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【解析版】江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2013年高考数学一模试卷


2013 年江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上. 1. (5 分) (2013?镇江一模)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,2,3,5},则?U(A∩ B) = {2,4,6} . 考点: 交、并、补集的

混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先利用并集的定义,求出全集 U=A∪ B,再利用交集的定义求出 A∩ B,再利用补集的定义求得 集合 ?U(A∩ B) . 解答: 解:∵ 集合 A={1,3,5},B={1,2,3,5}, ∴ A∩ B={1,3,5},又全集 U={1,2,3,4,5,6}, ∴ 集合?U(A∩ B)={2,4,6}, 故答案为:{2,4,6}. 点评: 本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集、并集的定义和求法,属于基础题. 2. (5 分) (2013?镇江一模)若实数 a 满足 ,其中 i 是虚数单位,则 a= 2 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 2+ai=2i(1﹣i) ,再利用两个复数相等的充要条件,求得 a 的值. 解答: 解:∵ 实数 a 满足 ,∴ 2+ai=2i(1﹣i) ,∴ 2+ai=2+2i,解得 a=2, 故答案为 2. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则,虚数单位 i 的幂运算性质,两个复数相等的充要条 件,属于基础题. 3. (5 分) (2013?镇江一模) 已知 m 为实数, 直线 l1: mx+y+3=0, l2: (3m﹣2) x+my+2=0, 则“m=1”是“l1∥ l2” 的 充分不必要 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空) . 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题. 分析: 把 m=1 代入可判 l1∥ l2”成立,而“l1∥ l2”成立可推出 m=1,或 m=2,由充要条件的定义可得答案. 解答: 解:当 m=1 时,方程可化为 l1:x+y+3=0,l2:x+y+2=0, 显然有“l1∥ l2”成立; 而若满足“l1∥ l2”成立,则必有 ,

解得 m=1,或 m=2,不能推出 m=1, 故“m=1”是“l1∥ l2”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,属基础题. 4. (5 分) (2013?镇江一模)根据如图的伪代码,输出的结果 T 为 100 .

考点: 伪代码. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出 满足条件 T=1+3+5+7+…+19 时,T 的值. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出满足条件 T=1+3+5+7+…+19 值. ∵ T=1+3+5+7+…+19= =100,

故输出的 T 值为 100. 故答案为:100. 点评: 本题主要考查了循环结构,该题是当型循环结构,解题的关键是弄清推出循环的条件,属于基础题. 5. (5 分) (2013?镇江一模)已知 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ① 若 l?β,且 α⊥ β,则 l⊥ α; ② 若 l⊥ β,且 α∥ β,则 l⊥ α; ③ 若 l⊥ β,且 α⊥ β,则 l∥ α; ④ 若 α∩ β=m,且 l∥ m, 则 l∥ α. 其中真命题的序号是 ② . (填上你认为正确的所有命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 对于① ,根据线面垂直的判定可知,只要当 l 与两面的交线垂直时才有 l⊥ α;对于② ,根据若一条直线 垂直与两平行平面中的一个, 一定垂直与另一个; 对于③ , 若 l⊥ β, α⊥ β, 则 l∥ α 或 l?α; 对于④ , 若 l∥ m, 且 α∩ β=m,则 l∥ α 或 l?α 解答: 解:对于① ,若 l?β,且 α⊥ β,则根据线面垂直的判定可知,只要当 l 与两面的交线垂直时才有 l⊥ α, 所以① 错; 对于② ,根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个,一定垂直与另一个,即若 l⊥ β,α∥ β,l⊥ α;② 正确 对于③ ,若 l⊥ β,α⊥ β,则 l∥ α 或 l?α,所以③ 错 对于④ ,若 l∥ m,且 α∩ β=m,则 l∥ α 或 l?α,所以④ 错 故答案为② 点评: 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系,属于 基础题. 6. (5 分) (2013?镇江一模)正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3,把两个这样的四面体抛在桌 面上,则露在外面的 6 个数字恰好是 2,0,1,3,0,3 的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式.

