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浙江省永康市2016年5月高考适应性考试数学文试卷


2016 年永康市高考适应性考试 数学(文科)试题卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按 规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V= 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 棱台的体积公式 V=

/>4 3 πR 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V=

1 h(S1+ S1S2 +S2) 3

其中 S1、S2 表示棱台的上、下底面积,h 表示棱 台的高.

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高.

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5} ,则 A ? (CU B) =( ▲ ) A. {3} B. {1,2} C. {1, 2, 4,5} D. {1,3,5} ( ▲ )

2.已知首项是 1 的等比数列 ?an ? , a2 a6 =64,则 A.4 B.2 C.-4

a5 的值是 a3
D.-2

3.条件甲:“ a ? 1 ”是条件乙:“ a ? A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知函数 f ( x) ? ? A. [0,1]
2

a ”的

( ▲ )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? log5 (1 ? x) ??( x ? 2) ? 2
B. [1, 2]

(?4 ? x ? 1) (1 ? x ? 2)

,则 f ( x ) 的值域为 D. [0, ??)

( ▲ )

C. [0, 2]

5. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m, n 是两条不同的直线, 则下列命题不正确 的是 ( ▲ ) ... A.若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? C.若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ?
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? x ? 0, ? y ? 0, ? 6. 已知实数 x, y 满足不等式组 ? ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 x ? 2 y ? 6, ? ? ?3 x ? y ? 12
A. 7 B. 42 5 C. 8 D. 9

( ▲ )

7. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 a2 b2

的直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 2 则 e 为( ▲ ) A. 5 ? 2 2 B. 1 ? 2 2 C. 4 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

8.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D,如果存在非零常数 T ,对于任意 x ∈D,都有

f ( x ? T ) ? T ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 是“似周期函数”,非零常数 T 为函数 y ? f ( x)
的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ①函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”; ②函数 f ( x) ? 2 ? x 是“似周期函数”; ③若函数 f ( x) ? cos ? x 是似周期函数,则 g ( x) ? sin ? x 也是似周期函数; ④若2是函数 y ? f ( x) 的一个似周期,则4一定也是 y ? f ( x) 的一个似周期. 其中是真命题的序号是(写出所有满足条件的命题序号) ( ▲ )

A.③④

B.①④

C.②③

D. ②④

第 Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9. [(?2) ]3 ? (?1) ?
6 0 1



,3

log3 3 4 ? log3 3 2

?





10.已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 ,直线 l 2 : x ? y ? 3 ? 0 ,若直线 l1 的倾斜角为 则 a = ▲ ,若 l1 // l 2 ,则两平行直线间的距离为 ▲ .

? , 3

11.已知四棱锥 P ? ABCD ,它的底面是边长为 2 的正方形,其俯视图如图所示,侧视图为 直角三角形,则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数有 ▲ 个,该四棱锥的体积为 ▲ .

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12.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(x ? R)? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的部分图象 2? ? ? ?? , ?, ? 6 3?

如图所示,其最小正周期为



;如果 x1 , x 2 ? ? ?

且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) =___ ▲ __. 1 13.如图,在梯形 ABCD 中,DA=AB=BC= CD=2.点 P 在△BCD 2 → → 内部(包含边界)中运动,则AP·BD的取值范围是 14.设 x, y, z 是正实数,满足 2 y ? z ? x ,则 ▲ . ▲ .

y z 的最小值为 ? z x ? 2y

15.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 P 是正方体棱上一点(不包括棱的端点) , 且 PA ? PC1 ? 5 ,则满足条件的点 P 的个数为 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 a sin A sinB? b cos A ?
2

2a .

b 的值; a (Ⅱ)若 c ? 2 ,且△ABC 的面积为 2 2,求边长 a .
(Ⅰ)求

17. (本题满分 15 分) 多面体 ABCDEF 中, 底面 ABCD 为正方形, BE//DF, BE=DF, BE ? 平面 ABCD 且 BE=2AB=2,点 P 是线段 BE 上的一点,且 BP= ? . (Ⅰ)当 ? ?

F E

1 时,求证: BF ? 平面 PAC ; 2
D A

P C B

(Ⅱ)当直线 BF 与平面 PAC 所成角的正切值为 2 2时, 求 ? 的值.

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18. (本题满分 15 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70, 且 a2 , a7 , a 22 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; 1 1 3 (Ⅱ)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< . Sn 6 8

19. (本小题满分 15 分)已知抛物线 C:x2=2py(p>0), 圆 E:x2+(y+1)2=1, 若直线 L 与抛物线 C 和圆 E 分别 相切于点 A,B(A,B 不重合) . (Ⅰ)当 p=1 时,求直线 L 的方程; (Ⅱ)点 F 是抛物线 C 的焦点,若对于任意的 p>0, 记△ABF 的面积为 S,求 S 的最小值. p+1

y A

F

x E B

20. (本题满分 15 分)已知函数 f(x)=x2-|ax-2|,x∈[-1,2]. (Ⅰ)当 a=6 时,求函数 f(x)的值域; (Ⅱ)设 0<a≤4,求函数 f(x)的最小值 g(a).

