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江西省南昌三中2011届高三第六次月考(数学理)


江西省南昌市第三中学高三年级第六次月考

理科数学试卷
一、选择题(共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
1、设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3 10

2011.2.20

?(



A. i



B. ? i

C. 2i

D. ? 2i )

2、若集合 P= { y | y ? 0} , P ? Q ? Q ,则集合 Q 不可能是( ...
A.{ y | y ? x2 , x ?R}
C.{ y | y ?| lg x |, x > 0?

B.{ y | y ? 2x , x ?R}

D.{ y | y ? x?3 , x ? 0} 3、把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起形成三棱锥 C ? ABD 的主视图与俯视图如 图所示,则左视图的面积为( )

A. C.

1 4

B. D.

1 2

1 8 4、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,
且 a=1, b ? 3, 则S ?ABC 等于 A. 2 5、 已知双 曲线 B. 3 C. ( )

1 6

3 2

D.2

x2 y 2 且双曲线的离心率等于 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合, a 2 b2


5 ,则该双曲线的方程为(

A. 5x2 ?

4 2 y ?1 5

B.

x2 y 2 ? ?1 5 4

C.

y 2 x2 ? ?1 5 4

D. 5x2 ?

5 2 y ?1 4

6、若把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m ( m >0)个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) C.

π 3

2 B. π 3

π 6

5 D. π 6

? x ? 2 ? 0, ? 7、若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0, 目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2,则实数 a 的 ? x ? 2 y ? a ? 0, ?

C.1 D.2 ???? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 8、 A, B, C是圆x2 ? y 2 ? 1上不同的三个点,且OA ? OB ? 0, 存在实数?, ? ,且 OC = ? OA ? ? OB

值是( A.-2

) B.0

则实数 ? , ? 的关系为( A. ? 2 ? ? 2 ? 1

) B.
1

?

?

1

?

?1

C. ? ? ? ? 1

D. ? ? ? ? 1

9 、 设 a , b 均 为 大于 1 的 正数 , 且 ab ? a ? b ? 10 ? 0 , 若 a ? b 的 最小 值 为 m , 则 满足
3x2 ? 2 y 2 ? m 的整点 ( x, y ) 的个数为(



A.5 B.7 C.9 D.11 10、 已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,f (?4) ? ?1 , f (x) 的导函数 f ' ( x) 的图象如图所示。 若两正数 a, b 满足 f (a ? 2b) ? 1 ,则

a?2 的取值范围是 b?2

1 3 1 B. ( ,3) 2 C. (?1,0) D. (??,?1)
A. ( , 2 )

y

y= f ' ( x)

x O

二、填空题(共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
ln x ,在区间[2,3]上任取一点 x0 , 使得f ?( x0 ) >0 的概率为 。 x 12、 1 是某工厂 2010 年 9 月份 10 个车间产量统计条形图, 图 条形图从左到右表示各车间的 产量依次记为 A1,A2…,A10(如 A3 表示 3 号车间的产量为 950 件) 。图 2 是统计图 1 中 产量在一定范围内车间个数的一个算法流程图。那么运行该算法流程后输出的结果 是 。
11、已知函数 f ( x) ?

输入 A1、A2…A10
[来源:Gkstk.Com]

n=0, i=1 i=i+1 n=n+1 车间 13、已知 a ? ?0, Ai>950? i≤10? Ai>950?

a ? ?? ,则当 ? (cos x ? sin x)dx 取最大值时, a =_____________. 0 ? 2? ?

?(3 ? a) x ? 3 14、设函数 f ( x) ? ? x ?6 ?a

x?7

,数列 {an } 满足 an ? f (n), n ? N? ,且数列 {an } 是递 x>7

增数列,则实数 a 的取值范围是_____________________________。 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 15、对于命题:如果 O 是线段 AB 上一点,则 | OB | ?OA? | OA | ?OB ? 0 ;将它类比到平面 的

??? ? ??? ? ???? ? 情形是:若 O 是△ ABC 内一点,有 S?OBC ? OA ? S?OCA ? OB ? S?OBA ? OC ? 0 ;将它类比到 空间的情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有__________________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
π 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A >0,? >0,| ? | < ) 的图象与 y 2
轴的交点为 (0, , 1) 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 2π, ?2). (1)写出 f ( x) 的解析式及 x0 的值; (2)若锐角 ? 满足 cos? ?

1 , 3

求 f (4? ) 的值.

17、 (本小题满分 12 分)某地决定新建 A,B,C 三类工程,A,B,C 三类工程所含项目的个 数分别占总项目数的

1 1 1 , , (总项目数足够多) ,现有 3 名工人独立地从中任选一个 2 3 6

项目参与建设 (Ⅰ)求他们选择的项目所属工程 类别相同的概率;

(Ⅱ)记 ? 为 3 人中选择的项目属于 B 类工程或 C 类工程的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18、 (本题满分 12 分)如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2 ,E 是 CD 的中点,O 为 AE 的中点,以 AE 为折痕,将△ADE 向上折起,使 D 到 P,且 PC=PB (1)求证:PO⊥面 ABCE; (2)求 AC 与面 PAB 所成角 ? 的正弦值.