专题: 计算题. 分析: 由题意可知: 两个四面体有一个 1 朝下, 另一个 2 朝下, 且那个面朝下是独立的, 分别可得概率为 , 由概率的乘法的公式可得答案. 解答: 解:由题意可知:两个四面体有一个 1 朝下,另一个 2 朝下, 可知每个四面体 1 朝下的概率为 ,2 朝下的概率也为 , 故所求事件的概率为:P= 故答案为: 点评: 本题考查古典概型及概率的计算公式,涉及独立事件的概率,属基础题. × =

7. (5 分) (2013?镇江一模)已知

,则 cos(30°﹣2α)的值为



考点: 二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 2 利用诱导公式求得 sin(15°﹣α)= ,再利用二倍角的余弦公式可得 cos(30°﹣2α)=1﹣2sin (15° ﹣α) ,运算求得结果. 解答: 解:∵ 已知 ∴ sin(15°﹣α)= , 则 cos(30°﹣2α)=1﹣2sin (15°﹣α)= , 故答案为 .
2



点评: 本题主要考查诱导公式,二倍角的余弦公式的应用,属于中档题.

8. (5 分) (2012?黑龙江)已知向量

夹角为 45°,且

,则

= 3



考点: 平面向量数量积的运算;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由已知可得, = ,代入 |2 解答: 解:∵ ∴ ∴ |2 |= |= = , = = = = =1 = = 可求

解得 故答案为:3 点评: 本题主要考查了向量的数量积 定义的应用,向量的数量积性质| |= 是求解向量的模常用的方法

9. (5 分) (2013?镇江一模)已知 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和,且

=

, (n∈N+)



+

=



考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的性质,知

+

=

=

,由此能够求出结果.

解答: 解:∵ Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项和, 且 = , (n∈N+) ,



+

=

=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地 进行等价转化. 10. (5 分) (2013?镇江一模)已知 F1,F2 是双曲线的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△ MF1F2,若边 MF1 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为 +1 . 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 A 是正三角形 MF1F2 的边 MF1 的中点,得到△ AF1F2 是直角三角形,设 F1F2=2c,可得 AF1=c, AF2= c,最后根据双曲线的定义,得 2a=|AF1﹣AF2|=( ﹣1)c,利用双曲线的离心率的公式, 可得该双曲线的离心率. 解答: 解:设双曲线的方程为 =1(a>0,b>0) , ∵ 线段 F1F2 为边作正三角形△ MF1F2∴ MF1=F1F2=2c, (c 是双曲线的半焦距) 又∵ MF1 的中点 A 在双曲线上,

∴ Rt△ AF1F2 中,AF1=c,AF2= 根据双曲线的定义,得 2a=|AF1﹣AF2|=( ∴ 双曲线的离心率 e= = =

=

c,

﹣1)c, +1.

故答案为: +1. 点评: 本题给出以双曲线的焦距为边长的等边三角形,其一边中点在双曲线上,求该双曲线的离心率,着 重考查了双曲线的定义与简单几何性质,属于基础题. 11. (5 分) (2013?镇江一模)在平面直角坐标系 xOy 中,A(1,0) ,函数 y=e 的图象与 y 轴的交点为 B, P 为函数 y=e 图象上的任意一点,则
x x

的最小值 1 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得向量的坐标,进而可得

=﹣x0+

,构造函数 g(x)=﹣x+e ,通过求导数可得

x

其极值,进而可得函数的最小值,进而可得答案. 解答: 解:由题意可知 A(1,0) ,B(0,1) , 故 =(0,1)﹣(1,0)=(﹣1,1) , ) ,所以 ,
x x

设 P(x0, 故

=(x0,

) ,

=﹣x0+

构造函数 g(x)=﹣x+e ,则 g′ (x)=﹣1+e , 令其等于 0 可得 x=0,且当 x<0 时,g′ (x)<0, 当 x>0 时,g′ (x)>0, 故函数 g(x)在 x=0 处取到极小值, 故 gmin(x)=g(0)=1, 故 的最小值为:1

故答案为:1 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,涉及导数法求函数的最值,属中档题.

