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1997年全国高考数学试题


一九九七年全国高考数学试题
理科试题
一. 选择题: 本题共 15 个小题;第 (1) (10) 题每小题 4 分, (11) 第 -(15)题每小题 5 分,共 65 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)设集合 M= {x | 0 ? x ? 2} ,集合 N= {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,集合 M ? N

? ( B ) (A) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 1} (B) {x | 0 ? x ? 2} (D) {x | 0 ? x ? 2}

(2)如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a ? ( B ) (A)-3 (B)-6
1 2 1 3

(C) ?

3 2

(D)

2 3

(3)函数 y ? tg ( x ? ?) 在一个周期内的图象是
(A) y (B) y
? 6 7? 6

( A ) (4)已知三 棱锥 D-ABC

(C) y
2? 3
4? 3 ? 3

(D) y
? 6
5? 6

?

?

?

? 3

的三个侧面
x

o

2? 3

5? 3

x

o

2? 3

x

o

x

o

与底面全等,

且 AB=AC= 3 ,BC=2,则以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角 的大小是 (A) arccos
3 3

(B) arccos
? 3

1 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

( C ) ( B )

(5)函数 y ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小正周期是

1

(A)

? 2

(B) ?

(C) 2?

(D) 4? ( D )
1 2

(6)满足 arccos( ? x) ? arccosx 的 x 的取值范围是 1
1 2 1 2 1 2

(A)[-1, ? ](B)[ ? ,0](C)[0, ](D)[ ,1] (7)将 y ? 2 x 的图象 ( D )

(A)先向左平行移动 1 个单位(B)先向右平行移动 1 个单位 (C)先向上平行移动 1 个单位(D)先向下平行移动 1 个单位 再作关于直线 y ? x 对称的图象,可得到函数 y ? log2 ( x ? 1) 的图象 (8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶 点都在同一个球面上,这个球的表面积是 (A) 20 2? (B) 25 2? (C) 50? ( C ) (D) 200 ?

1 ? ? x ? 1? , (9)曲线的参数方程是 ? t (t是参数, t ? 0) ,它的普通方程是(A) ?y ? 1? t 2. ?

( x ? 1) 2 ( y ? 1) ? 1
1 ?1 (1 ? x) 2

(B) y ?

x ( x ? 2) (1 ? x) 2
x ?1 1? x2

( B )

(C) y ?

(D) y ?

(10)函数 y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 的最小值为 (A)2 (B)0 (C) ?
1 4

( B ) (D)6

(11)椭圆 C 与椭圆 的方程是

( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称,椭圆 C 9 4

( A )
( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 (B) 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 (A) 4 9

(C)

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 9 4

(D)

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9
2

(12)圆台上、下底面积分别为 ?,4? ,侧面积为 6? ,这个圆台的体积 是 (A)
2 3? 3

( D ) (B) 2 3? (C)
7 3? 6

(D)

7 3? 3

(13)定义在区间 (??,??) 的奇函数 f (x) 为增函数;偶函数 g (x) 在区间
[0,??) 的图象与 f (x) 的图象重合。设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式:

( C ) ① f (b) ? f (?a) ? g (a) ? g (?b); ③ f (a) ? f (?b) ? g (b) ? g (?a); 其中成立的是 (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③
? x ? 0, (14)不等式组 ? 3 ? x ? 2 ? x . 的解集是 ? ?3 ? x 2 ? x ?

② f (b) ? f (?a) ? g (a) ? g (?b); ④ f (a) ? f (?b) ? g (b) ? g (?a),

(D)②与④ (C)

(A){x | 0 ? x ? 2} (C){x | 0 ? x ? 6}

(B){x | 0 ? x ? 2.5} (D){x | 0 ? x ? 3}

(15)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的 点,不同的取法共有 (A)150 种 (B)147 种 (C)144 种 ( D ) (D)141 种

二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题 中横线上。 (16)已知 ( ? 答:4
3

a x

9 x 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ,常数 a 的值为_____ 4 2

(17)已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 距离是_______ 答: (18)
2 2
sin 7? ? cos 15 ? sin 8? 的值为_______ cos 7? ? sin 15 ? sin 8?

