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数学百大经典例题——两平面垂直的判定和性质


典型例题一
例 1.根据叙述作图,指出二面角的平面角并证明. (1)如图 1,已知 ? ? ? ? l , A ? l .在 ? 内作 PA ? l 于 A ,在 ? 内作 QA ? l 于 A .

(2) 如图2, 已知 ? ? ? ? l , A ? ? , A ? l . 作 AP ? ? 于 P , 在 ? 内作 AQ ? l 于 Q ,

连结 PQ .

( 3 ) 已 知 ? ? ? ? l , A ? ? , A ? ? . 作 AP ? ? 于 P , AQ ? ? 于 Q , l ? 平 面

PAQ ? H ,连结 PH 、 QH .

作图与证明在此省略. 说明:本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法,其中用三垂线定理及逆定理的方 法最常用,还需补充这种方法的其他典型图形.

典型例题二
例 2. 如图,在立体图形 D ? ABC 中,若 AB ? CB, AD ? CD, E 是 AC 的中点,则下 列命题中正确的是( ).

(A)平面 ABC ⊥平面 ABD (B)平面 ABD ⊥平面 BDC (C)平面 ABC ⊥平面 BDE ,且平面 ADC ⊥平面 BDE (D)平面 ABC ⊥平面 ADC ,且平面 ADC ⊥平面 BDE 分析:要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直 线与第一个平面垂直. 解: 因为 AB ? CB, 且 E 是 AC 的中点, 所以 BE ? AC , 同理有 DE ? AC , 于是 AC ? 平面 BDE. 因为 ? CA 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 BDE. 又由于 AC ? 平面 ACD ,所以平面 ACD ? 平面 BDE .所以选 C. 说明:本题意图是训练学生观察图形,发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一 个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线 ,由线线垂直得到线面垂直, 由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三
例3.如图, P 是 ?ABC 所在平面外的一点,且 PA ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 PBC .求证 BC ? AC .

分析:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条 纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直. . 证明:在平面 PAC 内作 AD ? PC ,交 PC 于 D .因为平面 PAC ? 平面 PBC 于 PC ,

AD ? 平面 PAC ,且 AD ? PC ,所以 AD ? 平面PBC .又因为 BC ? 平面 PBC ,于是
有 AD ? BC ①.另外 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC .由①②及 AD ? PA ? A ,可知 BC ? 平面 PAC .因为 AC ? 平面 PAC ,所以 BC ? AC . 说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看 到,面面垂直 ?线面垂直 ?线线垂直.

典型例题四

例4.如图, AB 是⊙ O 的直径,PA 垂直于⊙ O 所在的平面,C 是圆周上异于 A 、B 的 任意一点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC .

分析:证明面面垂直的有两个依据,一是证明二面角的平面角为直角,二是利用两个平 面垂直的判定定理.由于 C 点的任意性,用方法一的可能性不大,所以要寻求线面垂直. 证明:因为 AB 是⊙ O 的直径, C 是圆周上的点,所以有 BC ? AC ①. 因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,则 PA ? BC ②. 由①②及 AC ? PA ? A ,得 BC ? 平面 PAC . 因为 BC ? 平面 PBC ,有平面 PAC ? 平面 PBC . 说明:低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据,根据条件,由线线垂直 ? 线面 垂直 ?面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系,垂直关系的 判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.

典型例题五
例5. 如图, 点 A 在锐二面角 ? ? MN ? ? 的棱 MN 上, 在面 ? 内引射线 AP , 使 AP 与 MN 所成的角 ?PAM 为 45 ,与面 ? 所成的角大小为 30 ,求二面角 ? ? MN ? ? 的大小.
? ?

分析: 首先根据条件作出二面角的平面角, 然后将平面角放入一个可解的三角形中 (最 好是直角三角形) ,通过解三角形使问题得解. 解:在射线 AP 上取一点 B ,作 BH ? ? 于 H , 连结 AH ,则 ? BAH 为射线 AP 与平面 ? 所成的角,

? ?BAH ? 30? .再作 BQ ? MN ,交 MN 于 Q , HQ ? MN , ? ?BQH 连结 HQ , 则 HQ 为 BQ 在平面 ? 内的射影. 由三垂线定理的逆定理,
为二面角 ? ? MN ? ? 的平面角.

