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上海市2015高三五校联考试卷数学理


2014 学年第一学期五校联合教学质量调研试卷
高三数学(理科)
考生注意: 1、本试卷考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分。 2、答题前,考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。 3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题: (本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分,考生应在答题纸相应编号 的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. ) 1.已知 P ( ?3, 4) 为角 ? 终边上的一点,则 cos(? ? ? ) ? 2.已知向量 ,若 ,则 =________. .

3.已知集合 M ? {x y ? lg( 2 x ? x 2 ), x ? R} , N ? ? x ? x ? a? ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是 . .

4.已知幂函数 f ( x ) 过点 (2, 2) ,则 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x ) ?
n ??

5.若无穷等比数列 {an } 满足: lim(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 4 ,则首项 a1 的取值范围 为 .

6.若直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 平分圆 x 2 ? y2 ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 的面积,则直线 l 的倾 斜角为 . (用反三角函数值表示)

7 . 已 知 偶 函 数 f ? x ? 在 ? ??,0? 上 满 足 : 当 x1, x2 ?? ??,0? 且 x1 ? x2 时 , 总 有
x1 ? x2 ?0 , 则 不 等 式 f f ( x1 ) ? f ( x2 )

?

x?1? ? f ? ?x的 解 集
A y
2 1





8.如图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0,

?
2

?? ?? )
O
?2

的部分图象,其中 AB ? 5 ,那么 f ? ?1? ? ___________.

x

B (第 8 题图)

1

? ? x 2 ? x, x ? 1 3 ? 9. 已知函数 f ( x ) ? ?log x, x ? 1 ,若对任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? m 2 ? m 恒 1 4 ? ? 3

成立,则实数 m 的取值范围是 . 10. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) , 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则 OM ? . .

11. 在正 ?ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ? 数列,满足 f ( x8 ) ? f ( x9 ) ? f ( x10 ) ? f ( x11 ) ? 0 ,则 x2014 的值为 13 .过点 ( 2 ? .

12.已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,数列 { xn } 是一个公差为 2 的等差

1 , 0)( n? N* ) 且方向向量为 ( 2, 1)的直线交双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 于 n
n ??

An , Bn 两点,记原点为 O , ?OAn Bn 的面积为 Sn ,则 lim S n ? _______.
14. 设 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a2 , a4 , a6 成

公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________.

二、选择题: (本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分,每题有且只有一个正确答 案,考生应在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律 得零分.) 15. 已知命题 ? : x ? 1 ? 2 , 命题 ? : A.充分不必要条件 C.充分必要条件
x?3 ?0, 则命题 ? 是命题 ? 成立的 ( x ?1



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.已知直线 l1 : y ? x sin ? (? ? R) 和直线 l 2 : y ? 2 x ? c ,则下述关于直线 l1 , l 2 关 系的判断正确的是( A. 通过平移可以重合 C. 可能与 x 轴围成等腰直角三角形 ) B. 不可能垂直 D. 通过绕 l1 上某点旋转可以重合

17.某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数 除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班 人数 x 之间的函数关系用取整函数 y ? [ x ] (其中 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数) 可以表示为( )
2

? x ? 5? A. y ? ? ? ? 10 ?
18. 设 a, b ? R

? x ? 4? B. y ? ? ? ? 10 ?
,定义运算“ ?

? x ? 3? C. y ? ? ? ? 10 ?
”和“ ?

?x? D. y ? ? ? ? 10 ?

?a, a ? b ” 如 下 : a?b? ? , ? b, a ? b

? b, a ? b .若正数 a , b, c, d 满足 ab ? 4, c ? d ? 4 ,则( a?b? ? ?a, a ? b
A. a ? b ? 2,



c?d ? 2

B. a ? b ? 2,

c?d ? 2

C. a ? b ? 2, c ? d ? 2

D. a ? b ? 2, c ? d ? 2

三、解答题: (本大题满分 74 分,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 .) 19.(本题满分 12 分)第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 向量 m ? ? cos ? A ? B ? ,sin ? A ? B ? ? ,
?
? ? 3 n ? ? cos B, ? sin B ? ,且 m ? n ? ? . 5

?

(1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 4 2, b ? 5 ,求角 B 的大小及向量 在 方向上的投影.