? 4

2 ,则极点到该直线的 2

答: 2 ? 3 (19)已知 m, l 是直线, ?, ? 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l??; ②若 l 平行于 ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ?, l ? ?, 且l?m, 则???; ④若 l ? ?, 且l??, 则???; ⑤若 m ? ?, l ? ?, 且? // ?, 则m // l. 其中正确的命题的序号是________(注:把你认为正确的命题的序号 都填上) . 答:①,④ 三.解答题:本大题共 6 小题;共 69 分. 解答应写出文字说明、证明 过程或推演步骤。

(20) (本小题满分 10 分) 已知复数 z ?
?? 3 1 2 2 ? i, ? ? ? i. 复数 z?, z 2 ?3 在复平面上所对应 2 2 2 2

的点分别为 P,Q。证明:△OPQ 是等腰直角三角形(其中 O 为原点)

4

解:因为 z ? 因为 ? ? 于是
z 2 ?3
???

3 1 ? ? ? i ? cos(? ) ? i sin(? ), 所以z 3 ? ?i. 2 2 6 6

2 2 ? ? ? i ? cos ? i sin , 所以?4 ? ?1. 2 2 4 4
? z 2 ?3 z? z 3?4 ? ? ? i. ??? z? | z | 2 | ? | 2 z?

z?

由此得 OP⊥OQ,|OP|=|OQ| . 由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ 为等腰直角三角 形。 (21) (本小题满分 11 分) 已知数列 {an },{bn } 都是由正数组成的等比数列,公比分别为
p, q ,其中 p ? q ,且 p ? 1, q ? 1. 设 cn ? an ? bn , S n 为数列 {cn } 的前

n 项和.

求 lim

Sn . n ?? S n ?1 a1 ( p n ? 1) b1 (q n ? 1) ? , p ?1 q ?1

解: S n ?

Sn a (q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) ? 1 . S n?1 a1 (q ? 1)( p n?1 ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n?1 ? 1)

分两种情况讨论: (1) p ? 1

5

? p ? q ? 0,0 ?

q ? 1. p
n

1 qn 1 p [a1 (q ? 1)(1 ? n ) ? b1 ( p ? 1)( n ? n )] S p p p ? lim n ? lim n ?1 n ?? S n ?? 1 q 1 n ?1 p n ?1 [a1 (q ? 1)(1 ? n ?1 ) ? b1 ( p ? 1)( n ?1 ? n ?1 )] p p p 1 q 1 a1 (q ? 1)(1 ? n ) ? b1 ( p ? 1)[( ) n ? n ] p p p ? p ? lim n ?? 1 q 1 a1 (q ? 1)(1 ? n ?1 ) ? b1 ( p ? 1)[( ) n ?1 ? n ?1 ] p p p a (q ? 1) ? p? 1 ?p a1 (q ? 1)

(2) p ? 1
? 0 ? q ? p ? 1, ? lim ? Sn a ( q ? 1)( p n ? 1) ? b1 ( p ? 1)(q n ? 1) ? lim 1 n ?? S n ? ? a ( q ? 1)( p n ?1 ? 1) ? b ( p ? 1)(q n ?1 ? 1) n ?1 1 1 ? a1 (q ? 1) ? b1 ( p ? 1) ?1 ? a1 (q ? 1) ? b1 ( p ? 1)

(22) (本小题满分 12 分) 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得 超过C千米/小时。 ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可 ........ 变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正 比,比例系数为 b ;固定部分为 a 元。 (Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函 ...... 数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? ...... 解: (Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 , 全程运输成本为
y ? a? S S a ? bv 2 ? ? S ( ? bv ), v v v
6

S v

故所求函数及其定义域为 y ? S ( ? bv ), v ? (0, c]. (Ⅱ)依题意知 S, a, b, v 都为正数,故有
a y ? S ( ? bv ) ? 2 S ab . v

a v

当且仅当 ? bv,即v ? 若 若
a ? c, 则当v ? b

a v

a 时上式中等号成立。 b

a 时,全程运输成本 y 最小 b

a ? c,当v ? (0, c] 时,有 b

a a a a S S ( ? bv ) ? S ( ? bc ) ? S[( ? ) ? (bv ? bc )] ? (c ? v)( a ? bcv ). v c v c vc

因为 c ? v ? 0, 且a ? bc2 , 故有a ? bcv ? a ? bc2 ? 0, 所以 S ( ? bv ) ? S ( ? bc ), 且仅当 v ? c 时等号成立,也即当 v ? c 时, 全程运输成本 y 最小。 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当
v? ab ab ;当 ? c 时行驶速度应为 v ? c 。 b b ab ? c 时行驶速度应为 b
a v a c