设 BQ ? a ,在 Rt?BAQ 中,?BQA ? 90? , ?BAM ? 45? ,? AB ? 中,

2a ,在 Rt △ BHQ

2 a BH 2 2 ? 2 , ? ? ?BHQ ? 90 , BQ ? a, BH ? a, sin ?BQH ? 2 BQ a 2
? ?BQH 是锐角,? ?BQH ? 45? ,即二面角 ? ? MN ? ? 等于 45? .
说明:本题综合性较强,在一个图形中出现了两条直线所称的角,斜线与平面所称的角, 二面角等空间角,这些空间角都要转化为平面角,而且还要彼此联系相互依存,要根据各个 平面角的定义添加适当的辅助线.

典型例题六
例 6 . 如 图 , 将 边 长 为 a 的 正 三 角 形 ABC 以 它 的 高 AD 为 折 痕 折 成 一 个 二 面 角 C ? ? AD ? C .

(1)指出这个二面角的面、棱、平面角; (2)若二面角 C ? ? AD ? C 是直二面角,求 C ?C 的长; (3)求 AC ? 与平面 C ?CD 所成的角;
? (4)若二面角 C ? ? AD ? C 的平面角为 120 ,求二面角 A ? C ?C ? D 的平面角的正切

值. 分析:根据问题及图形依次解决. ? AD ? BC ,? AD ? DC , AD ? DC ?,?二面角 C ? ? AD ? C 的面为 ADC 和 解: (1) 面 AD C ? ,棱为 AD ,二面角的平面角为 ?CDC ? . (2)若 ?CDC ? ? 90 ,? AC ? a,? DC ? DC ? ?
?

1 2 a,? CC ? ? a. 2 2
1 AC ,? ?DA C ? ? 30 ? , 于 是 2

(3)? AD ? DC ?, AD ? DC ,? AD ? 平面 DC ?C ,? ?AC ?D 为 AC ? 与平面 C ?CD 所 成 的 角 . 在 直 角 三 角 形 AD C ? 中 , DC ? DC ? ?

?AC ?D ? 60? .
(4)取 CC ? 的中点 E ,连结 AE 、 DE ,

? DC ? ? DC , AC ? ? AC ,? AE ? CC ?, DE ? CC ? , ? ?AED 为二面角 A ? C ?C ? D 的平面角. 1 1 ? ?C ?DC ? 120 ? , C ?D ? CD ? a,? DE ? a, 2 4

3 a AD 3 在直角三角形 AED 中, AD ? a, ? tan ?AED ? ? 2 ?2 3. 1 DE 2 a 4
说明:这是一个折叠问题,要不断地将折叠前后的图形加以比较,抓住折叠前后的变与 不变量.

典型例题七
例7 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,P 是 AD 的中点. 求二面角 A ? BD1 ? P 的

大小. 分析:求二面角关键是确定它的平面角,按定义在二面角的棱上任取了点,在二个半平 面上分别作棱的垂线,方法虽简便,但因与其他条件没有联系,要求这个平面角一般是很不 容易的,所以在解题中不大应用.在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法,如图考 虑到 AB 垂直于平面 AD 1 , BD 1 在平面 AD 1 上的射影就是 AD 1 .再过 P 作 AD 1 的垂线 PF , 则 PF ? 面 ABD 1 B 的垂线 FE , ? PEF 即为所求二面角的平面角了. 1 ,过 F 作 D

解:过 P 作 BD 1 及 AD 1 的垂线,垂足分别是 E 、 F ,连结 EF . ∵ AB ? 面 AD 1 , PF ? 面 AD 1, ∴ AB ? PF , 又 PF ? AD1 ,∴ PF ? 面 ABD 1. 又∵ PE ? BD1 ,∴ EF ? BD1 , ∴ ? PEF 为所求二面角的平面角. ∵ Rt?AD1D ∽ ?PFA ,∴

PF AP ? . DD1 AD1

而 AP ?