12. (5 分) (2013?镇江一模)若对于给定的正实数 k,函数

的图象上总存在点 C,使得以 C 为 .

圆心,1 为半径的圆上有两个不同的点到原点 O 的距离为 2,则 k 的取值范围是 (0, )

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据题意得:以 C 为圆心,1 为半径的圆与原点为圆心,2 为半径的圆有两个交点,即 C 到原点距 离小于 3,即 f(x)的图象上离原点最近的点到原点的距离小于 3,设出 C 坐标,利用两点间的距 离公式表示出 C 到原点的距离,利用基本不等式求出距离的最小值,让最小值小于 3 列出关于 k 的 不等式,求出不等式的解集即可得到 k 的范围.

解答: 解:根据题意得:|OC|<1+2=3, 设 C(x, ) ,

∵ |OC|=







<3,即 k< ,

则 k 的范围为(0, ) . 故答案为: (0, ) 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆与圆位置关系的判定,基本不等式的运用,以 及两点间的距离公式,解题的关键是根据题意得出以 C 为圆心,1 为半径的圆与原点为圆心,2 为半 径的圆有两个交点,即 C 到原点距离小于 3. 13. (5 分) (2013?镇江一模)已知函数 = 8 . ,则

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 探究得到结论 f(x)+f(﹣5﹣x)=8,利用之即可求得答案. 解答: 解:∵ f(x)= + + + , ∴ f(﹣5﹣x)= = + + + + , + )+( + )+( + )+( + )]=8. + +

∴ f(x)+f(﹣5﹣x)=[( ∵ ﹣ + ∴ f(﹣ + +(﹣ ﹣

)=﹣5, )=8.

)+f(﹣ ﹣

故答案为:8. 点评: 本题考查函数的值,突出考查观察能力与运算能力,属于中档题. 14. (5 分) (2013?镇江一模)设函数 f(x)=lnx 的定义域为(M,+∞) ,且 M>0,对于任意 a,b,c∈(M, +∞) ,若 a,b,c 是直角三角形的三条边长,且 f(a) ,f(b) ,f(c)也能成为三角形的三条边长,那么 M 的最小值为 . 考点: 三角形的形状判断;函数的值. 专题: 计算题.

分析: 不妨设 c 为直角边,则 M<a<c,M<b<c,则可得 ab>M ,结合题意可得 a +b ≥2ab 可求 c 的范围,进而可求 M 的范围,即可求解 解答: 解:不妨设 c 为直角边,则 M<a<c,M<b<c ∴ ab>M
2 2 2 2

,结合

由题意可得,

∴ ∵ a +b ≥2ab>2c 2 ∴ c >2c 即 c>2 ∴ ab>2 ∴ M ≥2 ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查了基本不等式,三角形的性质的综合应用,试题具有一定的技巧性. 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内. 15. (14 分) (2013?镇江一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. (1)若 =﹣ ,b= ,求 a+c 的值;
2 2 2

(2)求 2sinA﹣sinC 的取值范围. 考点: 余弦定理的应用;数列的应用;向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)通过 A,B,C 成等差数列,求得 B 的值,通过已知的向量积求得 ac 的值,代入余弦定理即可 求出 a+c. (2)通过两角和公式对 2sinA﹣sinC,再根据 C 的范围和余弦函数的单调性求出 2sinA﹣sinC 的取 值范围. 解答: 解: (1)∵ A,B,C 成等差数列, ∴ B= ∵ ? . =﹣ ,

∴ accos(π﹣B)=﹣ , ∴ ac= ,即 ac=3. ∵ b= ,b =a +c ﹣2accosB, 2 2 2 ∴ a +c ﹣ac=3,即(a+c) ﹣3ac=3. 2 ∴ (a+c) =12,所以 a+c=2 . (2)2sinA﹣sinC=2sin( ﹣C)﹣sinC=2( cosC+ sinC)﹣sinC= cosC.
2 2 2

∵ 0<C<

, , ) . , ) .

