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解解析几何题常用的减少运算的八个策略


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向三   高 三  

所 
置庆 -2 3  

/  

( 散 学教 学 通 讯  学生版 2 0 0 0 年第 3 期 

解 解 析 几 何 题 黼 用 的 减

少 运 算 量 的 八 个 策 略  
( 广 东惠 州 商 校 ) 叶 志 平 

解析 几 何 题往 往 涉及 到 点 的坐 标 、 曲 线 

P和I nM l =  

,  

的方程 、 线 段 的长度 和两 直线 的夹 角等 问题,   这些都 与运 算 有关 , 若 运用 的解 题方 法 不恰  当, 往往运 算 量 很 大 . 运算 很 繁 琐 , 甚 至 无法  解出. 若采取 恰 当的解 题策 略, 则 可 以 减 少 运 
算量. 提高解 题效 率 . 下 面 举 倒 说 明 解 解 析 几  何 题常 用的减 少运 算量 的八 个策略 .  

l T 2 M I , 可 得 四 边 形  M  矾 是 正 方 形,  

从而 I   l = √ 2   于是 , 动 点 P 的 
轨迹 方 程 为 (   —1 )  
+(  一1 )   =2 .  
图 l  

1 引进参 数 . 设而 不 求的策 略 
例 l 过 圆 外 的 一 点 P( 口, 6) 作 圆  =R 的 两 条 切 线 , 切 点 为 A、 B, 求 直线 A B  
的方 程 .  

3 应用韦 选定理 求解 的策 略 
倒 3 已 知 两 个 同 心 椭 圆  +   +   l和 

分析 : 直 接 的 方 法 就是 把 A、 B 的 坐 标 先  求 出来 , 然后 写 出直线 A B 的方 程 . 但 这 样做 

( 口> 6>o ? o < ^< 1 ) , 一 条 直 线 

与 它 们 顺 次 交 于 A、 B、 C、 D 四点 .   求证: i A Bl =l ∞ 1   分析 : 以 两 点 问 的 距 离公 式 求 解 , 由于它 

运算 量较大 . 若 引 进 A、 B 的坐 标 作 为 参 数 ,   则 可 巧 妙 地 达 到 解 题 目的 .   解i 设 A、 B 的坐 标 分 别 为 (  I ,  1 ) 、 (  2 ,   2 ) , 则 切 线 AP、 目,的 方 程 分别 为 :  
夕 
。 . 。

涉及到 求交点 的坐 标 。 运算很 繁 . 若 以 韦达 定 
理证 明 A D、 B c的 中点相 同 , 则很 简 洁 .  
解: 设 直 线 方 程 为  = b + z , 代 入  +   =l后 化 简 得 :  
( 6   +a 2 k   )   +2 a   南 k +口   ( z  一6   ) =0 .  

1  +  l   = R  , X2 X +Y 2 Y = R  .  


逮 两 条 切 线 都 过 点 P( n. 6 ) ,  
a : l : 1+ b yl   R  , a : l : 2+  2= R 





由 以上 两 式 可 以 看 出, 点 A、 B 在 直 线  o a c +b y=R 上 , 又 过 A、 B 只有一条 直线 ,   £一   一   直线 A B 的方 程 为 o 2 r+   =R  .  
.  .

由 韦达 定 理 得 :  l  
.   .

:一  2 a   2   k /  
,  

2 利用 图形 的几何性 质 求解 的 策略 


A D 中 点 的横 坐 标 为 
. 

T 1 +x 2 =一  a   2 k /  
同理可求 B c 的 中 点 的 横 坐 标 也 为 


例 2 过圆 M: (  —1 )  +(   一1 )   =1外 


点 P 向此 圆引两 切线 , 当 两 切 线 互 相 垂 直  分析 : 本题 一般用 参数 法求解 , 但 运 算 量 

时, 求 点 P 的轨迹 方 程 .  


g  

6 2+ 口2 孟2 ’  



大 且有 一定 技 巧性 , 不易求 解 . 如果仔 细观 察  图形 的性 质 , 会 发现 P 是 正 方 形 P  Mr 2 的  顶点 . 1   P Ml 是 定值 , 便 可得到 简捷 的解答 .   解: 如 图, 设 切 点为 n .   , 连 Mr 1 、 Mr 2 ,  
MP, 则 Mr 1 上 T1 P, Mr 2 上T 2 P, 再 由 T1 P上 

A D、 Bc 的 中 点 相 同 。  
1 A Bl = l aD 1  

。 . .

4 利用复数 求解 的策略 
例 4 已知 正 方形 AB e D 的 相 对 顶 点A 、  

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?