1 2 , DD1 ? 1 , AD . 1 ? 2 ,∴ PF ? 2 4

在 ?PBD 1 ? PB ? 1 中, PD

5 . 2

∵ PE ? BD1 ,∴ BE ?

1 3 . BD ? 2 2 PB2 ? BE 2 ? 2 , 2

在 Rt ?PEB 中, PE ?

在 Rt ?PEF 中, sin ?PEF ? ∴ ?PEF ? 30? .

PF 1 ? , PE 2

典型例题八
例 8 在 ?ABC 所在平面外有一点 S ,已知 SC ? AB , SC 与底面 ABC 所成角为 ? , 二面角 S ? AB ? C 的大小为 ? ,且 ? ? ? ? 90? .求二面角 C ? SB ? A 的大小. 分析: 由题设易证 SC ? SD , 由已知得 SC ? 平面 SAB , 显然所求的二面角是直二面角, 此时只需证明二面有的两个面垂直即可.在解这种类型题时,如果去作二面角 C ? SB ? A 的 平面角,那么可能会走弯路.

解:如图所示,作 SO ? 平面 ABC 于 O ,连结 CO 并延长交 AB 于 D ,连结 SD . ∵ SO ? 平面 ABC , ∴ ?SCO 是 SC 与平面 ABC 所成角, ?SCO ? ? . ∵ SO ? 平面 ABC , SC ? AB , ∴ AB ? CD , AB ? SD . ∴ ?SDO 是二面角 S ? AB ? C 的平面角, ?SDO ? ? . ∵ ? ? ? ? 90? ,∴ SC ? SD . 又∵ SC ? AB ,∴ SC ? 平面 SAB , ∴平面 SBC ? 平面 SAB , ∴二面角 C ? SB ? A 的大小为 90 ? . 说明: 二面角的平面角满足三个条件: (1)顶点在棱上, (2)两边在面内, (3)两边与棱垂直. 应 注意 ?CSB 不满足第(3)条,不是二面角 C ? SB ? A 的平面角. 在求二面角大小时,若其平面角不易作出时,则可考虑判定两平面是否垂直,如果两平

面垂直,则其二面角为 90 ? ,反之亦然.

典型例题九
例 9 如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? a ,那么 a ? ? . 分析: (1) 本题是一道高考题,考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力.要证 a ? ? ,只要证明直线 a 与平面 ? 内的两条相交直线垂直就可以了,从而借助平面与平面垂 直的性质达到证明 a ? ? 的目的;(2)要证 a ? ? ,只要证明 a 平行于平面 ? 的一条垂线就可 以了,这也可以借助面面垂直的性质加以考虑;(3)可以用“同一法”来证明. 证法一:如图所示,设 ? ? ? ? b , ? ? ? ? c , 过平面 ? 内一点 P 作 PA ? b 于 A ,作 PB ? c 于 B .

∵ ? ? ? ,∴ PA ? ? . 又 ? ? ? ? a ,∴ PA ? a ,同理可证 PB ? a . ∵ PA ? PB ? P 且 PA 、PB ? ? ,∴ a ? ? . 证法二:如图所示,

设 ? ? ? ? b ,在平面 ? 内作直线 l1 ? b . ∵ ? ? ? ,∴ l1 ? ? . 设 ? ? ? ? c ,在平面 ? 内作直线 l2 ? c .同理可证 l2 ? a ,因此 l1 // l2 . 由于 l1 ?

? , l2 ? ? ,∴ l2 // ? .

而 l2 ? ? , a ? ? ? ? ,∴ l2 // a . 故由 l2 // a 知, a ? ? .

证法三:如图所示

过直线 a 上一点 P 作直线 a ? ? .
'

∵ a ? ? ?? , P?a , ∴ P ? ? ,根据课本第 37 页例 2(如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内) , ∴ a ? ? .同理可证 a ? ? ,故 a ' ?
' '
'

? ?? .