19、 (本小题满分 12 分)数列 {an } a1 ? 3,已知点(an , an?1 )在直线y ? x ? 2 上, 中 (I)求数列 {an } 的通项公式;
[来源:高考试题库]

(II)若 bn ? an ? 3n , 求数列{bn }的前n项和Tn .

20、 (本小题满分 13 分)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,短轴长为 2 、离心 率为

? ? ? ? ? ? 2 B , 直线 l 与 y 轴交于点 P (0,m ) 与 椭圆 C 交于相异两点 A、 , A ? P 。 , B 且 P 3 2

(I)求椭圆方程; (II)求 m 的取值范围。

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x (I)求 f ( x ) 的最小值; (II)讨论关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0(m ? R) 的解的个数; (III)当 a ? 0, b ? 0时, 求证 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2.

南昌三中高三第六次月考数学试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 A

2 D

3 A

4 C

5 D

6 C

7 D

8 D

9 C

10 B

二、填空题(每小题 5 分,

共 25 分) 11、 e-2 12、4 13、

? 14、 (2,3) 4

15、

??? ? ??? ? ???? ???? ? VOBCD ? OA ? VOACD ? OB ? VOABD ? OC ? VOABC ? OD ? 0
三、解答题 16、解析(1)由题意可得 A ? 2,

T 2π 1 ? 2π,T =4π, ? 4π 即 ? ? ,…………………2 分 2 ? 2

π 1 π f ( x) ? 2sin( x ? ? ), f (0) ? 2sin ? ? 1, 由 | ? | < ,?? ? . 2 2 6 π? ?1 f ( x ) ? 2sin ? x ? ? ……………………………………………………………………4 分 6? ?2 1 π 1 π π 2π f ( x0 ) ? 2sin( x0 ? ) ? 2, 所以 x0 ? ? 2kπ+ , x0 ? 4kπ+ (k ?Z), 2 6 2 6 2 3
又?
x0 是最小的正数,? x0 ?

2π ; ………………………………………………… 6 分 3

π 1 2 2 , (2)?? ? (0, ), cos ? ? ,? sin ? ? 2 3 3

7 4 2 ? cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , ………………………………9 分 9 9 π 4 2 7 4 6 7 f (4? ) ? 2sin(2? ? ) ? 3 sin 2? ? cos 2? ? 3 ? ? ? ? , …………………12 分 6 9 9 9 9

17、解: (Ⅰ)∵3 名工人选择的项目均为 A 类工程的概率 均为 B 类工程的概率 均为 C 类工程的概率

1 P ? ( )3 ,…………(1 分) 1 2
………………………(2 分) ………………………(3 分)

1 P2 ? ( )3 , 3 1 3 P3 ? ( ) , 6

∴他们选择的项目所属工程类别相同的概率 P ? P ? P2 ? P3 ? 1 (Ⅱ)设三名工人中选择项目属于 A 类工程的人数为? ,则? ~B(3,

1 . ……(5 分) 6

1 ) , ? ? 3 ?? . 2

…………………(7 分)

?1? 1 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ? ? ? ? , ?2? 8

3

…………………(8 分)

?1? 3 P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? C32 ? ? ? , ?2? 8 ?1? 3 P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? C ? ? ? , ?2? 8
1 3 3

3

…………………(9 分)

…………………(10 分)

?1? 1 P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? ? ? ? . ?2? 8

3

…………………(11 分)

18、解析: (1) PA ? PE, OA ? OE ? PO ? AE ? ? ? (1) ……1 分 取 BC 的中点 F ,连 OF , PF ,? OF ∥ AB,? OF ? BC 因为 PB ? PC ? BC ? PF , 所以 BC ? 面 POF ………3 分 从而 BC ? PO ? ? ? (2) ………………………………5 分 由(1) (2)可得 PO ? 面 ABCE ……………………6 分 (2)作 OG ∥ BC 交 AB 于 G , OG ? OF 如图,建立直角坐 ???? ??? ??? ? ? 标系 {OG, OF , OP},

A(1, ?1,0), B(1,3,0), C(?1,3,0), P(0,0 2) ??? ? ??? ? ??? ? AC ? (?2,4,0), AP ? (?1,1, 2), AB ? (0,4,0) …………………
…………………………8 分 ? 设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) ? ??? ? ?n ? AP ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? n ? 2,0,1 ………………………………………………10 分 ? ? ? ??? ?n ? AB ? 4 y ? 0 ?