甜 ? t虞 

C 欺 学 教学 通 讯' 学 生版 挪

年第 3 期 

c的 坐 标分 别 为 A( 0 ,   1 ) 、 C( 2 , s ) , 求 另 两  个顶 点 B、 D 的 坐标 .  


:  

分析: 一 般 做 法 

, 


t +  1 一 粤  

+  

:8 p.  

是 通 挝 正 方 形 盼 性  质求 出 c D、 A D 的 斜 
率, 得 出 国 、 A D 的 

般地 , 当 涉 及 到 圆 锥 曲 线 的 焦 点 弦 问 

c 

题 时. 用 极坐 标法求 解较 为简 便 .  

o <  
D 、   /   『
A 

6 运 用 曲线 系方援 求 解的 策略  例 6 求 经过 两 匿  +   +如 :0和  +   =4的交 点且过 点 A( 一2 , 一2 ) 的 圆的方 
程 .  

方程 , 然后求 出 D 点  坐标 . 从 而求 出 B 点  坐标 , 或者从 1   C D   I  


图 2  

I A DI ={ I   f , 求出 口, D 的坐标, 运箕 
√2  

量都较 大 , 若 利用 复数 四则 运 算 的几 何 意 义 
求解, 则 较简 便 .  

分橱 : 若先 求 出交 点 , 再 求 圆的 方 程 , 显  然运 算 量大 . 但 若 利用 曲线 系 方程求 解 , 则 过 
程很 简洁 .  

解: 如 图, 将坐标 平 面改为 复平面 , 设A C   与 肋 交 于M. 则  1+2 1 。   一 OC -  
1+ 3  .  
—?- --?一


解: ‘ .   所求 圆过 两 巳知 圆的交点 .  
、 . .

可 设所 求的 圆的方 程为 :  

+) r 2 +   +  (  4 -   一4 ) =0 .  
— —-——一  
‘ . 

’ 馏
.  

= 一i  

=3一  ,  

点 A( 一2 , 一2 ) 在 圆上 ,  
( 一2 )  4 - (一2 )  4 - 6×(一2)4 - ^[ (一  
=1 .  



? .

4   4 - i . 即 点 B 的 坐 





标为( 4 , 1 ) .   于 是 由线 段 中 点 坐 标 公 式 得 D 的 坐 标  为 (一2 , 3 ) .  

2 )   4 - (一2 )   一4 】 :0 ,  
‘ ?
- 

故所求的圆的方程为 z  +   十6  +  
4 -   一4= 0 ,  

5 种 甩极 坐标求 解 的策略  例 5 过 抛 物 线  =4 缸(  >0 ) 的焦 点 

即  4 -   +3  一2 =0 .  

7 嗣 用参数 方程求 解 的策略 
铡 7 设 M、 N是 撼物 线 ,   =2 舡( ’>t 3 )   的对 称 轴 上 两点 . 且 
J  

F , 作 倾 斜 角 为 }   的 直 线   交 抛 物 线 于 A 、 B  
两点 .   求证 } I A BI =  

它宵 1 关 于 顶 点 O 对  称, 过 M、 Ⅳ 作 两 条 

分析 : 此 类 问 题  通 常 用 韦 达 定 理 及  弦长公 式 求 解 , 若 能  用极 坐 标 方 程 求 解 .   则可 减少很 多运算 .   解 :以 F 为 极 

平行 线 , 分 剐 交抛 物 
线 于 P1 、 P 2 ' Ql 、   ,   求证 t  

N 口  

圈3  


』  

1 1 .1  

2l  

图 4  

1 № l 『 l № 2 1 .  

点, F X为 极 轴 , 建立极坐 标系, 则 抛 物 线 方 

分析: 若先求 Pl 、   , Ql 、 Q 2 , 的坐 标 , 再  用 两点 间距离 公式求 解 , 显 然很繁 琐, 若利 用  直 线参数 方程参 数的几 何 意义 , 贝 4 易 解多 了 .   证明: 设 点 M、 Ⅳ 的坐 标 分 别 为 M (  ,   O ) 、 N( 一n , O ) ( 口 >O ) , 则 直线 MP 1 , № l 的 

程为 P ;『 = 2   1 )
‘ . .