(23) (本小题满分 12 分) 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点。 (Ⅰ)证明 AD⊥D1F; (Ⅱ)求 AE 与 D1F 所成的角; (Ⅲ)证明面 AED⊥面 A1FD1; (Ⅳ)设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1 的 体积 VF-A1ED1.
A G D H F B A1 D1 B1 E C C1

7

解: (Ⅰ)∵AC1 是正方体, ∴AD⊥面 DC1,又 D1F ? 面 DC1, ∴AD⊥D1F. (Ⅱ)取 AB 中点 G,连结 A1G,FG 因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等, 又 A1D1、AD 平行且相等,所以 GF、A1D1 平行且相等, 故 GFD1A1 是平行四边形,A1G∥D1F。 设 A1G 与 AE 相交与点 H,则∠AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1 的中点,所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=900,即直线 AE 与 D1F 所成角为直角。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F,由(Ⅱ)知 AE⊥D1F,又 AD∩AE=A,所 以 D1F⊥面 AED 又因为 D1F ? 面 A1FD1,所以面 AED⊥面 A1FD1. (Ⅳ)连结 GE,GD1. ∵FG∥A1D1,∴FG∥面 A1ED1, ∴体积 VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1GE, ∵AA1=2,∴面积 S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE= ∴VF-A1ED1=VD1-A1GE= ? A1 D1 ? S ?A GE ? ? 2 ? ? 1
1

3 2

1 3

1 3

3 2

(24) (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根
x1 , x 2 满足 0 ? x1 ? x 2 ?
1 . a

(Ⅰ)当 x ? (0, x1 ) 时,证明: x ? f ( x) ? x1 ;
8

(Ⅱ)设函数 f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,证明: x0 ?

x1 . 2

解: (Ⅰ)令 F ( x) ? f ( x) ? x. 因为 x1 , x 2 是方程 f ( x) ? x ? 0 的根,所以
F ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 当x ? (0, x1 )时,由于x1 ? x2 , 得( x ? x1 )(x ? x 2 ) ? 0, 又a ? 0得 F ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? 0,即x ? f ( x) x1 ? f ( x) ? x1 ? [ x ? F ( x)] ? x1 ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( x ? x1 )[1 ? a( x ? x2 )] 1 , 所以x1 ? x ? 0,1 ? a( x ? x2 ) ? 1 ? ax ? ax2 ? 1 ? ax2 ? 0. a b (Ⅱ)依题意知 x 0 ? ? . 2a 因为0 ? x ? x1 ? x 2 ?

因为 x1 , x 2 是方程 f ( x) ? x ? 0 的根,即 x1 , x 2 是方程
ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 的根

所以 x1 ? x 2 ? ?
x0 ? ?

b ?1 , a

a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ax1 ? ax2 ? 1 b ? ? . 2a 2a 2a ax x 因为ax2 ? 1, 所以x 0 ? 1 ? 1 . 2a 2

(25) (本小题满分 12 分) 设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其 弧长的比为 3:1。在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l :
x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程。

解法一:设圆的圆心为 P(a, b) ,半径为 r ,则点 P 到 x 轴,y 轴距离分 别为 | b |, | a | . 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 900,知圆 P 截 x 轴所得 的弦长为 2r ,故 r 2 ? 2b 2 , 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r 2 ? a 2 ? 1. 从而得
2b 2 ? a 2 ? 1.
9

又点 P(a, b) 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ?

| a ? 2b | 5

,

所以 5d 2 ?| a ? 2b |2 ? a 2 ? 4b 2 ? 4ab ? a 2 ? 4b 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) ? 2b 2 ? a 2 ? 1, 当且仅当 a ? b 时上式等号成立,此时 5d 2 ? 1 ,从而 d 取得最小值. 由此有 ?
? a ? b, ?a ? 1, ?a ? ?1, 解此方程组得 ? 或? 2 2 ?2b ? a ? 1. ?b ? 1; ?b ? ?1.

由于 r 2 ? 2b 2 知 r ? 2. 于是,所求圆的方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2, 或( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2. 解法二:同解法一得 d ?
| a ? 2b | 5 ,

? a ? 2b ? ? 5d ,得 a 2 ? 4b 2 ? 4 5bd ? 5d 2 , (1)

将 a 2 ? 2b 2 ? 1 代入(1)式,整理得
2b 2 ? 4 5bd ? 5d 2 ? 1 ? 0, (2)

把它看作 b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
? ? 8(5d 2 ? 1) ? 0, 得5d 2 ? 1.