∴ cosC∈(﹣

∴ 2sinA﹣sinC 的取值范围是(﹣

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质. 16. (14 分) (2013?镇江一模)如图,在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,已知 E,F,G 分别为棱 AB,AC,A1C1 的中点,∠ ACB=90°,A1F⊥ 平面 ABC,CH⊥ BG,H 为垂足.求证: (1)A1E∥ 平面 GBC; (2)BG⊥ 平面 ACH.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到 EF∥ BC,A1F∥ GC.再 利用面面平行的判定定理即可证明平面 A1FE∥ 平面 GBC,利用面面平行的性质定理即可证明; (2)利用线面垂直的性质定理可得 GC⊥ AC,从而可证 AC⊥ 平面 GBC,于是得到 AC⊥ BG,利用线 面垂直的判定定理即可证明. 解答: 证明: (1)连接 A1E. ∵ E,F 分别为棱 AB,AC 的中点, ∴ EF∥ BC, ∵ 在三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,F,G 分别为棱 AC,A1C1 的中点, ∴ ,

∴ 四边形 A1FCG 是平行四边形, ∴ A1F∥ GC.好 又∵ A1F∩ FE=F,GC∩ CB=C, ∴ 平面 A1FE∥ 平面 GBC, ∴ A1E∥ 平面 GBC; (2) )∵ A1F⊥ 平面 ABC,A1F∥ GC, ∴ GC⊥ 平面 ABC, ∴ GC⊥ AC, ∵ ∠ ACB=90°,∴ AC⊥ CB. 又 CG∩ AC=C,∴ AC⊥ 平面 BCG, ∴ AC⊥ BG, 又∵ CH⊥ BG,AC∩ CH=C.

∴ BG⊥ 平面 ACH. 点评: 熟练掌握用三角形的中位线定理和平行四边形的判定和性质定理、面面平行的判定和性质定理、线 面垂直的性质和判定定理是解题的关键. 17. (14 分) (2013?镇江一模)已知实数 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax +bx +cx 满足 f(1)=0,设 f(x) 的导函数为 f′ (x) ,满足 f′ (0)f′ (1)>0. (1)求 的取值范围; (2)设 a 为常数,且 a>0,已知函数 f(x)的两个极值点为 x1,x2,A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) ) , 求证:直线 AB 的斜率 .
3 2

考点: 函数在某点取得极值的条件;导数的运算;直线的斜率. 专题: 转化思想;导数的综合应用. 分析: (1)由 f(1)=0 得 a+b+c=0,∴ b=﹣(a+c) ,求导数 f′ (x) ,把 f′ (0)f′ (1)>0 表示为关于 a, c 的不等式,进而化为关于 的二次不等式即可求得 的取值范围;
2

(2) 令 f′ (x) =3ax +2bx+c=0, 则

, x1x2=

, 把韦达定理代入 k=

可得关于 a,b,c 的表达式,令 t= ,k 可化为关于 t 的二次函数式,借助(1)问 t 的范围即可求得 k 的范围; 解答: 解: (1)∵ f(1)=a+b+c=0,∴ b=﹣(a+c) , ∵ f′ (x)=3ax +2bx+c, ∴ f′ (0)=c,f′ (1)=3a+2b+c, ∴ f′ (0)f′ (1)=c(3a+2b+c)=c(a﹣c)=ac﹣c >0, ∴ a≠0,c≠0, ∴ 所以 0< >0, 1.
2 2 2

(2)令 f′ (x)=3ax +2bx+c=0,则

,x1x2=



∴ k=

=

= =a( =a[ )+b(x2+x1)+c ]+b(x2+x1)+c

=a(



)+b(﹣

)+c

=a[(



)+ (﹣

)+ ]

=

(﹣

+

) ,

令 t= ,由 b=﹣(a+c)得, =﹣1﹣t,t∈(0,1) , 则 k= [﹣(1+t) +3t]=
2 2

(﹣t +t﹣1) , ,﹣ ].