日  

J 加 I =I F A【 +I F BI =P l  p 2  

:  

l — o 0 s 号  l — e 。 s (  3   )  

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煨 .  
一 , 

制  

b  

不动 脑 筋 不知 道  一 想 收 益 真 不少 
— —

浅 谈 一道 排 列 组 合 高考题 的解 法  ,   ; 弘 .  
轴   3 1 2 0 8 5 )  





题目   同室 四人 各写 一 张 贺 卡, . 先集 中 
起来 , 然后 每人 从 中拿 一张 别 人选 来 的贺 年 

由加法瓯理得 3 + 3 + 3 :9 ( 种) , 故选( B )  
方法 2 i 间接 法< 分 类与 分步 )  

卡, 则 四张 贺年卡 不 同的分 配方式 有 (  )  
( A) 6种 ( 1 3 ) 9种 ( c ) 1 1 种 ( D) 2 3种 

记 是人 各写 一张 贺 卡, 每 人 取 一 张另 n 人 
送 韵 贺 年 卡 的 不 同分 配 方 式 记 为 Dk (   =l ,  



此 题有 不少 同 学 向人 请 教过 , 起 初 我 用  般 的枚 举 法 解 释 给 同 学 听 , 如 今 我 找 寻 有  方法 l : 直接 法 ( 分类)  

2 , 3 , 4 ) , 由方珐 1的分 析思 路 , 把 所有 分 配方  式列 出 :  

关 资 料, 罗列 了 一些 解法 , 旨在抛 砖引 玉 .   分析 : 视 四人 为 Al , A 2 ,   ,   , 他 们写 的  贺年 卡分别 记为 l , 2 , 量4 , 则l , 2 , 3 , 4的任 一 
全排 列都 一一 对 应 着 A l , A2 , A 3 ,   的 一 个  取卡 方式 , 用 分类 思想 把 符合 题 目要 求 的分 

( 1 ) 恰有 1 人 拿 到 自己的卡 的取 法 有 c :  
" D3 种;  

( 2 ) 恰有 2 人 拿鳓 ’ 亩芒 的卡 的 取法 有 c 三   ?   种;  
( 3 ) 恰有 3人 ( 也 即 4人 ) 拿 列 自己的 卡  的取 法有 1 种;  

配 方 式 分为 以下三 类 : ( 1 ) At 拿 卡 2的方法 有 3
2 4 1 3 ) ;  

( 2 1 4 3 , 2 M1 ;  

( 4 ) 投有人拿到 自己的 卡的取法宥 D  种.   由四张卡 每 人 一 张 的 分 酉 已 方圭 £ 有  =  
2 4种
. 

( 2 ) A t 拿 卡 3的方 法有 3 '  ̄( 3 1 4 2 , 3 4 1 2 ,  

? ? D 4 i4   1 一( C t  ̄ D3 +   岛D2 +1 ) ,  


3 4 2 1 ) ;  
4 3 2 1 ) ;  
参 数方 程分别 为 :  

、  

由法一中拿卡方式易知 D 3 = 2 , D 2 =l ,  
D   =2 4 一( 4× 2 十 6 ×l +1 ) =9 ( 种) .   方法 3 : 构 造 法 
? . .

( 3 ) Ai 拿 卡 4的 方 法 有 3种 ( 4 1 2 3 , 4 3 1 2 ,  

8 利用 四锥 曲线 的定 义求 解 的策略 

r 

㈩  :   c Ⅱ  
s i n

一 


’ 

’  

( 其中 t 为参 数 ,   为倾斜 角)   把( I) 、 ( 1 I ) 分 别代 入  =2 R r中, 由韦 
选定 理可 得 : 1 MP | I ? I   J   j I =互 也 2 0 , I № 1 l _   J  
?

在 解析 几何 书 . 尤 其 悬 学 习凰 . I 垂 瑚 城 邃  _ F I 垂 容, 学 生往 往犏 莺 于 用_ 代 数 方 法 处 理 同 

题, 而常 常 忽略 了对圆锥 断线的 定 义酶运 用,  

因而 解 题过 强 申, 只是 生搬 硬 套 圆锥 曲线 的  性 质或 曲线 与方 程 螅关 系 . 导 致解 题 过 程 繁 

J  


?  
 


琐, 甚至 无法 解 出, 如 果 能 结 禽周 形 分析 . 应 
用定义 , 那 么有些 问题就 会 简化 .   综 上所述 , 针对篇 析几 何题 目魄特 点, 选 

_   l l I ? i : , 4 e 2 i ;I № l ¨№



般地, 涉及到过定点鲍茸棼与曲锥曲  

线相交 所 得 的 线段 的关 系 同题 , 采 用 直线 的 
参数 方 程求 解较简 便 .  

择恰当 的解 题策略 , 可 以避免 繁琐 的运算 , 减  少运算 量 , 提高 解题效 率 .  


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