椐公理 2 可知,直线 a 与直线 a 重合. ∴a ?? 说明:(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理,主要用于判断直线和平面的垂直, 在很多习题中都可以用到本例的结论. (2)本例的三种证明方法其思维角度不同,但都是围绕“面面垂直” 、 “线面面垂直”的判 定与性质定理来进行思考的,希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练,这对提高数学 思维能力是大有裨益的.

典型例题十
SB 、 SC , ?ASB ? ? , ?ASC ? ? , ?BSC ? ? , 例 10 设由一点 S 发出三条射线 SA 、

? 、 ? 、 ? 均为锐角,且 cos? ? cos ? ? cos? .求证:平面 ASB ? 平面 BSC .
分析:欲证两平面垂直,只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可,此题设 法通过线段关系过渡.

证明:如图,任取点 A ,作 AB ? SB 于 B ,过 B 作 BC ? SC 于 C ,连结 AC . ∵ SB ? AS ? cos ? , SC ? SB ? cos ? , 故 SC ? AS ? cos? ? cos ? .

又由 cos? ? cos ? ? cos? , 则 SC ? AS ? cos ? ,从而可得 ?ACS ? 90? , 即 AC ? SC ,已作 BC ? SC ,故 SC ? 平面 ACB , 即有 AB ? SC ,已作 AB ? SB ,从而 AB ? 平面 BSC , 故平面 ASB ? 平面 BSC . 说明:本题易犯错误是:作 AB ? SB 于 B ,作 BC ? SC 于 C ,连结 AC ,由三垂线定 理得 SC ? AC ,∴ SC ? 平面 ACB ,∴ AB ? SC ,∴ AB ? 平面 SBC .其错误原因是作 AB ? SB 后,将 AB 误认为是平面 SBC 的垂线. 此题的证明也可以作 AB ? SB 于 B , AC ? SC 于 C ,连结 BC .在 ?SBC 中,由余弦
2 2 2 定理及条件 cos? ? cos ? ? cos? ,证明 SB ? BC ? SC ,从而 SC ? BC ,∴ SC ? 面

ABC ,∴ AB ? SC .由此进一步证明,平面 ASB ? 平面 BSC .

典型例题十一
例 11 如果二面角 ? ? l ? ? 的平面角是锐角,点 P 到 ? 、 ? 和棱 l 的距离分别为 2 2 、

4 、 4 2 ,求二面角的大小.
分析:如果二面角 ? ? l ? ? 内部,也可能在外部,应区别处理.

解:如图甲是点 P 在二面角 ? ? l ? ? 的内部时, 乙是点 P 在二面角 ? ? l ? ? 的外部时. ∵ PA ? ? ,∴ PA ? l . ∵ AC ? l ,∴面 PAC ? l . 同理,面 PBC ? l , 而面 PAC ? 面 PBC ? PC ∴面 PAC 与面 PBC 应重合, 即 A 、 C 、 B 、 P 在同一平面内, ?ACB 是二面角的平面角. 在 Rt ?APC 中, sin ?ACP ? ∴ ?ACP ? 30? .

PA 2 2 1 , ? ? PB 4 2 2

在 Rt ?BPC 中, sin ?BCP ?

PB 4 2, ? ? PC 4 2 2

∴ ?BCP ? 45? , 故 ?ACB ? 30? ? 45? ? 75? (图甲)或 ?ACB ? 45? ? 30? ? 15? (图乙) . 说明:作一个垂直于棱的平面,此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面 角.这是本题得到二面平面角的方法,即所谓垂面法.