2

∵ a>0,﹣t +t﹣1∈(﹣1,﹣ ],∴ k∈(﹣

点评: 本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率,考查转化思想,解决(2)问关键是通 过换元转化为关于 t 的二次函数,从而可利用二次函数性质解决. 18. (16 分) (2013?镇江一模)某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为 O,半径为 R(米) 的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成,其中圆弧形灯托 , , , 所在圆的圆心

都是 O、半径都是 R(米) 、圆弧的圆心角都是 θ(弧度) ;灯杆 EF 垂直于地面,杆顶 E 到地面的距离为 h (米) ,且 h>R;灯脚 FA1,FB1,FC1,FD1 是正四棱锥 F﹣A1B1C1D1 的四条侧棱,正方形 A1B1C1D1 的 外接圆半径为 R(米) ,四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 θ(弧度) .已知灯杆、灯脚的造价都是每米 a (元) ,灯托造价是每米 (元) ,其中 R,h,a 都为常数.设该灯架的总造价为 y(元) . (1)求 y 关于 θ 的函数关系式; (2)当 θ 取何值时,y 取得最小值?

考点: 函数模型的选择与应用;函数最值的应用.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意把 4 根灯脚及灯架写成是关于 θ 的表达式,运用弧长公式把 4 根灯托也用 θ 表示,然后 乘以各自的造价作和即可得到 y 关于 θ 的函数关系式; (2)对(1)求出的函数式进行求导计算,分析得到当 θ= 解答: 解:如图, 时函数取得极小值,也就是最小值.

(1)延长 EF 与地面交于 O1,由题意知:∠ A1FO1=θ,且 从而 EF=h﹣ 则 (2) 设 , , , , ,







=

=



得:1﹣2cosθ=0,所以 当 θ∈ 当 θ∈ 设 ∴ 答:当




时,f (θ)<0. 时,f (θ)>0. ,其中 ,∴ 时,y 最小. ,∴ .


时,灯架造价取得最小值.

点评: 本题考查了函数模型的选择及应用,考查了利用导数求函数的最值,解答此题时要注意实际问题要

注明符合实际意义的定义域,此题是中档题.
2 2

19. (16 分) (2013?镇江一模)已知椭圆

的左、右顶点分别为 A,B,圆 x +y =4 上有一动

点 P,P 在 x 轴的上方,C(1,0) ,直线 PA 交椭圆 E 于点 D,连结 DC,PB. (1)若∠ ADC=90°,求△ ADC 的面积 S; (2)设直线 PB,DC 的斜率存在且分别为 k1,k2,若 k1=λk2,求 λ 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 D(x,y) ,利用勾股定理和两点间的距离公式即可关于 x,y 的方程,与椭圆的方程联立即 可解得点 D 的坐标,利用 S△ADC= 即可得出;

(2) 设P (x0, y0) , 得到直线 PA 的方程, 与椭圆的方程联立及利用点 P 在圆上即可表示出直线 PB、 DC 的斜率,利用 k1=λk2,及反比例函数的单调性即可得出. 2 2 2 解答: 解: (1)设 D(x,y) ,∵ ∠ ADC=90°,∴ AD +DC =AC , 2 2 2 2 2 2 ∴ (x+2) +y +(x﹣1) +y =9,化为 x +y +x﹣2=0 ① . ∵ 点 D 在椭圆 E 上,∴ ② .
2

联立① ② 得

,消去 y 得 3x +4x﹣4=0,

又﹣2<x<2,解得 代入椭圆方程解得 ∴ S△ADC= =

. . .