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2016 年永康市高考适应性考试
数学(文科)参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 B 2 A 3 C 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D

二、 填空题(本大题共 7 小题, 第 9 至 12 题每小题 6 分, 第 13 至 15 题每题 4 分, 共 36 分. ) 9、 3 , 2 10、 ? 3

2 2
3 2
15、12

11、3 13、 [?6, 6]

4 3

12、

?
3 4

14、

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解 (Ⅰ)? a sin A sinB? b cos A ?
2

2a ,? 2R sin 2 A sin B ? 2R sin B cos2 A ? 2 2R sin A ,
(7 分)

即 sin B ?

b 2 sin A ,? ? 2 a

(Ⅱ)(2)? S?ABC ?

4 1 2 2 ab sin C ? a sin C ? 2 2 ,? sin C ? 2 a 2 2

(1)

3a 2 ? 4 又? c ? a ? b ? 2ab cos C ,得 cos C ? 2 2a 2
2 2 2

(2)

4 2 2 由(1) (2)得 a ? 24a ? 144 ? 0 ,? a ? 12, 即 a ? 2 3

(14 分)

17. 解法一: (Ⅰ)连接 BD 交 AC 于 M,连接 PM 因为 BE ? 平面 ABCD,BE ? AC 又? 四边形 ABCD 为正方形 ? BD ? AC, ? AC ? 平面 BDFE ? AC ? BF

F E

P D A M
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N

C

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B

又?

BP BD 2 ,? PM ? BF ? ? BM DF 2
----7 分

? BF ? 平面 PAC

(2) ? AC ? 平面 BDFE, ? 平面 PAC ? 平面 BDFE 所以 BF 在平面 PAC 内的射影为 PM , 故直线 BF 与平面 PAC 所成角即 BF 与 PM 所成的角,记为 ? , 在平面 BDFE 中,令 PM ? BF ? N ,则 ?BNM ? ? , 再令 ?BPN ? ? , ?PBN ? ? , 则由题意得: tan? ? 2 2 , tan ? ?

EF 2 , ? BE 2

tan? ? tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? 2 ? , 1 ? tan? tan ? 2

或 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? ?

tan ? ? tan ? 5 2 ? 1 ? tan ? tan ? 2

2 BM 2 1 ? 2 ? 而 tan ? ? ,解得: ? ? 1 或 ? ? .----15 分 BP ? 2 5
解法二:(1)以 D 为坐标原点,DA,DC,DF 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),F(0,0,2),P(1,1,

??? ? ???? ??? ? 1 BF ? (?1, ?1, 2), AC ? (?1,1, 0), AP ? (0,1, ) 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? BF ?AC ? 0, BF ?AP ? 0

1 ) 2

? AC ? BF, ? AP ? BF,

? BF ? 平面 PAC

----7 分

(2) ? A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),F(0,0,2),P(1,1, ? ) 设平面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

??? ? ??? ? ??? ? AC ? (?1,1,0), AP ? (0,1, ? ) , BF ? (?1, ?1, 2)

? ??? ? ? ??? ? ?? x ? y ? 0 ,取 z ? 1 , ?n?AC ? 0, n?AP ? 0 ,? ? ?y ? ?z ? 0
又? 直线 BF 与平面 PAC 所成角的正切值为 2 2 时

则 n ? (??, ??,1)

?

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设直线 BF 与平面 PAC 所成角的为 ? , ,则 tan ? ? 2 2

??? ? ? BF ?n 2? ? 2 2 2 2 2 ? ,即 ??? ? sin ? ? ? ? ? 2 3 3 BF n 2? ? 1 ? 6
解得: ? ? 1 或 ? ?

1 . 5
n?n-1? d.
2

----15 分

18、解 (1)因为数列{an}是等差数列, 所以 an=a1+(n-1)d,Sn=na1+
?S5=70, ? ?a =a2a22, ?
2 7

依题意,有?

?5a1+10d=70, ? 即? 2 ??a1+6d? =?a1+d??a1+21d?, ?
*

解得 a1=6,d=4.所以数列{an}的通项公式为 an=4n+2(n∈N ).--7 分 (2)证明:由(1)可得 Sn=2n +4n, 1 所以 =
2

Sn

1 ? 1 1 1? 1 = = ? - ?, n n + 2? 2n +4n 2n?n+2? 4?
2

1 1 1 1 1 所以 Tn= + + +…+ +

S1 S2 S3

Sn-1 Sn

1? 1?1 1? 1?1 1? 1? = ?1- ?+ ? - ?+ ? - ?+…+ 3? 4?2 4? 4?3 5? 4? 1 ? 1?1 1 ? 1? 1 - ? ?+ ? - ? 4?n-1 n+1? 4?n n+2? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? - + ?= - ? ?, = ?1+ - 2 n+1 n+2? 8 4?n+1 n+2? 4?
1 ? 3 1? 1 3 + 因为 Tn- =- ? <0,所以 Tn< ,---------12 分 ? n + 1 n + 2 8 4? 8 ? 1 ? 1? 1 1 1 - 因为 Tn+1-Tn= ? >0, 所以数列{Tn}是递增数列. 所以 Tn≥T1= , 所以 ≤Tn ? 4?n+1 n+3? 6 6 3 < .----------15 分 8 19. 解: (1)当 p=1 时,抛物线 x ? 2 y ,
2

显然直线 L 斜率存在 ,

设直线 L 方程:y=kx+b,即 kx-y+b=0 由题得,

1? b k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? (1 ? b) 2

(1)

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联立方程: ?