典型例题十二
例 12 求点 P 到棱 a P 为 120 ? 的二面角 ? ? a ? ? 内一点,P 到 ? 和 ? 的距离均为 10,

的距离. 分析:本题已知二面角的大小而求点到直线的距离,须做出二面角的平面角,然后将条 件揉和在一起,便可解决问题. 解:如图,

过点 P 作 PA ? ? 于 A , PB ? ? 于 B , 设相交直线 PA 、 PB 确定的平面为 ? , a ? ? ? O ,则 ? ? ? ? OA , ? ? ? ? OB 连结 PO ,则 AP ? BP ? 10 ∵ PA ? ? , PB ? ? , ∴ a ? ? ,而 PO ? 平面 ? , ∴ a ? PO , ∴ PO 的长即为点 P 到直线 a 的距离. 又∵ a ? ? , OA ? ? , OB ? ? ∴ ?AOB 是二面角 ? ? a ? ? 的平面角,即 ?AOB ? 120 ? . 而四边形 AOBP 为一圆内接四边形,且 PO 为该四边形的外接圆直径. ∵四边形 AOBP 的外接圆半径等于由 A 、 B 、 O 、 P 中任意三点确定的三角形的外接 圆半径,因此求 PO 的长可利用 ?APB . 在 ?APB 中, AP ? BP ? 10 , ?APB ? 60? ,∴ AB ? 10 . 由正弦定理: PO ? 2 R ?

AB 20 3 . ? sin 60? 3

说明:(1)该题寻找 120 ? 的二面角的平面角,所采取的方法即为垂面法,由此可见,若题 目可找到与棱垂直的平面,用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法. (2)充分借助于四边形 PAOB 为一圆内接四边形,∵ PA ? OA , PB ? OB ,∵ PO 即为其外 接圆直径,然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移,由 正弦定理帮助解决了问题.

典型例题十三
例 13 如图,正方体的棱长为 1, B1C ? BC1 ? O ,求: (1) AO 与 A1C1 所成的角; (2) AO 与平面 AC 所成角的正切值; (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成的角.

解:(1)∵ A1C1 // AC , ∴ AO 与 A1C1 所成的角就是 ?OAC . ∵ OC ? OB , AB ? 平面 BC1 , ∴ OC ? OA (三垂线定理) . 在 Rt ?AOC 中, OC ? ∴ ?OAC ? 30? . (2)作 OE ? BC ,平面 BC1 ? 平面 AC . ∴ OE ? 平面 AC , ?OAE 为 OA 与平面 AC 所成的角. 在 Rt ?OAE 中, OE ?

2, AC ? 2 , 2

1 5 1 , AE ? 12 ? ( ) 2 ? . 2 2 2

∴ tan?OAE ?

OE 5. ? AE 5

(3)∵ OC ? OA , OC ? OB ,∴ OC ? 平面 AOB . 又∵ OC ? 平面 AOC ,∴平面 AOB ? 平面 AOC . 说明:本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题.求角度问题主要是求两条异面直

线所成角 ? ?0 ,

?

? ? ,直线和平面所成角 ?
2? ?

?? 0 , ? ,二面角 ?0 , ? ? 三种. ? ? 2?

典型例题十四
例 14 如图,矩形 ABCD , PD ? 平面 ABCD ,若 PB ? 2 , PB 与平面 PCD 所成 的角为 45 ? , PB 与平面 ABD 成 30 ? 角,求: (1) CD 的长; (2)求 PB 与 CD 所在的角; (3)求二面角 C ? PB ? D 的余弦值.