(2)设 P(x0,y0) ,则直线 PA 的方程为



代入椭圆的方程得到





,∴



化为



此方程有一个实数根﹣2,设 D(x1,y1) ,则



代入直线 PA 的方程得







=



∵ k1=λk2,∴

=

=



∵ ﹣2<x0<2,



∴ λ 的取值范围为(﹣∞,0)∪ (0,3) . 点评: 熟练掌握圆锥曲线的定义、方程及其性质、勾股定理、两点间的距离公式、斜率公式、直线与圆锥 曲线的相交问题转化为方程组、一元二次方程的根与系数的关系、反比例函数的单调性是解题的关 键. 20. (16 分) (2013?镇江一模)设数列{an}的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn,对于任意正整数 m,n, 恒成立. (1)若 a1=1,求 a2,a3,a4 及数列{an}的通项公式; (2)若 a4=a2(a1+a2+1) ,求证:数列{an}成等比数列. 考点: 等比关系的确定;等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由给出的递推式分别取 m=1,m=2 得到两个关系式,两式作比后可以证明数列{1+Sn}是一个等 比数列,由等比数列的通项公式得到 Sn 的表达式,模仿该式再写一个关系式,两式作差后进一步得 到一个关于 a2 和 S2 的关系式,然后把 a1 代入即可求得 a2 的值,在分别取 m=1,n=2;m=2,n=1 代 入原递推式,得到关于 a3,a4 的方程后可求解 a3,a4 则数列{an}的通项公式可求; (2)在(1)的基础上,取 m=n=2 得关系式,结合 m=1,n=2 得到的关系式可求出 q= 后结合题目给出的条件,a4=a2(a1+a2+1)证出数列{an}成等比数列. 解答: 解(1)由 得 =2.最



令 m=1,得 令 m=2,得
*

① ②

② ÷① 得:

(n∈N ) .记
*



则数列{1+Sn} (n≥2,n∈N )是公比为 q 的等比数列. ∴ n≥3 时, ③ ﹣④ 得, 在 ∴ 则 1+S2=2a2,∴ a2=1+a1. ∵ a1=1,∴ a2=2. 在 则 在 则 ⑥ . 中,令 m=1,n=2,得 ⑤ 中,令 m=2,n=1,得 . (n≥2,n∈N )③ . ④ . (n≥3,n∈N ) . 中,令 m=n=1,得 . .
* *

由⑤ ,⑥ ,解得 a3=4,a4=8. 则 q=2,由 得: ∵ a1=1,a2=2 也适合上式,∴ (2)在 则 1+S4=2a4,∴ 1+S3=a4. 在 则 中,令 m=1,n=2,得 ,∴ . . . 中,令 m=2,n=2,得 (n≥3,n∈N ) ,
*

则 a4=4a2,∴


*

代入

(n≥3,n∈N ) ,



(n≥3,n∈N ) .

*

由条件 a4=a2(a1+a2+1) ,得 a1+a2+1=4. ∵ a2=a1+1,a1=1,∴ a2=2. 则 ∵ a1=1,a2=2 上式也成立, ∴ (n∈N*) .

故数列{an}成等比数列. 点评: 本题考查了等比关系的确定,考查了等差数列和等比数列的综合,训练了学生的灵活变形能力和对 繁杂问题的计算能力,属中高档题. 三.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则 按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. (2013?镇江一模) (选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,已知 CB 是⊙ O 的一条弦,A 是⊙ O 上任意一点,过点 A 作⊙ O 的切线交直线 CB 于点 P,D 为⊙ O上 一点,且∠ ABD=∠ ABP. 2 求证:AB =BP?BD.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题. 分析: 利用弦切角定理可得∠ PAB=∠ ADB,又∠ ABD=∠ ABP,可得△ ABP∽ △ DBA,利用相似三角形得出性质 即可得出. 解答: 解:∵ AP 是⊙ O 的切线,∴ 由弦切角定理可得∠ PAB=∠ ADB, 又∵ ∠ ABP=∠ DBA,∴ △ ABP∽ △ DBA, ∴ ,∴ AB =BP?BD.
2