所以

5d 2 有最小值 1,从而 d 有最小值

5 . 5

将其中代入(2)式得 2b 2 ? 4b ? 2 ? 0. 解得 b ? ?1. 将 b ? ?1 代入 r 2 ? 2b 2 , 得r 2 ? 2.由r 2 ? a 2 ? 1得a ? ?1. 综上 a ? ?1, b ? ?1, r 2 ? 2. 由 | a ? 2b |? 1知a, b 同号。 于是,所求圆的方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2, 或( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2.

10

文科试题
一. 选择题: 本题共 15 个小题;第 (1) (10) 题每小题 4 分, (11) 第 -(15)题每小题 5 分,共 65 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)设集合 M= {x | 0 ? x ? 2} ,集合 N= {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,集合 M ? N ? ( B ) (A) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x | 0 ? x ? 1} (B) {x | 0 ? x ? 2} (D) {x | 0 ? x ? 2}

(2)如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么系数 a ? ( B ) (A)-3 (B)-6
1 2 1 3

(C) ?

3 2

(D)

2 3

(3)函数 y ? tg ( x ? ?) 在一个周期内的图象是
(A) y (B) y
? 6 7? 6

( A ) (4)已知三 棱锥 D-ABC

(C) y
2? 3
4? 3 ? 3

(D) y
? 6
5? 6

?

?

?

? 3

的三个侧面
x

o

2? 3

5? 3

x

o

2? 3

x

o

x

o

与底面全等,

且 AB=AC= 3 ,BC=2,则以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角 的大小是 (A) arccos
3 3

(B) arccos
? 3

1 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

( C ) ( B )

(5)函数 y ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小正周期是

11

(A)

? 2

(B) ?

(C) 2?

(D) 4? ( C )
? 4 ? 2

(6)满足 tg? ? ctg ? 的角 ? 的一个取值区间是
? 4 ? 4 ? 4 ? 2

(A) (0, ] (B)[0, ] (C)[ , ) (D)[ , ] (7)设函数 y ? f (x) 定义域在实数集上,则函数 y ? f ( x ? 1) 与
y ? f (1 ? x) 的图象关于

( D ) (B)直线 x=0 对称 (D)直线 x=1 对称

(A)直线 y=0 对称 (C)直线 y=1 对称

(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶 点都在同一个球面上,这个球的表面积是 (A) 20 2? (B) 25 2? (C) 50? ( C ) (D) 200 ?

(9)如果直线 l 将圆: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 平分,且不通过第四象限, 那么 l 的斜率的取值范围是
1 2

( A )
1 2

(A)[0,2] (B)[0,1] (C)[0, ] (D)[0, ) (10)函数 y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 的最小值为 (A)2 (B)0 (C) ?
1 4

( B ) (D)6

(11)椭圆 C 与椭圆 的方程是 (A)

( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称,椭圆 C 9 4

( A ) (B)
( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 4 9

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 (C) 9 4

( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 (D) 4 9

(12)圆台上、下底面积分别为 ?,4? ,侧面积为 6? ,这个圆台的体积 是 ( D )
12

(A)

2 3? 3

(B) 2 3?

(C)

7 3? 6

(D)

7 3? 3

(13)定义在区间 (??,??) 的奇函数 f (x) 为增函数;偶函数 g (x) 在区间
[0,??) 的图象与 f (x) 的图象重合。设 a ? b ? 0 ,给出下列不等式:

( C ) ① f (b) ? f (?a) ? g (a) ? g (?b); ③ f (a) ? f (?b) ? g (b) ? g (?a); 其中成立的是 (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③
? x ? 0, (14)不等式组 ? 3 ? x ? 2 ? x . 的解集是 ? ?3 ? x 2 ? x ?

② f (b) ? f (?a) ? g (a) ? g (?b); ④ f (a) ? f (?b) ? g (b) ? g (?a),

(D)②与④ (C)

(A){x | 0 ? x ? 2} (C){x | 0 ? x ? 6}

(B){x | 0 ? x ? 2.5} (D){x | 0 ? x ? 3}

(15)四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱中点中取 3 个点, 使它们和点 A 在同一平面上,不同的取法有 (A)30 种 (B)33 种 (C)36 种 ( B )

(D)39 种

二.填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题 中横线上。 (16)已知 ( ? 答:4 (17)已知直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A、B 两点,那么线段 AB 的中点坐标是_______
13

a x

9 x 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为 ,常数 a 的值为_____ 4 2

答: (4,2) (18)
sin 7? ? cos 15 ? sin 8? 的值为_______ cos 7? ? sin 15 ? sin 8?

