ,① ? 13 364 9 ? 1? q 又 S3 = , S6 = ,∴ ? 6 9 9 ? a1 (1 ? q ) ? 364 .② ? 9 ? 1? q 1 ②÷①,得 1+ q 3 =28,∴ q =3, a1 = .因此 an=a1q n-1=3n-3 . 9 16.解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,

? a1 ? ?10, ?a1 ? 2d ? ?6, ∵ a3=-6,a6=0 ,∴ ? 解得 ? ? d ? 2. ?a1 ? 5d ? 0. 10+(n- 1) ? 2=2n- 12 . ∴ an=-
(2)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,∵ b2=a1+a2+a3=-24 ,b1=-8,∴ -8q=-24 ,∴ q=3 . ∴

?bn ? 的前 n 项和为 Sn=

b1 (1 ? q n ) ?8(1 ? 3n ) ? ? 4(1-3n ) . 1? q 1? 3
n +1

?1? 17.解:(1)由 S n+1-S n=? ? ?3?

?1? ,得 an+1= ? ? ?3?

n +1

1 ?1? (n ? N+ ) .又 a1 = ,故 an= ? ? (n ? N+ ) . 3 ?3?

n

n 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 3 ? ? ?3? ? ? 1 ? ?1? ? 从而 Sn= ? ?1 ? ? ? ? (n ? N+ ) . 1 2? ? ?3? ? ? 1? 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1 = , S 2 = , S 3 = , 3 9 27 1 ? 4 13 ? ?1 4? 又由 S1 , t ( S1+S2 ),3( S2+S3 ) 成等差数列可得 +3× ? ? ? =2× ? ? ? t ,解得 t =2. 3 9 27 ? ? ?3 9?

18. 解: (1)设{ 由 设{ 所以 =

}的公比为 q, ,得 q=4.所以 = .

}的公差为 d,由 = +(n-1)d=3n-1.

5 =2 得 d=3,

(2)因为 =1×2+4×5+ ×8+…+

(3n-1) ,①

4 =4×2+ ×5+…+

(3n-1) ,② )+ (3n-1)=2+(3n-2) · .

②-①得 3 =-2-3(4+ +…+

所以 =(n- )·

+.

n 19.解:(1)∵ a1+3a2+32 a3+???+3n-1an= , 3 n ?1 ∴ 当 n ≥2 时, a1+3a2+32 a3+ +3n-2 an-1 = . 3 1 1 ①-②,得 3n-1an = ,∴ an= n ( n ≥2). 3 3 1 1 又 a1 = 满足上式,∴ an= n (n ? N+ ) . 3 3 n n (2)∵ bn= ,∴ bn=n ? 3 . an
∴ Sn=3+2 ? 32+3 ? 33+ +n ? 3n .

① ②


n+1

1)3 +n ? 3 ∴ 3Sn=3 +2 ? 3 + +(n-
2 3 n
2 3 n

.
n+1



③-④,得 -2Sn=3+3 +3 + +3 -n ? 3

3 3(1 ? 3n ) 3n?1 3 1)-n ? 3n+1 = ? n ? 3n+1 = (3n- - -n ? 3n+1 . 2 1? 3 2 2 n?1 n?1 n?1 3 3 n?3 (2n ?1)3 3 ∴ Sn=- ,∴ Sn= ? ? ? (n ? N + ) . 4 4 2 4 4

?


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