分析: 从图中可以看出, 四面体 P ? BCD 是一个基础四面体, 前面已推导出平面 PBC 与 平面 BCD 所成的二面角的余弦值为

PD ? BC 1? 2 3 ,可见,基础四面体作为一部 ? ? PC ? BD 3 2? 3

分,经常出现在某些几何体中. 解:(1)∵ PD ? 平面 ABCD ,∴ PD ? BC . 又 BC ? 平面 PDC , ∴ ?BPC 为 PB 与平面 PCD 所在的角, 即 ?BPC ? 45? . 同理: ? PBD 即为 PB 与平面 ABD 所成的角, ∴ ?PBD ? 30? , 在 Rt ?PBC 中,∵ PB ? 2 ,∴ BC ? PC ? 2 . 在 Rt ?PBD 中, ?PBD ? 30? ,∴ PD ? 1 , BD ? 3 . 在 Rt ?BCD 中, BC ? 2 , BD ? 3 ,∴ CD ? 1 . (2)∵ AB // CD ,∴ PB 与 CD 所成的角, 即为 PB 与 AB 所成的角, ?PBA 即为 PB 与 AB 所成的角 ∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? AB ,∴ PA ? AB (三垂线定理) . 在 Rt ?PAB 中, AB ? CD ? 1 , PB ? 2 ,∴ ?PBA ? 60 ? . (3)由点 C 向 BD 作垂线,垂足为 E ,由点 E 向 PB 作垂线,垂足为 F ,连结 CF . ∵ PD ? 平面 ABCD ,∴ PD ? CE . 又 CE ? BD ,∴ CE ? 平面 PBD , CF 为平面 PBD 的斜线,由于 EF ? PB , ∴由三垂线定理: PB ? CF . ∴ ?CEF 为二面角 C ? PB ? D 的平面角 在 Rt ?BCD 中, BC ? 2 , DC ? 1 , BD ? 3 ,

∴ CE ?

BC ? CD 6 . ? BD 3

在 Rt ?PCB 中, BC ? 2 , PC ? 2 , PB ? 2 , ∴ CF ?

BC ? CP ? 1, PB

∴ sin ?CFE ?

CB 6 . ? CF 3 3 , 3
3 . 3

∴ cos?CFE ?

∴二面角 C ? PB ? D 的余弦值为

说明:解空间几何计算问题,一般要做两件事:一件是根据问题的需要作必要证明,如 本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁; 另一件事才是计算,这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的.

典型例题十五
过 点 S 引 三 条 不 共 面 的 直 线 SA 、 SB 、 SC , 如 图 , ?BSC ? 90 ? , ?ASC ? ?ASB ? 60? ,若截取 SA ? SB ? SC ? a (1)求证:平面 ABC ? 平面 BSC ; (2)求 S 到平面 ABC 的距离. 例 15

分析:要证明平面 ABC ? 平面 BSC ,根据面面垂直的判定定理,须在平面 ABC 或平面 BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线. (1)证明:∵ SA ? SB ? SC ? a , 又 ?ASC ? ?ASB ? 60? , ∴ ?ASB 和 ?ASC 都是等边三角形, ∴ AB ? AC ? a , 取 BC 的中点 H ,连结 AH ,∴ AH ? BC . 在 Rt ?BSC 中, BS ? CS ? a , ∴ SH ? BC , BC ?
2 2 2

2a ,
2

∴ AH ? AC ? CH ? a ? (

a2 2 2 a2 2 a) ? ,∴ SH ? . 2 2 2

在 ?SHA 中,∴ AH ?
2

a2 a2 2 2 2 , SH ? , SA ? a , 2 2

2 2 2 ∴ SA ? SH ? HA ,∴ AH ? SH ,

∴ AH ? 平面 SBC . ∵ AH ? 平面 ABC ,∴平面 ABC ? 平面 BSC . 或:∵ SA ? AC ? AB , ∴顶点 A 在平面 BSC 内的射影 H 为 ?BSC 的外心, 又 ?BSC 为 Rt ? ,∴ H 在斜边 BC 上, 又 ?BSC 为等腰直角三角形,∴ H 为 BC 的中点, ∴ AH ? 平面 BSC . ∵ AH ? 平面 ABC ,∴平面 ABC ? 平面 BSC . (2)解:由前所证: SH ? AH , SH ? BC ,∴ SH ? 平面 ABC , ∴ SH 的长即为点 S 到平面 ABC 的距离, SH ?