答: 2 ? 3 (19)已知 m, l 是直线, ?, ? 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线,则 l??; ②若 l 平行于 ? ,则 l 平行于 ? 内的所有直线; ③若 m ? ?, l ? ?, 且l?m, 则???; ④若 l ? ?, 且l??, 则???; ⑤若 m ? ?, l ? ?, 且? // ?, 则m // l. 其中正确的命题的序号是________(注:把你认为正确的命题的序号 都填上) 答:①,④ 三.解答题:本大题共 6 小题;共 69 分. 解答应写出文字说明、证明 过程或推演步骤。 (20) (本小题满分 10 分) 已知复数 z ? ? i 值。 解: z? ? z?3 ? z?(1 ? ?2 ) ? ( ? i
? 2 (? 1 2 3 2 2 )( ? i)(1 ? i) 2 2 2 1 2 3 2 2 ,? ? ? i. 求复数 z? ? z?3 的模及辐角主 2 2 2

3 1 5? 5? ? i) ? 2 (cos ? i sin ). 2 2 6 6
5? . 6

故复数 z? ? z?3 的模为 2 ,辐角主值为 (21) (本小题满分 11 分)

14

设 S n 是等差数列 {an } 前 n 项和。已知 S 3 与 S 4 的等比中项为
1 1 1 S 5 , S 3 与 S 4 的等差数列中项为 1。求等差数列 {an } 的通项 an . 5 3 4

1 3

1 4

解:设等差数列数列 {an } 的首项 a1 ? a, 公差为 d , 则通项为 an ? a ? (n ? 1)d , 前 n 项和为 S n ? na ? 依题意有
1 1 ?1 2 ?3 S3 ? 4 S 4 ? ( 5 S5 ) , ?1 1 ? S 3 ? S 4 ? 2, 4 ?3 3? 2 1 4?3 1 5? 4 2 ?1 ? 3 (3a ? 2 d ) ? 4 (4a ? 2 d ) ? 25 (5a ? 2 d ) , 其中 S 5 ? 0. 由此可得 ? 1 3? 2 1 4?3 ? (3a ? d ) ? ( 4a ? d ) ? 2. 2 4 2 ? 3
12 ? ?3ad ? 5d 2 ? 0, ?d ? 0,?d ? ? ? 整理得 ? 解方程组得 ? 5 ? 5, ? a ? 1; ? a ? 4. ? 2 a ? 2 d ? 2. ? ?
12 32 12 (n ? 1) ? ? n 5 5 5 32 12 经验证知 a n ? 1时, S 5 ? 5, 或a n ? ? n时, S 5 ? ?4, 均适合题意。 5 5 32 12 故所求等差数列的通项为 a n ? 1, a n ? ? n. 5 5 n(n ? 1) d, 2

由此得 a n ? 1; 或a n ? 4 ?

(22) (本小题满分 12 分) 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得 超过C千米/小时。 ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可 ........ 变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正 比,比例系数为 b ;固定部分为 a 元。 (Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函 ...... 数,并指出这个函数的定义域;
15

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? ...... 解: (Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 , 全程运输成本为
y ? a? S S a ? bv 2 ? ? S ( ? bv ), v v v a v S v

故所求函数及其定义域为 y ? S ( ? bv ), v ? (0, c]. (Ⅱ)依题意知 S, a, b, v 都为正数,故有
a y ? S ( ? bv ) ? 2 S ab . v

当且仅当 ? bv,即v ? 若 若
a ? c, 则当v ? b

a v

a 时上式中等号成立。 b

a 时,全程运输成本 y 最小 b

a ? c,当v ? (0, c] 时,有 b

a a a a S S ( ? bv ) ? S ( ? bc ) ? S[( ? ) ? (bv ? bc )] ? (c ? v)( a ? bcv ). v c v c vc

因为 c ? v ? 0, 且a ? bc2 , 故有a ? bcv ? a ? bc2 ? 0, 所以 S ( ? bv ) ? S ( ? bc ), 且仅当 v ? c 时等号成立,也即当 v ? c 时, 全程运输成本 y 最小。 综上知,为使全程运输成本 y 最小,当
v? ab ab ;当 ? c 时行驶速度应为 v ? c 。 b b ab ? c 时行驶速度应为 b
a v a c

