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数学


年级:初三&高一 科目:数学 主题:命题与逻辑连接词 一.命题的四种形式 1.命题的概念:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的 语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 【说明】 ”,“2 不一定大于 3”. (1)不是任何语句都是命题,不能确定真假的语句不是命题,如“ (2)只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句,疑问句,感叹句都不是命题,例如:“起 立”、“π 是有理数吗?”、“今天天气真好!”等. (3) 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真,要么是假,不能既真又 假,模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性,或者不具有某种属性,这类似于集 合中元素的确定性. 2.命题的结构:命题可以改写成“若 ,则 ”的形式,或“如果 ,那么 ”的形式.其中 是命 题的条件, 是命题的结论. 【说明】 (1)一般地,命题“若 p 则 q”中的 p 为命题的条件 q 为命题的结论. (2)有些问题中需要明确指出条件 p 和 q 各是什么,因此需要将命题改写为“若 p 则 q”的形式. 3.四种命题 原命题:“若 ,则 ”; 逆命题:“若 ,则 ”;实质是将原命题的条件和结论互相交换位置; ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否 否命题:“若非 ,则非 ”,或“若 ,则 定; ”;实质是将原命题的条件和结论两者分别否 逆否命题:“若非 ,则非 ”,或“若 ,则 定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 【说明】 对于一般的数学命题,要先将其改写为“若 ,则 ”的形式,然后才方便写出其他形式 的命题. 4.四种命题之间的关系 (1)四种命题之间的构成关系 (2)四种命题之间的真值关系 【说明】 (1)互为逆否命题的两个命题同真同假; (2)互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系. 5.反证法: (1)反证法是假设结论的否定成立,利用已知条件,经过推理论证得出矛盾,判定结论的否定 错误,从而得出要证的结论正确. (2)反证法的步骤: ①假设结论不成立. ②从假设出发推理论证得到矛盾 ③判定假设错误,肯定结论正确. (3)互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一,因此在直接证明原命题 有困难时,可以考虑证明与它等价的逆否命题. 【说明】反证法是间接证明的重要方法之一. 6.方法总结: (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接 判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 7. 8. 【例题】 例 1.对满足 A? B 的非空集合 A、B,有下列四个命题: ①“若任取 x∈A,则 x∈B”是必然事件; ②“若 x? A,则 x∈B”是不可能事件; ③“若任取 x∈B,则 x∈A”是随机事件; ④“若 x? B,则 x? A”是必然事件. 其中正确命题的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】先根据非空集合 A,B 满足 A? B,包含两种情况:A? B 或 A=B,结合子集的概念和 事件的概念,从而对四个选项时行判断. 解:非空集合 A,B 满足 A? B,包含两种情况:A? B 或 A=B.四个命题: ①:对任意的 x∈A,由于集合 A 是

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