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数学选修一1.2.1


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充分条件与必要条件

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【读一读学习要求,目标更明确】 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件的意义. 2.会判断某些条件之间的关系. 【看一看学法指导,学习更灵活】 从命题的真假、推出关系、集合间的包含关系多角度理解 充分条件、必要条件,使思维活动更加严谨.

填一填·知识要点、记下疑难点

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充分条件与必要条件
命题真假 推出关系 条件关系 “若 p,则 q”是真命 题 P “若 p, q”是假命题 则 P q

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? q

p 是 q 的 充分 条件 q 是 p 的 必要 条件

p 不是 q 的充分 条件 q 不是 p 的 必要 条件

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问题探究一 问题 1

充分条件、必要条件

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判断下列两个命题的真假,并思考命题(1)中条件和

结论之间的关系: (1)若 x>a2+b2,则 x>2ab; (2)若 ab=0,则 a=0.

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答案

(1)为真命题,(2)为假命题.

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命题(1)中,有 x>a2+b2,必有 x>2ab;(2)中 ab=0,不一定 a=0,可能 b=0. 结论:一般地,“若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推 理可以得出 q.这时,我们就说,由 p 可推出 q,记作 p?q, 并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.

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问题 2 结合充分条件、必要条件的定义,说说你对充分条 件与必要条件的理解.
答案 充分条件是使某一结论成立应该具备的条件, 当具备 此条件就可得此结论. 或要使此结论成立, 只要具备此条件 就足够了. 必要条件可从命题等价性理解:p?q 等价于綈 q?綈 p,q 是 p 的必要条件意味着若 q 不成立,则 p 不成立,即 q 是 p 成立的必不可少的条件.

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问题 3 判断命题“若 x=1,则 x2-4x+3=0”中条件和 结论的关系,并请你从集合的角度来解释.
答案 “x=1”是“x2-4x+3=0”的充分条件,“x2-4x

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+3=0”是“x=1”的必要条件. 两个条件“x=1”和“x2-4x+3=0”都是变量的取值,和 集合有关.将“x=1”对应集合记作 A,“x2-4x+3=0” 对应集合记作 B.显然 A ? B.

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问题 4 结合以上分析,请你归纳判断充分条件,必要条件 有哪些方法? 答案 一般地, 关于充分、 必要条件的判断主要有以下几种
方法: (1)定义法:直接利用定义进行判断. (2)等价法:“p?q”表示 p 等价于 q,等价命题可以进行转 换,当我们要证明 p 成立时,就可以去证明 q 成立.这里要 注意“原命题?逆否命题”、 “否命题?逆命题”只是等价 形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一 般应用等价法.

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(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件 p 和结论 q 都是集合,那么若 p?q,则 p 是 q 的充分条件;若 p?q, 则 p 是 q 的必要条件;若 p=q,则 p 既是 q 的充分条件, 又是 q 的必要条件.

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例 1 指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件(充分不必要 条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不 充分也不必要条件)? (1)p:数 a 能被 6 整除,q:数 a 能被 3 整除; (2)p:x>1,q:x2>1; (3)p:x,y 不全为 0,q:x+y≠0.
解 (1)∵p?q,而 q p,∴p 是 q 的充分不必要条件.

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(2)p 对应的集合为 P={x|x>1},q 对应的集合为 Q={x|x< -1 或 x>1},∵P ? Q,∴p 是 q 的充分不必要条件.

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(3)綈 p:x=0 且 y=0,綈 q:x+y=0,∵綈 p?綈 q,而 綈q 綈 p,∴p?q 且 p q,∴p 是 q 的必要不充分条件.

小结

本例三个小题分别体现了定义法、 集合法、 等价法. 一

般地, 定义法主要用于较简单的命题判断, 集合法一般需对 命题进行化简,等价法主要用于否定性命题.

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跟踪训练 1 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x2=2x+1,q:x= 2x+1; (2)p:a2+b2=0,q:a+b=0; (3)p:x=1 或 x=2,q:x-1= x-1; (4)p:sin α>sin β,q:α>β.

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解 (1)∵x2=2x+1?x= 2x+1, x= 2x+1?x2=2x+1,
∴p 是 q 的必要不充分条件.