?

?

? ???? 30 AC 与面 PAB 所成角 ? 的正弦值 sin ? ?| cos < n, AC |= …………………………12 分 15

19、解: (I)?点(an , an?1 )在直线y ? x ? 2 上。

? an?1 ? an ? 2,即an?1 ? an ? 2 ………………2 分 ?数列{an } 是以 3 为首项,以 2 为公差的等差数, ………………3 分 ? an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ………………5 分 (II)? bn ? an ? 3n ,?bn ? (2n ? 1) ? 3n ?Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2n ? 1) ? 3n ① …………6 分 ?3Tn ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 ② …………7 分
由①—②得

?2Tn ? 3 ? 3 ? 2(32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1

………… ……9 分

? 9 ? 2?

9(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 1? 3
………………11 分
2 2

? ?2n ? 3n?1

?Tn ? n ? 3n?1

………………12 分

12、解: (I)设 C:

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 设 c ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 , 2 a b

由条件知 2b ? ∴ a ? 1, b ? c ?

2,
2 , 2
2

c 2 ? , a 2
…………3 分

故 C 的方程为: y ?

x2 ? 1. 1 2

…………5 分

(II)设 l 与椭圆 C 交点为 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) , 由?

? y ? kx ? m 得 (k 2 ? 2) x 2 ? 2kmx? (m2 ?1) ? 0 2 2 ?2 x ? y ? 1
2 2 2

得(k +2)x +2kmx+(m -1)=0

? ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 2)(m2 ?1) ? 4(k 2 ? 2m2 ? 2) ? 0 (*)
x1 ? x2 ? ? 2km m2 ? 1 , x1 x2 ? 2 k2 ? 2 k ?2
…………8 分

∵ AP ? 3PB ∴ ? x1 ? 3x2

??? ?

??? ?

∴?

? x1 ? x2 ? ?2 x2 2 ? x1 x2 ? ?3x2
? 2km 2 m2 ?1 ) ?4 2 ?0 k2 ? 2 k ?2
…………10 分

消去 x 2 ,得 3( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 0 ,∴ (
2

整理得 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0
2 2 2 2

m2 ?

2 ? 2m 2 1 1 2 时,上式不成立; m 2 ? 时, k ? , 4m 2 ? 1 4 4
2 2

由(*)式得 k ? 2m ? 2

1 1 2 ? 2m 2 ? 0 ,∴ ? 1 ? m ? ? 或 ? m ? 1 因k ? 0 ∴k ? 2 2 2 4m ? 1
2

1 1 …………13 分 2 2 21、解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??) 1 f ?( x) ? ln x ? 1, 令f ?( x) ? 0, 得 : x ? , ………………1 分 e 当x ? (0, ??)时, f ?( x), f ( x) 的变化的情况如下: 1 1 1 (0, ) ( , ??) x e e e
即所求 m 的取值范围为 ( ?1,? ) ? ( ,1)

f ?( x) f ( x)



0 极小值

+ ………………3 分

所以, f ( x)在(0, ??)最小值是f ( ) ? ? .

1 e

1 e

………………4 分

(II)当 x ? (0, ), f ( x) 单调递减且 f ( x ) 的取 值范围是 (? , 0) ;

1 e 1 1 当 x ? ( , ?? )时, f ( x ) 单调递增且 f ( x)的取值范围是(? , ??) e e

1 e

下面讨论 f ( x) ? m ? 0 的解; 所以,当 m ? ? 时,原方程无解;

1 e

………………6 分

当 m ? ? 或m ? 0 时,原方程有唯一解;

1 e

1 ? m ? 0 时,原方程有两解 ………………8 分 e 设函数g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x)(k ? 0) (III)原不等式可化为: ln(a)? xf [(a ?xb? ? ) ] ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2 则g ( x) ? x ln x ? (k ? x) f ( k ? )(0 ? ) k a
当?

x g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln( k ? x) ? 1 ? ln k?x k 令 g ?( x) ? 0, 解得 : 0 ? x ? ………………10 分 x x 2x ? k 令g ?( x) ? 0, 则 ln ? 0,2 ? ? 1,? ? 0, k?x k?x k k?x k ?函数k ( x)在(0, ) 上单调递减,在 ( , k ) 上单调递增, g 2 解得 : ? x ? k , 2 2 k ? g ( x)在(0, k )上的最小值为g ( ) ………………12 分 2 k ?当x ? (0, k )时, 总有g ( x) ? g ( ), 2 k k k 即 : f ( x) ? f (k ? x) ? f ( ) ? f (k ? ) ? 2 f ( ) 2 2 2 k ? k ln ? k ln k ? k ln 2 ? f (k ) ? k ln 2????13分 2
令 x ? a, k ? x ? b, 则有 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2. …………14 分
[来源:高考试题库 GKSTK]


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