点评: 熟练掌握弦切角定理化为相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 22. (2013?镇江一模) (选修 4﹣2:矩阵与变换) 已知矩阵 A= 的一个特征值为 λ1=﹣1, 其对应的一个特征向量为 , 已知 , 求 A β.
5

考点: 特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题. 分析: 利用特征值、特征向量的定义,构建方程组,由此可求矩阵 A.再求矩阵 A 的特征多项式,从而求 5 得特征值与特征向量,利用矩阵 A 的特征值与特征向量,进而可求 A β. 解答: 解:依题意:Aα1=﹣α1,…(4 分)



=﹣





,∴

…(8 分)
2

A 的特征多项式为 f(λ)=(λ﹣1)λ﹣2=λ ﹣λ﹣2=0, 则 λ=﹣1 或 λ=2. λ=2 时,特征方程 ,属于特征值 λ=2 的一个特征向量为 ,


5

=﹣2
5

+3

, +3×2
5

∴ A β=﹣2×(﹣1)

=



点评: 本题考查待定系数法求矩阵,考查特征值与特征向量,理解特征值、特征向量的定义是关键. 23. (2013?镇江一模) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 的参数方程 (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程:ρ+2sinθ=0.

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)在圆 C 上求一点 P,使得点 P 到直线 l 的距离最小. 考点:参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:(1) 将直线 l 的参数方程的参数 t 消去即可求出直线的普通方程, 利用极坐标转化成直角坐标的转换 公式求出圆的直角坐标方程; (2)将直线的参数方程化为普通方程,曲线 C 任意点 P 的坐标为(cosθ,﹣1+sinθ) ,利用点到直线 的距离公式 P 到直线的距离 d,分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 为一个角的正弦函数,与分母约分化简后,根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值,进而得到距 离 d 的最小值,并求出此时 θ 的度数,即可确定出所求点 P 的坐标. 解答:解: (1)消去参数 t,得直线 l 的普通方程为 y=﹣ x+1+2 , 2 ρ+2sinθ=0,两边同乘以 ρ 得 ρ +2ρsinθ=0, 2 2 得⊙ C 的直角坐标方程为 x +(y+1) =1; (2)设所求的点为 P(cosθ,﹣1+sinθ) , 则 P 到直线 l 的距离 d= 当 θ= +2kπ,k∈Z,sin(θ+ = )=1,d 取得最小值 , = ,

此时点 P 的坐标为(

,﹣ ) .

点评:本题主要考查了简单曲线的极坐标方程,以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定,属于基 础题. 24. (2013?镇江一模) (选修 4﹣5:不等式选讲)

已知 a,b,c 都是正数,且 a+2b+3c=6,求 考点: 一般形式的柯西不等式;平均值不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用柯西不等式,结合 a+2b+3c=6,即可求得 解答: 解:由柯西不等式可得
2 2 2 2 2

的最大值.

的最大值.
2 2

( ) ≤[1 +1 +1 ][( ) +( ) +( ) ]=3×9 ∴ ≤3 ,当且仅当 时取等号. ∴ 的最大值是 3 故最大值为 3 . 点评: 本题考查最值问题,考查柯西不等式的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 四、[必做题]每小题 0 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 25. (2013?镇江一模)如图,圆锥的高 PO=4,底面半径 OB=2,D 为 PO 的中点,E 为母线 PB 的中点,F 为底面圆周上一点,满足 EF⊥ DE. (1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 O﹣DF﹣E 的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,利用

?

=0,又

=2,即可解得点 F 的坐

标.利用异面直线 EF 与 BD 的方向向量的夹角即可得出所成角(锐角)的余弦值; (2)利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解答: 解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0) ,B(0,2,0) ,D(0,0,2) ,E(0,1,2) ,P(0,0,4) ,F(x,y,0) . ∴ ∵ 又∵ ∴ ,∴ =2, , =y﹣1=0,解得 y=1. ,取 x>0,把 y=1 代入解得 x= . ,∴ , , .