20.(本题满分 14 分)第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 E 长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点, 且椭圆焦点与抛物线焦点 的距离是 1. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若 A 、 B 是椭圆 E 的左右端点, O 为原点, P 是椭圆 E 上异于 A 、 B 的任 意一点,直线 AP 、 BP 分别交 y 轴于 M 、 N ,问 OM ? ON 是否为定值,说明 理由.

3

21.(本题满分 14 分)第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 等差数列 ?? n ? 的前 n 项和 S n ?

?
36

n 2 ,数列 ??n ? 满足 ? n ?

? 7 ? 2n ? ? .同学甲在研
36

究性学习中发现以下六个等式均成立: ① sin2 ?1 ? cos2 ?1 ? sin ?1 cos ?1 ? m ; ② sin 2 ?2 ? cos2 ?2 ? sin ?2 cos ?2 ? m ; ③ sin2 ?3 ? cos2 ?3 ? sin ?3 cos ?3 ? m ;④ sin 2 ?4 ? cos2 ?4 ? sin ?4 cos ?4 ? m ; ⑤ sin2 ?5 ? cos2 ?5 ? sin ?5 cos ?5 ? m ;⑥ sin 2 ?6 ? cos2 ?6 ? sin ?6 cos ?6 ? m . (1)求数列 ?? n ? 的通项公式,并从上述六个等式中选择一个,求实数 m 的值;
(2)根据(1)计算结果,将同学甲的发现推广为关于任意角 ? 的三角恒等式,并证明你的 结论.

22.(本题满分 16 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 若函数 f ( x) 在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x) 为“局部奇 函数” . (1)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? )( x ? R, 0 ? ? ? 数”?并说明理由; (2)设 f (x) ?2 x ?m 是定义在 ??1,1? 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围; (3)若 f ( x) ? 4x ? m2x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的 取值范围.
[来源:

?
2

) ,试判断 f ( x) 是否为“局部奇函

4

23.(本题满分 18 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分. 由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项, 将每个图形的层数增加 可得到这四个数列的后继项. 按图中多边形的边数依次称这些数列为 “三角形数 列” 、 “四边形数列”…,将构图边数增加到 n 可得到“ n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P(n, r ) .

1,3,6,10

1,4,9,16

1,5,12,22

1,6,15,28

(1)求使得 P(3, r ) ? 36 的最小 r 的取值; (2)试推导 P(n, r ) 关于 n 、 r 的解析式; (3) 是否存在这样的 “ n 边形数列” , 它的任意连续两项的和均为完全平方数. 若 存在,指出所有满足条件的数列,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

5

2014 学年第一学期五校联合教学质量调研试卷
高三数学(理科)答案
一、填空题 1、
3 5

2、

3、 ? 2, ?? ?
1 7、 ( , ?? ) 2 15 11、 2

4、 x 2 ( x ? 0) 8、 2 12、 4009

5、 (0,4) ? (4,8)

6、 ? ? arctan 2

1 9、 ( ?? , ? ] ? [1, ?? ) 10、 2 3 4 8 13、 14、 3 3 3

二、选择题 15、 B 19、 (1)由 又 0 ? A ? ? ,则 sin A ? 0 ? sin A ? (2)由
4 5

16、 D

17、 C

18、 B …3 分 …6 分 …7 分 …8 分 …10 分 …12 分

三、简答题

a b b 2 ? ? sin B ? sin A ? sin A sin B a 2

又a ? b ? A ? B ? B ?

?
4

3 由余弦定理,得 (4 2) 2 ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? c ? 1 或 ?7 (舍) 5

则 BA 在 BC 方向上的投影为

?? ?

?? ?

20、 (1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且 a ? 3 , 又 a ? c ? 1 ? c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 5 x2 y 2 ? 1. 故椭圆 E 的标准方程为 ? 9 5
2 2 (2)设 P( x0 , y0 ) ,则 5x0 ? 9 y0 ? 45 ,且 A(?3,0), B(3,0)

…2 分 …6 分

又直线 PA : y ? 令 x ? 0 ,得:

y0 y0 ( x ? 3) ,直线 PB : y ? ( x ? 3) x0 ? 3 x0 ? 3

…10 分

6

故 OM ? ON ?

2 2 ?9 y0 5 x0 ? 45 ? ? 5 为定值. 2 2 x0 ? 9 x0 ? 9

…14 分 …1 分

21、 (1)当 n ? 1 时, ?1 ?

?
36

当 n ? 2 时, ? n ? Sn ? Sn ?1 ?