BC 2 ? a, 2 2

∴点 S 到平面 ABC 的距离为

2 a. 2

典型例题十六
例 16 判断下列命题的真假 (1)两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,必垂直于另一个平 面. (2)两个平面垂直,分别在两个平面内且互相垂直的两直线,一定分别与另一平面垂直; (3)两平面垂直,分别在这两个平面内的两直线互相垂直. 分析: (1)若该点在两个平面的交线上, 则命题是错误的, 如图, 正方体 A1C 中, 平面 AC ? 平面 AD 1 ,平面 AC ? 平面 AD 1 ? AD ,在 AD 上取点 A ,连结 AB 1 ,则 AB 1 ? AD ,即过 棱上一点 A 的直线 AB 1 与棱垂直,但 AB 1 与平面 ABCD 不垂直,其错误的原因是 AB 1 没有保 证在平面 ADD 1A 1 内.可以看出:线在面内这一条件的重要性;

(2)该命题注意了直线在平面内, 但不能保证这两条直线都与棱垂直, 如图, 在正方体 A1C

中, 平面 AD 且 AB ? AD1 , 即 AB 1 ? 平面 AC ,AD 1 ? 平面 ADD 1A 1 ,AB ? 平面 ABCD , 与 AD 1 相互垂直,但 AD 1 与平面 ABCD 不垂直;

(3)如上图,正方体 A1C 中,平面 ADD 1 ? 平面 ADD 1A 1 ? 平面 ABCD , AD 1A 1 , AC ? 平面 ABCD , AD 1 与 AC 所成的角为 60 ? ,即 AD 1 与 AC 不垂直. 说明:必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件:(1)线在面内,(2)线垂直于交线, 从而可得出线面垂直.

典型例题十七
例 17 如图, 在 60 ? 二面角 ? ? a ? ? 内有一点 P ,P 到 ? 、? 的距离分别为 3 和 5, 求P 到 交线 a 的距离.

解:作 PA ? ? 于 A , PB ? ? 于 B , 设 PA , PB 所确定的平面为 ? , ? ? a ? Q , 连 AQ , BQ ,∵ PA ? ? , ∴ PA ? a . 同理 PB ? a ,∴ a ? 平面 ? , ∴ a ? PQ ,则 PQ 是 P 到 a 的距离. 在四边形 PAQB 中, ?A ? ?B ? 90? ,

∴ PAQB 是圆的内接四边形,且 PQ ? 2R . 又∵ ?BQA ? 60? , ?BPA ? 120 ? , ∴ AB ? 3 ? 5 ? 2 ? 3 ? 5 cos120? ? 7 ,

PQ ? 2 R ?

AB 7 ? 2 14 ? ? 3. sin 60? 3 3

说明:本例作二面角的平面角用作垂面法,避免了再证明 P 、 B 、 A 、 Q 四点共面,同 时用到正弦定理和余弦定理.

典型例题十八
例 18 如图, 四面体 SABC 中,?ABC 是等腰三角形,AB ? BC ? 2a ,?ABC ? 120 ? , 且 SA ? 平面 ABC , SA ? 3a .求点 A 到平面 SBC 的距离.

分析:考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点 A 到 SBC 的垂线,先确定一个过点 A 和 平面 SBC 垂直的平面, ∵ SA ? 平面 ABC , 故作 AD ? BC 于 D , 连结 SD , 则平面 SAD ? 平面 SBC ,平面 SAD 实际上就是二面角 S ? BC ? A 的平面角 SDA 所在的平面,因此,它的 作图过程和用三垂线法作二面角 S ? BC ? A 的平面角的作图过程完全相同. 解:作 AD ? BC 交 BC 于 D ,连结 SD , ∵ SA ? 平面 ABC ,根据三垂线定理有 SD ? BC ,又 SD ? AD ? D , ∴ BC ? 平面 SAD ,又 BC ? 平面 SBC , ∴平面 SBC ? 平面 ADS ,且平面 SBC ? 平面 ADS ? SD , ∴过点 A 作 AH ? SD 于 H ,由平面与平面垂直的性质定理可知: AH ? 平面 SBC . 在 Rt ?SAD 中, SA ? 3a , AD ? AB ? sin 60? ? 3a , ∴ AH ?

SA? AD SA2 ? AD2

?

3a ? 3a ( 3a) 2 ? (3a) 2
3a . 2

?

3a , 2

即点 A 到平面 SBC 的距离为

说明:二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱,同时垂直于二面角的两个两.从 本例可以看出:要求点到平面的距离,只要过该点找到与已知平面垂直的平面,则点面距即 可根据面面垂直的性质作出.


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