=

=



∴ 异面直线 EF 与 BD 所成角(锐角)的余弦值为 (2)设平面 DEF 的法向量为

; ,

则 ∴

得 .

,令 x1=2,则

,y1=0,

设平面 ODF 的法向量为 令 x2=1,则

=(x2,y2,z2) ,则 .

,得



,z2=0.∴



=

=

=



∴ sinθ=

=

. .

∴ 二面角 O﹣DF﹣E 的正弦值为

点评: 熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角求得异面直线所成 角、利用两个平面的法向量的夹角得出二面角、向量垂直与数量积的关系是解题的关键. 26. (2013?镇江一模) (1)山水城市镇江有“三山”﹣﹣金山、焦山、北固山,一位游客游览这三个景点的 概率都是 0.5,且该游客是否游览这三个景点相互独立,用 ξ 表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 数差的绝对值,求 ξ 的分布列和数学期望; (2)某城市有 n(n 为奇数,n≥3)个景点,一位游客游览每个景点的概率都是 0.5,且该游客是否游览这 n 个景点相互独立, 用 ξ 表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值, 求 ξ 的分布列和数学 期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.

专题: 综合题;概率与统计. 分析: (1)游客游览景点个数为 0,1,2,3,ξ 可能取值为:1,3,ξ=1 表示游览一个景点或游览两个景 点,ξ=3 表示游览景点数为 0 或游览了三个景点,根据 n 次独立重复试验中事件发生 k 的概率公式 即可求得 P(ξ=1) ,P(ξ=3) ,进而得到分布列和期望; (2)当 n=2k+1,k∈N 时,游客游览景点个数可能为:0,1,2,…,2k+1,则 ξ 可能取值为:1,3, 5,…,2k+1.根据独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率计算公式求出 ξ 取各值是的概率,表示出 Eξ=(2k+1﹣0)×2× 2]×2× +[(2k+1﹣1)﹣1]×2× +…+[2k+1﹣k)﹣k]×2× +[(2k+1﹣2)﹣ ,分组后利用性质 =n
*

(i=1,2,3,…,n)对上式即可进行化简,最后再换为 n 即可; 解答: 解: (1)游客游览景点个数为 0,1,2,3,ξ 可能取值为:1,3, P(ξ=1)= P(ξ=3)= ξ 的分布列为: + + =2 = , =2 = ,

所以 Eξ=1× +3× = . (2)当 n=2k+1,k∈N 时,游客游览景点个数可能为:0,1,2,…,2k+1, ξ 可能取值为:1,3,5,…,2k+1. P(ξ=1)= P(ξ=3) = … P (ξ=2k+1) = ∴ ξ 的分布列为: + =2× , + = ; + =2× ;
*

∴ Eξ=(2k+1﹣0)×2× 2]×2× =2× [(0× +1

+[(2k+1﹣1)﹣1]×2× +…+[2k+1﹣k)﹣k]×2×

+[(2k+1﹣2)﹣

{[(2k+1) +2×

+2k +…+

+(2k﹣1) ]}

+…+(2k+1﹣k)

]﹣

=2× [0× ∵ =n +1×

{[(2k+1)× +…+

+2k× ]},

+(2k﹣1)×

+…+(k+1)

]﹣

(i=1,2,3,…,n) , {(2k+1)×[ ×(2k+1)×[( ×(2k+1)× ]﹣(2k+1)×[ )﹣( + )] ]}

Eξ=2× =2× =2×

=



答:ξ 的数学期望 Eξ 为



点评: 本题考查离散型随机变量的分布列、 期望, 考查 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 的概率计算公式, 考查组合数性质应用,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,本题综合性强,能力要求高, 属难题.


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