1 ? ? y ? x2 ? x 2 ? 2kx ? 2b ? 0 2 ? ? y ? kx ? b

由 ? ? 0, 得 k 2 ? 2b ? 0

(2)

由(1) , (2) k ? ?2 2 , b ? ?4 故直线 L 的方程为: y ? ?2 2 x ? 4 …7 分

1 2 ? x ?y ? (2)联立方程: ? ? x 2 ? 2 pkx ? 2 pb ? 0 (?) 2p ? ? y ? kx ? b
由 ? ? 0, 得 pk 2 ? 2b ? 0 (3)

?b ? ?

pk 2 pk 2 ), ,代入 (?) 式,得 x ? pk ,故点 A ( pk, 2 2

由(1) (3)得 b ? ?

4( p ? 1) 2( p ? 1) 2( p ? 1) 2 ,k ? ,故,A ( pk, ) 2 p p p
p2k 2 ? ( 2( p ? 1) ? 1) 2 ? 1 ? 2 p p ? 1 ( p ? 1) p

? AB ?

AE ? 1 ?

2

?

点 F 到直线 L 的距离 d=

p p 2 ? k 2 2 1? k2

=

p p?2 ? 1? k2 ? 2 2

?S ?
S

1 1 AB ? d ? ? 2 2 2
?

p ? 1( p ? 1) p ? 2 1 ? = ? 2 2 p

p ? 1( p ? 1)(P ? 2) p

?

P ?1

1 ( P ? 1)(P ? 2) 1 2 1 ? ( P ? ? 3) ? ( 2 2 ? 3) 2 P 2 P 2
S p?1

当且仅当

p ? 2 时,

有最小值

1 ( 2 2 ? 3) . 2

20.解: (Ⅰ)当 a=6 时,

1 ? 2 x ? 6 x ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? 11, ? 1 ? x ? ? ? 3 f ( x) ? x 2 ? | 6 x ? 2 |? ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? 7, ? x ? 2 ? 3 ?
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当?1? x ? 当

1 1 时, f ( x ) ? [ ?7, ) ; 3 9

1 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? [?6, ] , 9 3

1 函数 f ( x ) 的值域为 [?7, ] .----------------------7 分 9

? 2 ? x ? ax ? 2 ? ( x ? ? (Ⅱ) f ( x ) ? x 2 ? | ax ? 2 |? ? ? x 2 ? ax ? 2 ? ( x ? ? ?
(1)当 0 ? a ? 1 时,
2 1 a ? 2 , ? ? ? ? 0, a 2 2

a 2 a2 2 ) ? ? 2, x ? 2 4 a 2 a 2 a 2 ) ? ? 2, x ? 2 4 a

y

此时当 x ? [?1,2] 时, f ( x ) ? x 2 ? ax ? 2
a a 在 [?1,? ] 上单调递减,在 ( ? ,2] 上单调递增, 2 2
a a2 ? 2 ;--------9 分 所以 g ( a ) ? f ( ? ) ? ? 2 4
x -1 O
a a x? 2 2

22
a

(2)当 1 ? a ? 2 时,
a 2

2 a a 1 ? ,?1? ? ? ? a 2 2 2

x??

f ( x ) 在 [?1,? ] 上单调递减,在 (? ,2] 上单调递增,
a a2 ? 2 ;-----11 分 所以 g ( a ) ? f ( ? ) ? ? 2 4

a 2

y

(3)当 2 ? a ? 4 时,

2 a a ? , ? 2 ? ? ? ?1 a 2 2
-1 O
x?? 2 a

x 2

2 2 a f ( x ) 在 [?1, ] 上单调递增,在 ( , ] 上单调递减, a a 2 a a 在 ( ,2] 上单调递增,所以 g(a ) ? min{ f (?1), f ( )} , 2 2
a a2 1 f ( ?1) ? f ( ) ? ( ? a ? 1) ? ( ? ? 2) ? ( a ? 2) 2 ? 4 ? 0 , 2 4 4

a a x? 2 2

y

a 所以 f (?1) ? f ( ) ,故 g(a ) ? f (?1) ? ?a ? 1 ; 2
? a2 ?? ? 2, 0 ? a ? 2 综上所述: g (a ) ? ? 4 .-----15 分 ? ? a ? 1, 2 ? a ? 4 ?
-1 O
x?? a 2

x
2 a x?

2
a 2

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