(23) (本小题满分 12 分)

16

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点。 (Ⅰ)证明 AD⊥D1F; (Ⅱ)求 AE 与 D1F 所成的角; (Ⅲ)证明面 AED⊥面 A1FD1;
D A1 D1 B1 E C F A B G C1

(Ⅳ)设 AA1=2,求三棱锥 E-AA1F 的体 积 VE-AA1F. 解: (Ⅰ)∵AC1 是正方体, ∴AD⊥面 DC1,又 D1F ? 面 DC1, ∴AD⊥D1F. (Ⅱ)取 AB 中点 G,连结 A1G,FG 因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等,

又 A1D1、AD 平行且相等,所以 GF、A1D1 平行且相等, 故 GFD1A1 是平行四边形,A1G∥D1F。 设 A1G 与 AE 相交与点 H,则∠AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角。 因为 E 是 BB1 的中点,所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠AHA1=900,即直线 AE 与 D1F 所成角为直角。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F,由(Ⅱ)知 AE⊥D1F,又 AD∩AE=A,所 以 D1F⊥面 AED 又因为 D1F ? 面 A1FD1,所以面 AED⊥面 A1FD1. (Ⅳ)∵体积 VE-AA1F=VF-AA1E, 又 FG⊥面 ABB1A1,三棱锥 F-AA1E 的高 FG=AA1=2, 面积 S△AA1E= S□ABB1A1= ? 2 2 ? 2.
1 2 1 2

17

∴VE-AA1F = ? S ?AA E ? FG ? ? 2 ? 2 ? .
1

1 3

1 3

4 3

(24) (本小题满分 12 分) 已知过原点 O 的一条直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 A、 两点, B 分别过点 A、 作 y 轴的平行线与函数 y ? log2 x 的图象交于 C、 两点。 B D (Ⅰ)证明点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (Ⅱ)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标。 解: (Ⅰ)设点 A、B 的横坐标分别为 x1 , x 2 , 由题设知, x1 ? 1, x2 ? 1,则点 A、B 纵坐标分别为 log8 x1 , log8 x2 . 因为 A、B 在过点 O 的直线上, 所以
log8 x1 log8 x2 ? , x1 x2

点 C、D 的坐标分别为 ( x1 , log2 x1 ), ( x2 , log2 x2 ). 由于 log2 x1 ?
log8 x1 log8 x2 ? 3 log8 x1 , log2 x2 ? ? 3 log8 x2 , log8 2 log8 2 log2 x1 3 log8 x1 log2 x2 3 log8 x2 ? , OD 的斜率 k 2 ? ? , x1 x1 x2 x2

OC 的斜率 k1 ?

由此可知, k1 ? k 2 , 即 O、C、D 在同一条直线上。 (Ⅱ)由于 BC 平行于 x 轴知 log2 x1 ? log8 x2 , 即得 log 2 x1 ? log 2 x 2 ,
3 3 ? x2 ? x1 . 代入 x2 log8 x1 ? x1 log8 x2 得 x1 log8 x1 ? 3x1 log8 x1 .

1 3

由于 x1 ? 1知log8 x1 ? 0,? x13 ? 3x1. 考虑 x1 ? 1解得x1 ? 3. 于是点 A 的坐标为 ( 3, log8 3). (25) (本小题满分 12 分)
18

设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其 弧长的比为 3:1;③圆心到直线 l :x ? 2 y ? 0 的距离为 程。 解法一:设圆的圆心为 P(a, b) ,半径为 r ,则点 P 到 x 轴,y 轴距离分 别为 | b |, | a | . 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 900,知圆 P 截 x 轴所得 的弦长为 2r ,故 r 2 ? 2b 2 , 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2,所以有 r 2 ? a 2 ? 1. 从而得
2b 2 ? a 2 ? 1.

5 。求该圆的方 5

又点 P(a, b) 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 即有 a ? 2b ? ?1 ,由此有 ? 解方程组得 ?

5 | a ? 2b | 5 ,所以 d ? ? , 5 5 5

?2b 2 ? a 2 ? 1,?2b 2 ? a 2 ? 1, ? ? a ? 2b ? 1; ? a ? 2b ? ?1.

?a ? ?1,?a ? 1, 于是 r 2 ? 2b 2 知 r ? 2. ? ?b ? ?1;?b ? 1.

所求圆的方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2, 或( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2. 于是,所求圆的方程是 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2, 或( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2.

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