?
36

n2 ?

?
36

? n ? 1?

2

?

?
18

n?

?
36

…3 分

∵当 n ? 1 时, ?1 适合此式 ∴数列 ?? n ? 的通项公式为 ? n ? 选择②,计算如下: ? 2 ?

?
18

n?

?
36

…5 分 …6 分

?
12

m ? sin2 ?2 ? cos2 ?2 ? sin ?2 cos ?2 = sin 2
3 1 ? = 1 ? sin = 4 2 6

?
12

? cos 2

?
12

? sin

?
12

cos

?
12

…8 分
(2n ? 1)? (7 ? 2n)? ? ? ? , 36 36 6

(2)由(1)知, ? n ? ? n ?

?? ? ?? ? 3 因此推广的三角恒等式为 sin 2 ? ? cos 2 ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ? ?6 ? ?6 ? 4 ?? ? ?? ? 证明: sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? ? ? ?6 ? ?6 ?

…10 分

? ? ? ? ? ? ? ? = sin ? ? ? cos cos? ? sin sin ? ? ? sin ? ? cos cos ? ? sin sin ? ? 6 6 6 6 ? ? ? ?
2

2

3 1 3 3 1 cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? = sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 4 4 2 2 2
3 3 3 = cos 2 ? ? sin 2 ? = …14 分 4 4 4 22、 (1) f ( x) 为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f (? x) ? f ( x) ? 0 有解.

即 sin(? x ? ? ) ? sin( x ? ? ) ? 2cos x sin ? ? 0 有解 因0 ?? ?

?2 分

?
2

? sin ? ? 0 ,得 cos x ? 0 ? x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

. ? f ( x) 为“局部奇函数” (2)存在实数 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,即 2? x ? 2x ? 2m ? 0 在 [?1,1] 有解
1 1 1 令 t ? 2 x , x ? [?1,1] ? t ? [ , 2] ,则 ?2m ? t ? 在 t ? [ , 2] 上有解 2 2 t
1 1 ? 5? 因为 g (t ) ? t ? 在 [ ,1] 上递减,在[1,2]上递增,? g (t ) ? ? 2, ? 2 t ? 2?
7

?4 分

?7 分

? 5? ? 5 ? ??2m ? ? 2, ? ,故 m ? ? ? , ?1? ? 2? ? 4 ?

?10 分

( 3 )存在实数 x 满足 f (? x) ? f ( x) ? 0,即 4? x ? 4x ? 2m (2? x ? 2x )? 2 在 m2 ? 6? 0
x ? R 有解,令 t ? 2? x ? 2 x , x ? R ? t ? [2, ??) ,且 4? x ? 4 x ? t 2 ? 2

从而 g(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ? 0 (*)在 t ? [2, ?? ) 上有解

?12 分

1? . 若 g(2) ? 0 ,即 1 ? 3 ? m ? 1 ? 3 时,则方程(*)在 t ? [2, ?? ) 上有解

2? . 若 g(2) ? 0 ,即 m ? 1 ? 3 或 m ? 1 ? 3 时,结合图像,方程(*)有解,则

? ? ? 4m 2 ? 4(2m 2 ? 8) ? 0 ? m?2 ? 1? 3 ? m ? 2 2 ? ? g(2) ? 0 ?

综上,所求 m 的取值范围为 [1 ? 3, 2 2] . 23、 (1) 由题意得
r ( r ? 1) ? 36 , 所以,最小的 r ? 9 . 2

?16 分 …3 分 …5 分

(2)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 ar ,则

P(n, r ) ? a1 ? a2 ? ??? ? ar
从图中可以得出:后一层的点在 n ? 2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则 ar ?1 ? ar ? n ? 2 , a1 ? 1 得 {ar } 是首项为 1 公差为 n ? 2 的等差数列
(n ? 2) r (r ? 1) r 则 P(n, r ) ? [2 ? (r ? 1)(n ? 2)] .(或 r ? 等) 2 2

… 12 分 …14 分 …15 分

(3) P(n, r ? 1) ? P(n, r ) ? (n ? 2)r 2 ? 2r ?1 显然 n ? 3 满足题意,

而结论要对于任意的正整数 r 都成立,则 (n ? 2)r 2 ? 2r ? 1的判别式必须为 零 所以 4 ? 4(n ? 2) ? 0 ,得 n ? 3 故满足题意的数列为“三角形数列”. …18 分

8


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