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(2)∵a2+b2=0?a=b=0?a+b=0, a+b=0 a2+b2=0,

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∴p 是 q 的充分不必要条件.

(3)∵当 x=1 或 x=2 成立时,可得 x-1= x-1成立,反过 来,当 x-1= x-1成立时,可以推出 x=1 或 x=2, ∴p 既是 q 的充分条件也是 q 的必要条件.
(4)由 sin α>sin β 不能推出 α>β,反过来由 α>β 也不能推出 sin α>sin β,∴p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条 件.

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问题探究二 问题 1 利用充分条件、必要条件求参数范围

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根据集合间的关系可以判定充分条件、必要条件;

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反之, 如果已知两条件间的关系, 请你考虑两条件对应集合 之间的关系,并举例说明.
答案 设集合 A={x|x 满足 p},B={x|x 满足 q},则 p?q

可得 A?B;q?p 可得 B?A;p?q 可得 A=B,若 p 是 q 的 充分不必要条件,则 A ? B, 如:x=2 是 x2=4 的充分不必要条件, 则{x|x=2}?{x|x2=4}.

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问题 2 若 x<m 是(x-1)(x-2)>0 的充分不必要条件,求参 数的范围,并请你总结问题中的思想方法.
答案 由(x-1)(x-2)>0 可得 x>2 或 x<1,

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由已知条件,知{x|x<m}?{x|x>2 或 x<1}. ∴m≤1,故参数 m 的范围是{m|m≤1}. 利用充分条件和必要条件可以推知集合间的包含关系, 然后 利用数轴或其他工具可以求得参数的范围, 利用了转化思想 和数形结合思想.

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例 2 是否存在实数 p,使 4x+p<0 是 x2-x-2>0 的充分条 件?如果存在,求出 p 的取值范围;否则,说明理由. 解 由 x2-x-2>0,解得 x>2 或 x<-1,
令 A={x|x>2 或 x<-1}, 由 4x+p<0,得
? p? ? ? ?x|x<- ?, B= 4? ? ? ?

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p 当 B?A 时,即- ≤-1,即 p≥4, 4 p 此时 x<-4≤-1?x2-x-2>0, ∴当 p≥4 时,4x+p<0 是 x2-x-2>0 的充分条件.

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小结 利用充分条件、 必要条件求参数的取值范围的关键就 是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值.

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跟踪训练 2 已知 p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若 p 是 q 的一个充分不必要条件,求 m 的取值范围. m m 解 由 3x+m<0 得,x<- .∴p:A={x|x<- }. 3 3
由 x2-2x-3>0 得,x<-1 或 x>3.
∴q:B={x|x<-1 或 x>3}.
∵p?q 而 q m p,∴A ? B,∴- 3 ≤-1,

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∴m≥3,即 m 的取值范围是[3,+∞).

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1.“-2<x<1”是“x>1 或 x<-1”的 A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既不是充分条件,也不是必要条件 D.既是充分条件,也是必要条件
解析 ∵-2<x<1

(

C)

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x>1 或 x<-1 且 x>1 或 x<-1

-2<x<1,∴“-2<x<1”既不是“x>1 或 x<-1”的 充分条件,也不是必要条件.

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2.“ab≠0”是“直线 ax+by+c=0 与两坐标轴都相交”的 ( C )

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A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.既是充分条件,也是必要条件 D.既不是充分条件,也不是必要条件 ?a≠0,? ? 解析 ab≠0,即? ,此时直线 ax+by+c=0 与两 ?b≠0 ?

坐标轴都相交;又当 ax+by+c=0 与两坐标轴都相交时, a≠0 且 b≠0,故选 C.

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3.0<x<5 是|x-2|<4 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件也是必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件

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( A )

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解析 ∵|x-2|<4?-2<x<6, ∴0<x<5?|x-2|<4,而|x-2|<4 0<x<5,

故 0<x<5 是|x-2|<4 的充分不必要条件.

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1.充分条件、必要条件的概念. 2.充分条件、必要条件的判定有三种方法:①定义法;②集 合法;③等价命题法. 3.利用充分条件、必要条件可以解决一些参数的范围问题.


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